Die Menge der rationalen Zahlen

In einer Pizzeria wurde eine Familienpizza in $8$ gleiche Stücke geteilt. Wenn Marcus $3$ Stücke gegessen hat, gib den Anteil der Pizza, den er gegessen hat, als Bruch an und bestimme eindeutig, was der Zähler und was der Nenner ist. Wie liest man diesen Bruch?

Schreibe die folgenden natürlichen Zahlen als Bruch (du kannst den Nenner wählen, den du möchtest, solange das Ergebnis stimmt):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

In der Mathematik werden Zahlen in „Familien" oder Mengen eingeteilt. Betrachte das folgende Venn-Diagramm, das die Mengen der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$), der ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) und der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) darstellt.

Ordne jede der folgenden Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Drei Freunde spielen den „Battle Pass" ihres Lieblingsvideospiels durch. Jeder ist unterschiedlich weit vorangekommen:

• Marcus: hat $\frac{12}{18}$ des Ganzen geschafft.

• Sarah: hat $\frac{20}{30}$ des Ganzen geschafft.

• Alex: hat $\frac{2}{3}$ des Ganzen geschafft.

Begründe, ob die drei Freunde auf demselben Level des Spiels sind, indem du für jeden den vollständig gekürzten Bruch bestimmst.

Bestimme die Werte der Unbekannten $x$, $y$ und $z$, sodass alle Brüche der folgenden Kette zueinander äquivalent sind:

Erkläre, nachdem du die Werte bestimmt hast, welche natürliche Zahl bei jedem Schritt als Erweiterungs- oder Kürzungsfaktor bezogen auf den vollständig gekürzten Bruch der Kette verwendet wurde.

Zeichne den Zahlenstrahl aus der Abbildung (mit 0, 1 und 2, wobei jede Einheit in 4 gleiche Teile unterteilt ist) in dein Heft ab und trage die folgenden rationalen Zahlen darauf ein:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Trage auf dem folgenden Zahlenstrahl die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein, die diesen rationalen Zahlen entsprechen. Jede Einheit ist in 4 gleiche Teile unterteilt.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Beim Entwurf eines neuen Speicherchips muss ein Ingenieur drei Sensoren auf einer logischen Linie platzieren. Sensor A liegt an der Position $\frac{2}{5}$ und Sensor B an der Position $\frac{3}{5}$.

Der Ingenieur muss einen dritten Sensor C genau im Mittelpunkt zwischen A und B platzieren. Außerdem muss er einen Sensor D setzen, der im Mittelpunkt zwischen A und C liegt.

Berechne die Brüche, die die Positionen von C und D darstellen, und trage sie auf einem passend unterteilten Zahlenstrahl ein.

Bestimme, welche der folgenden Brüche eine endliche und welche eine periodische Dezimalzahl (rein- oder gemischtperiodisch) ergeben, ohne die Division auszuführen. Betrachte dazu nur die Primfaktorzerlegung der Nenner:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Tipp: Denke an die Regel der Faktoren 2 und 5 im Nenner.)

Lea soll bestimmen, welche Art von Dezimalzahl der Bruch $\frac{21}{60}$ ergibt, ohne die Division auszuführen. In ihrer Klassenarbeit schreibt sie Folgendes: „Ich zerlege den Nenner in Primfaktoren: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Da in der Zerlegung die Primzahl 3 vorkommt, die von 2 und 5 verschieden ist, ergibt der Bruch zwingend eine periodische Dezimalzahl." a) Erkläre ausführlich den Fehler, den Lea in ihrer Überlegung gemacht hat. b) Korrigiere das Vorgehen, indem du den Bruch zuvor kürzt, und folgere mit Begründung, welche Art von Dezimalzahl man tatsächlich erhält.

In einer Diskussion im Unterricht über die Eigenschaften der Menge $\mathbb{Q}$ stellen zwei Schüler folgende Behauptungen auf: - Marcus behauptet: „Jeder vollständig gekürzte Bruch, dessen Nenner auf eine gerade Ziffer endet, ergibt immer eine endliche Dezimalzahl, weil 2 ein Teiler der Basis des Dezimalsystems ist." - Emilia behauptet: „Wenn man zwei rationale Zahlen addiert, die rein-periodisch sind, kann das Ergebnis nie eine ganze Zahl sein." a) Zeige, dass Marcus' Behauptung falsch ist, indem du ein konkretes Gegenbeispiel angibst, und erkläre, welche Bedingung er an die Primfaktoren des Nenners vergessen hat. b) Zeige, dass auch Emilias Behauptung falsch ist, indem du zwei Brüche mit rein-periodischer Dezimaldarstellung findest, deren Summe genau gleich der ganzen Zahl $2$ ist. c) Konstruiere einen Bruch $\frac{p}{q}$ mit dem Nenner $q = 60$, dessen Wert echt zwischen $1$ und $2$ liegt und der eine endliche Dezimalzahl ergibt. Erkläre, welche mathematische Bedingung der Zähler $p$ bezüglich der Primfaktorzerlegung von $60$ notwendigerweise erfüllen musste.

Bei einem Weitsprungwettbewerb notieren die Kampfrichter die Weiten von vier Athleten. Einige Ergebnisse sind als Bruch und andere als Dezimalzahl angegeben:

• Athlet 1: $6,4$ Meter.

• Athlet 2: $\frac{13}{2}$ Meter.

• Athlet 3: $6,35$ Meter.

• Athlet 4: $\frac{32}{5}$ Meter.

1. a) Schreibe alle Weiten als Dezimalzahlen.

1. b) Welche zwei Athleten sind genau gleich weit gesprungen?

1. c) Ordne die Athleten von dem, der am kürzesten gesprungen ist, bis zu dem, der am weitesten gesprungen ist (bei Gleichstand gib dies an).

In einer Untersuchung zur Handynutzung wurde analysiert, welchen Bruchteil des gesamten Speichers verschiedene Apps auf Lenas Telefon belegen:

• Soziale Netzwerke: $\frac{3}{10}$ des Ganzen.

• Spiele: $\frac{2}{5}$ des Ganzen.

• Fotos und Videos: $\frac{1}{4}$ des Ganzen.

1. a) Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
2. b) Ordne die Kategorien nach der Größe des belegten Speichers, beginnend mit der größten.
3. c) Ist auf dem Telefon noch Speicherplatz frei? Erkläre deine Antwort.

Drei Freunde, Ioana, Marcus und Rayan, laden ein Videospiel herunter. Nach einer Stunde hat Ioana $\frac{13}{20}$ des Ganzen heruntergeladen, Marcus $\frac{19}{30}$ und Rayan hat $\frac{5}{8}$ geschafft.

1. Ordne die Freunde nach der heruntergeladenen Menge von groß nach klein. Vergleiche die Brüche dazu mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

2. Wenn das Videospiel $120$ GB groß ist, wie viele GB muss jeder noch herunterladen? Gib die Ergebnisse als Brüche und als ganze Zahlen an.

Ein Influencer hat $120.000$ Follower. Am Montag haben $\frac{2}{5}$ seiner Follower sein Foto mit „Like" markiert. Am Dienstag taten dies $\frac{3}{4}$ derjenigen, die am Montag ein „Like" gegeben hatten.

1. a) Wie viele Personen haben am Montag ein „Like" gegeben?
2. b) Wie viele Personen haben am Dienstag ein „Like" gegeben?
3. c) Welchen Bruchteil aller Follower stellen die Personen dar, die am Dienstag ein „Like" gegeben haben?

Für eine Geburtstagsfeier wurden mehrere gleich große Pizzen gekauft. Am Ende der Feier sind folgende Stücke übrig geblieben:

• $\frac{3}{4}$ einer Schinkenpizza.

• $\frac{5}{4}$ Pepperoni-Pizzen.

• $\frac{1}{2}$ einer Gemüsepizza.

1. a) Schreibe den Bruchteil der Pepperoni-Pizza als gemischte Zahl.
2. b) Wenn wir alle Reste zusammenlegen, haben wir dann mehr oder weniger als 3 ganze Pizzen? Begründe deine Antwort, indem du die Summe berechnest.

Ein Schneider hat ein Stück Stoff von $15$ Metern. Er schneidet ein erstes Stück ab, das $3$ Meter und $\frac{3}{4}$ Meter lang ist. Danach schneidet er ein zweites Stück ab, das halb so lang ist wie das erste.

1. Gib die Länge jedes Schnitts als unechten Bruch und als gemischte Zahl an.

2. Welcher Bruchteil des ursprünglichen Stoffs ist noch auf der Rolle?