Verhältnis

In einer Mathematikklassenarbeit mit $20$ Aufgaben hat Nerea $15$ richtig beantwortet und $5$ falsch. Schreibe das Verhältnis zwischen:

1. a) der Anzahl der richtigen und der Anzahl der falschen Antworten.
2. b) der Anzahl der richtigen Antworten und der Gesamtzahl der Aufgaben.

Gib jeweils an, welches das Vorderglied und welches das Hinterglied ist.

In einem sozialen Netzwerk hat das Video eines Influencers $450$ „Likes“ erhalten, nachdem es von $3000$ Personen angesehen wurde. Berechne das Verhältnis zwischen der Anzahl der „Likes“ und der Anzahl der Aufrufe, kürze das Ergebnis und interpretiere, was der erhaltene Wert bedeutet.

Im Basketballtraining hat Lea von ihren $30$ Korbwürfen $18$ getroffen, während Markus von seinen $20$ Würfen $14$ getroffen hat.

1. a) Berechne das Trefferverhältnis (getroffene Würfe zu Gesamtwürfen) jedes Spielers als Dezimalzahl.
2. b) Welcher der beiden Spieler hat im Training besser abgeschnitten?

Ein Videospielgeschäft bietet ein Set mit $3$ Controller-Hüllen für $12,60$ € an. Gib das Verhältnis zwischen dem Preis und der Anzahl der Hüllen an. Wie würden wir dieses Ergebnis im Alltag üblicherweise nennen?

Ein E-Scooter legt $12$ Kilometer in $30$ Minuten zurück. Berechne das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit (in Stunden angegeben). Welche physikalische Größe stellt dieses Verhältnis dar?

Es wurde ein Modell einer neuen städtischen Sporthalle gebaut. Das echte Gebäude hat eine Gesamtlänge von $75$ Metern, während dieselbe Strecke im Modell $30$ Zentimeter misst.

1. a) Berechne das Verhältnis zwischen der Länge im Modell und der tatsächlichen Länge (denke daran, beide in derselben Einheit anzugeben).
2. b) Welcher Maßstab wurde für das Modell verwendet?

Um eine orangefarbene Farbmischung herzustellen, verwendet ein Künstler $3$ Eimer rote Farbe auf $2$ Eimer gelbe Farbe.

1. a) Gib das Verhältnis zwischen roter und gelber Farbe an.
2. b) Wenn er denselben Farbton beibehalten möchte und $6$ Eimer gelbe Farbe verwendet, wie viele Eimer rote Farbe braucht er?

In einer Konditorei in Aachen wird traditionelles Marzipan nur aus gemahlenen Mandeln und Zucker hergestellt. Der Konditormeister gibt an, dass das Verhältnis zwischen der Masse der Mandeln und der Masse des Zuckers genau $3$ zu $2$ betragen muss (also $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Gib zwei verschiedene Kombinationen von Mengen an Mandeln und Zucker (in Gramm) an, die genau dieses Verhältnis einhalten, sodass die Gesamtmasse der Mischung in keinem Fall $600\text{ g}$ überschreitet.
2. b) Wenn du eine ungeöffnete Packung mit $450\text{ g}$ gemahlenen Mandeln hast und sie vollständig verbrauchen willst, ohne dass etwas übrig bleibt, welche genaue Menge Zucker musst du hinzufügen, um das Verhältnis beizubehalten? Stelle die Proportion auf, bevor du die Unbekannte bestimmst.
3. c) Ein Auszubildender behauptet, dass das Mischen von $350\text{ g}$ Mandeln mit $250\text{ g}$ Zucker das Verhältnis beibehält, weil er „zu jeder Zutat $50\text{ g}$ im Vergleich zur Mischung aus $300\text{ g}$ und $200\text{ g}$ addiert hat“. Begründe mathematisch anhand von Verhältnissen, warum seine Überlegung falsch ist.

Berechne das Verhältnis zwischen Breite und Höhe des Bildschirms des folgenden Tablets und erkläre, ob das Ergebnis dasselbe wäre, wenn das Tablet bei gleicher Form doppelt so groß wäre.

Für eine Abschlussfeier vergleichen die Schüler zwei Angebote für Kartoffelchips-Tüten, um herauszufinden, welches günstiger ist. Die Marke „Crunch“ bietet eine Tüte mit $250$ g für $1,75$ € an, während die Marke „Snack“ eine Tüte mit $400$ g für $2,60$ € verkauft.

1. a) Berechne für jede Marke das Verhältnis zwischen Preis und Gewicht (in Euro pro Gramm).
2. b) Gib mithilfe der berechneten Verhältnisse an, welche der beiden Marken günstiger ist.

Die Bevölkerungsdichte ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der Einwohner eines Gebiets und seiner Fläche in $km^2$. Betrachte die Daten dieser beiden fiktiven Kreise:

• Kreis A: $450\,000$ Einwohner und $15\,000$ $km^2$.

• Kreis B: $280\,000$ Einwohner und $7\,000$ $km^2$.

1. a) Berechne die Bevölkerungsdichte jedes Kreises und interpretiere das Ergebnis.
2. b) Welcher der beiden Kreise ist im Verhältnis zu seiner Größe dichter „besiedelt“?

In einer Malwerkstatt werden zwei smaragdgrüne Farbtöne durch Mischen von blauer und gelber Farbe hergestellt. Mischung A enthält $5$ Teile blaue Farbe auf $3$ Teile gelbe Farbe. Mischung B verwendet $8$ Teile blaue Farbe auf $5$ Teile gelbe Farbe.

1. a) Bestimme das Verhältnis von Blau zu Gelb in beiden Mischungen und gib es als Dezimalzahl an.

1. b) Das Wandbild soll möglichst „blaustichig“ sein. Welche Mischung sollten wir wählen? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Verhältnisse.

1. c) Wenn wir bei Mischung A von jeder Farbe $2$ Teile mehr hinzufügen, ändert sich dann das ursprüngliche Verhältnis? Begründe mathematisch.

Im Basketballtraining hat Finn $8$ Würfe von $12$ Versuchen getroffen, während Lena $6$ von $9$ Versuchen getroffen hat.

1. a) Schreibe das Trefferverhältnis von jedem der beiden auf.

1. b) Prüfe, ob die beiden Verhältnisse eine Proportion bilden. Wer zielt besser?

Auf einer Streaming-Plattform hat ein Moderator gezählt, dass in den letzten $45$ Minuten $1350$ Nachrichten im Chat der Übertragung erschienen sind.

1. a) Berechne das Verhältnis zwischen der Anzahl der Nachrichten und der vergangenen Zeit in Minuten.
2. b) Erkläre, was das Ergebnis im Sachzusammenhang bedeutet.
3. c) Wenn das Verhältnis konstant bleibt, wie viele Nachrichten kommen in einer ganzen Stunde an?

Um zu überprüfen, ob zwei Verhältnisse eine Proportion bilden (also ob $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), kann man drei verschiedene Methoden verwenden:

• Methode 1 (Dezimalwert): Den Dezimalquotienten jedes Verhältnisses berechnen und prüfen, ob sie übereinstimmen.

• Methode 2 (vollständig gekürzter Bruch): Beide Verhältnisse durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen und die vollständig gekürzten Brüche vergleichen.

• Methode 3 (Kreuzprodukte): Prüfen, ob die Gleichung $a \cdot d = b \cdot c$ erfüllt ist.

Es werden zwei Paare von Verhältnissen vorgestellt, die sich beim Vergleich des Kraftstoffverbrauchs verschiedener Fahrzeuge ergeben haben:

• Paar A: $\dfrac{7}{13}$ und $\dfrac{21}{39}$

• Paar B: $\dfrac{1200}{1800}$ und $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Wende für Paar A Methode 1 und Methode 3 an. Erkläre, warum Methode 1 beim Runden unendlicher periodischer Dezimalzahlen Zweifel hervorrufen kann, während Methode 3 ein exaktes Ergebnis garantiert.
2. b) Vergleiche für Paar B den Rechenaufwand von Methode 2 und Methode 3, wenn du es ohne Taschenrechner von Hand lösen müsstest. Begründe, welche der beiden in diesem Fall deutlich schneller und sicherer ist.
3. c) Formuliere ein begründetes Fazit: Unter welchen Bedingungen ist die Methode der Kreuzprodukte zu empfehlen, und wann ist es besser, auf den vollständig gekürzten Bruch zu kürzen?

Um einen olivgrünen Farbton zu erhalten, mischt ein Maler Eimer mit weißer, gelber und schwarzer Farbe. Das Verhältnis zwischen der Menge gelber und weißer Farbe beträgt $3/4$, und das Verhältnis zwischen schwarzer und gelber Farbe beträgt $1/5$.

Wenn er für ein Zimmer $2$ Liter weiße Farbe verwendet hat:

1. a) Wie viele Liter gelbe Farbe hat er benötigt?
2. b) Wie groß ist das Verhältnis zwischen schwarzer und weißer Farbe in dieser Mischung?

An einer weiterführenden Schule beträgt das Verhältnis zwischen der Anzahl der Schüler und der Anzahl der Lehrkräfte $18$.

1. a) Erkläre in einem Satz, was dieser Verhältniswert bedeutet.
2. b) Wenn es an der Schule derzeit $32$ Lehrkräfte gibt, wie viele Schüler sind angemeldet?
3. c) Wenn die Zahl der Schüler im nächsten Jahr voraussichtlich auf $630$ steigt, wie viele Lehrkräfte müsste es geben, um dasselbe Verhältnis beizubehalten?

Ein Videospiel-Designer vergleicht zwei Monitore für seinen neuen Arbeitsplatz. Der erste Monitor hat ein „Standard-Breitbildformat“ mit einem Verhältnis von Breite zu Höhe von $16:9$. Der zweite ist ein „Ultrawide“-Monitor mit einem Verhältnis von $21:9$.

1. a) Wenn beide Monitore genau dieselbe Höhe von $36$ cm haben, wie groß ist der Unterschied ihrer Breiten?

1. b) Berechne das Verhältnis des Flächeninhalts des Ultrawide-Monitors zum Flächeninhalt des Standardmonitors. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.