Rechenoperationen und vorteilhaftes Rechnen mit rationalen Zahlen
Auf dem Thermometer in Düsseldorf stehen früh am Morgen $-3{,}5\,°\text{C}$. Bis zum Mittag steigt die Temperatur, am Nachmittag fällt sie wieder. Wie rechnest du schnell und sicher, wenn Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen zusammenkommen? Am Ende der Seite löst du genau diese Frage.
Addieren und Subtrahieren
Rationale Zahlen kannst du wie ganze Zahlen auf der Zahlengeraden addieren: Eine positive Zahl bedeutet einen Schritt nach rechts, eine negative Zahl einen Schritt nach links.
Berechne: a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$ b) $-0,6+(-1,5)$ c) $\frac{3}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)$
Berechne:
- a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
- b) $-0,6+(-1,5)$
- c) $\frac{3}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)$
Berechne und gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an: a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$ b)…
Berechne und gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an:
- a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$
- b) $\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot\left(-\frac{15}{8}\right)\cdot\frac{4}{3}$
- c) $\left(-\frac{7}{9}\right):\left(-\frac{14}{3}\right)$
Multiplizieren und Dividieren
Die Vorzeichenregeln kennst du von den ganzen Zahlen. Sie gelten genauso für Brüche und Dezimalzahlen:
| Faktoren | Vorzeichen des Ergebnisses |
|---|---|
| $+ \cdot +$ oder $- \cdot -$ | $+$ |
| $+ \cdot -$ oder $- \cdot +$ | $-$ |
Für die Division gilt dasselbe. Warum? Aus $(-2) \cdot 3 = -6$ folgt $(-6) : 3 = -2$ und $(-6) : (-2) = 3$. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.
Berechne: a) $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}$ b) $(-0,5)\cdot(-0,8)$ c) $\left(-\frac{3}{4}\right):\frac{1}{2}$
Berechne:
- a) $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}$
- b) $(-0,5)\cdot(-0,8)$
- c) $\left(-\frac{3}{4}\right):\frac{1}{2}$
Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses, ohne zu rechnen: a) $(-3,2)\cdot(-1,7)$ b) $(-\frac{1}{3})\cdot\frac{5}{8}$ c) $(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)$ d) $(-12,6):(-0,3)$
Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses, ohne zu rechnen:
- a) $(-3,2)\cdot(-1,7)$
- b) $(-\frac{1}{3})\cdot\frac{5}{8}$
- c) $(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)$
- d) $(-12,6):(-0,3)$
Vorteilhaft rechnen
Manche Rechnungen werden mit den Rechengesetzen viel kürzer. Du darfst Summanden und Faktoren geschickt zusammenfassen:
Berechne vorteilhaft mit Rechengesetzen (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz): a) $-2,5+7,8+2,5-3,8$ b) $(-4)\cdot 7,3\cdot 0,25$ c)…
Berechne vorteilhaft mit Rechengesetzen (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz):
- a) $-2,5+7,8+2,5-3,8$
- b) $(-4)\cdot 7,3\cdot 0,25$
- c) $\frac{3}{7}\cdot(-12)+\frac{3}{7}\cdot(-2)$
Rechenterme und Vorrangregeln
Bei längeren Termen gilt die Reihenfolge:
-
Klammern zuerst (innen beginnen),
-
Potenzen,
-
Punkt vor Strich (Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion),
-
sonst von links nach rechts.
Ein Doppelbruch bedeutet: Zähler und Nenner werden zuerst einzeln berechnet, dann wird dividiert. Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer.
Berechne und begründe jeweils die Reihenfolge der Rechenschritte: a) $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{5}{8}\right)$ b)…
Berechne und begründe jeweils die Reihenfolge der Rechenschritte:
- a) $\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{5}{8}\right)$
- b) $-1,2\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}\right)+0,5^2$
- c) $\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{2}}$
Aussagen prüfen und Sachaufgaben
Bei Aussagen über rationale Zahlen reicht ein Beispiel nur, um sie zu widerlegen. Um „immer wahr“ zu zeigen, brauchst du eine allgemeine Begründung. Teste daher verschiedene Fälle: positive und negative Zahlen, Zahlen zwischen $-1$ und $1$.
Bei Sachaufgaben gehst du so vor: Situation erfassen, Rechnung aufstellen, rechnen, Ergebnis prüfen (Ist es plausibel?), Antwortsatz schreiben.
Zurück zum Anfang: Um 6 Uhr zeigt das Thermometer $-3{,}5\,°\text{C}$. Steigt es drei Stunden lang um je $1{,}25\,°\text{C}$, rechnest du $-3{,}5+3\cdot1{,}25=0{,}25$. Um 9 Uhr sind es also $0{,}25\,°\text{C}$. Genau solche Rechnungen übst du jetzt.
An einem Wintertag in Düsseldorf zeigt das Thermometer um 6 Uhr $-3,5$ °C. In den folgenden drei Stunden steigt die Temperatur jeweils um $1,25$ °C pro Stunde, danach…
An einem Wintertag in Düsseldorf zeigt das Thermometer um 6 Uhr $-3,5$ °C. In den folgenden drei Stunden steigt die Temperatur jeweils um $1,25$ °C pro Stunde, danach fällt sie in zwei Stunden um insgesamt $4,5$ °C.
- a) Welche Temperatur wird um 9 Uhr angezeigt?
- b) Welche Temperatur wird um 11 Uhr angezeigt?
- c) Um wie viel Grad pro Stunde hat sich die Temperatur zwischen 9 und 11 Uhr durchschnittlich verändert?
Entscheide, ob die Aussage immer, manchmal oder nie wahr ist, und begründe mit Beispielen oder allgemein (a und b sind rationale Zahlen): a) Das Produkt zweier negativer…
Entscheide, ob die Aussage immer, manchmal oder nie wahr ist, und begründe mit Beispielen oder allgemein (a und b sind rationale Zahlen):
- a) Das Produkt zweier negativer Zahlen ist größer als jeder der beiden Faktoren.
- b) Der Quotient $a:b$ mit $a<0$ und $b>0$ ist negativ.
- c) Die Differenz $a-b$ ist kleiner als $a$.
Ein Konto von Herrn Yilmaz in Essen hat einen Stand von $-250,40$ €. Es werden folgende Buchungen vorgenommen: $+1.200$ € (Gehalt), Abbuchung von $\frac{1}{3}$ des…
Ein Konto von Herrn Yilmaz in Essen hat einen Stand von $-250,40$ €. Es werden folgende Buchungen vorgenommen: $+1.200$ € (Gehalt), Abbuchung von $\frac{1}{3}$ des Kontostands nach dem Gehalt als Miete (rechne mit exakten Werten weiter und runde nur die angegebenen Ergebnisse auf Cent), danach $-89,99$ €.
- a) Berechne den Kontostand nach dem Gehalt.
- b) Berechne die Miete und den Kontostand nach der Mietzahlung.
- c) Berechne den Endstand und schreibe die gesamte Rechnung als einen einzigen Term.