Terme

In der Welt der Videospiele ist es üblich, Situationen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Wenn wir die Anzahl der Edelsteine in deiner Truhe $x$ nennen, drücke die folgenden Situationen in algebraischer Sprache aus:

• Das Dreifache der Edelsteine, die du hast.

• Die Anzahl der Edelsteine, die du hast, wenn du 15 weitere findest.

• Die Anzahl der Edelsteine, die dir bleiben, nachdem du die Hälfte für einen Skin ausgegeben hast.

• Das Doppelte deiner Edelsteine minus 5, die du einem Freund schuldest.

Kenia und ihr Bruder Adrián vergleichen das Geld, das sie für das nächste Festival gespart haben. Kenia hat $x$ Euro. Drücke das Geld, das Adrián hat, in jedem dieser voneinander unabhängigen Fälle in algebraischer Sprache aus:

• Adrián hat 12 € mehr als Kenia.

• Adrián hat doppelt so viel wie Kenia.

• Adrián hat 5 € weniger als das Dreifache von dem, was Kenia hat.

• Wenn sie das Geld der beiden zusammenlegen und die Gemeinde ihnen 20 € extra schenkt, haben sie insgesamt 100 €.

Im Sportunterricht bittet uns der Lehrer, ein rechteckiges Trainingsfeld zu umrunden. Wir kennen die genauen Maße nicht, aber wir wissen, dass die Länge $L$ Meter und die Breite $a$ Meter beträgt.

• Schreibe den Term für den Umfang des Feldes auf.

• Wenn der Lehrer uns sagt, dass die Länge doppelt so groß ist wie die Breite ($L = 2a$), schreibe den Term für den Umfang noch einmal auf, nur mit dem Buchstaben $a$.

Der öffentliche Leihfahrraddienst einer deutschen Stadt verlangt von Nutzern ohne Jahreskarte eine feste Entsperrgebühr von $1,20$ € pro Fahrt plus $0,15$ € für jede Minute Nutzung.

1. a) Schreibe einen Term auf, mit dem man die Gesamtkosten einer Fahrt berechnen kann, bei der ein Nutzer $m$ Minuten lang fährt.
2. b) Wenn du ein Fahrrad $18$ Minuten lang nutzt, um von zu Hause zur Bibliothek zu fahren, berechne mit deinem Term den genauen Betrag, der dir berechnet wird.
3. c) Was stellt die Variable $m$ in diesem Sachzusammenhang dar? Begründe, ob es praktisch sinnvoll wäre, den Wert des Terms für $m = -4$ oder für $m = 25,5$ zu berechnen.

Auf einer Online-Spieleplattform kostet das Monatsabo feste $12$ Euro, aber für jeden „Skin“ (Aussehen) für deine Figur, den du kaufst, werden dir zusätzlich $3$ Euro berechnet.

• a) Schreibe einen Term auf, mit dem man die monatlichen Gesamtkosten berechnen kann, wenn du $x$ Skins kaufst.

• b) Wenn du dich in einem Monat entscheidest, $4$ Skins zu kaufen, berechne mit dem obigen Term, wie viel du insgesamt bezahlst.

• c) Übersetze in Alltagssprache, was der Term $12 + 3(x + 1)$ bedeuten würde.

Übersetze diese Alltagssituationen mit nur einer Variablen (der $x$) in die Sprache der Algebra:

• a) Der Preis einer Kinokarte ($x$), erhöht um $10\%$ für Bearbeitungsgebühren.

• b) Lucías Alter, wenn man weiß, dass sie drei Jahre jünger ist als das Doppelte des Alters ihres kleinen Bruders ($x$).

• c) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

• d) Das Erspartes, das mir bleibt, wenn ich $x$ Euro hatte und ein Viertel davon für ein Buch und danach $10$ Euro für ein Geschenk ausgegeben habe.

Der Wert eines Terms ist das Ergebnis, wenn man die Variable durch eine Zahl ersetzt. Stell dir vor, die Kosten für eine Geburtstagsfeier werden durch den Term $15n + 50$ angegeben, wobei $n$ die Anzahl der Gäste ist.

Berechne, wie viel die Feier kostet, wenn du einlädst:

• $n = 10$ Freunde.

• $n = 20$ Freunde.

• $n = 25$ Freunde.

Berechne den Wert der folgenden Terme für die angegebenen Werte. Achte genau auf die negativen Vorzeichen und denke an die Reihenfolge der Rechenoperationen:

• $2x + 7$ für $x = -3$

• $x^2 - 5$ für $x = 4$

• $3(a + b)$ für $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ für $x = 8$

In einer Klassenarbeit sollte Marcos den Wert des Terms $8 - 2x$ für $x = -3$ berechnen. Auf sein Blatt schrieb er Folgendes:

1. a) Finde und erkläre die beiden mathematischen Fehler, die Marcos in seiner Lösung gemacht hat.
2. b) Erkläre, warum es wichtig ist, Klammern zu setzen, wenn wir eine Variable durch eine negative Zahl ersetzen.
3. c) Korrigiere das Vorgehen und berechne den richtigen Wert des Terms.

Ein Influencer untersucht das Wachstum seiner Follower. Er hat eine Formel entwickelt, um die „Impact-Punkte“ ($I$) seiner Beiträge abzuschätzen:

$I = 10a + 5b - 2c$

Dabei gilt:

• $a$ ist die Anzahl der „Likes“ (in Tausend).

• $b$ ist die Anzahl, wie oft der Beitrag geteilt wird.

• $c$ ist die Anzahl der negativen Kommentare.

Berechne den Wert des Impacts ($I$) für die folgenden Daten:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Nach üblichen Wetteraufzeichnungen auf der Iberischen Halbinsel sinkt die Temperatur beim Aufstieg auf einen Berg um etwa $1\text{ }^\circ\text{C}$ pro $150\text{ m}$ Höhe. An einem Frühlingstag lässt sich die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) am Hang der Sierra de Guadarrama in Abhängigkeit von der Höhe $a$ (in Metern) durch den folgenden Term modellieren:

1. a) Im Dorf am Fuß des Berges ($a = 600\text{ m}$) zeigt das Thermometer $16\text{ }^\circ\text{C}$ an. Schätze vor der genauen Rechnung begründet, ob die Temperatur auf dem Gipfel des Peñalara ($a = 2400\text{ m}$) über oder unter $5\text{ }^\circ\text{C}$ liegt. Erkläre, worauf du deine Schätzung stützt.
2. b) Überprüfe deine Schätzung, indem du den genauen Wert der Temperatur für die Höhe des Gipfels ($a = 2400\text{ m}$) berechnest.
3. c) Ein Wanderer behauptet, dass die Temperatur auf $3300\text{ m}$ $-2\text{ }^\circ\text{C}$ betragen würde. Überprüfe, ob die Formel dieses Ergebnis liefert, und beurteile kritisch, ob es sinnvoll ist, dieses Modell auf diese Höhe in der Sierra de Guadarrama anzuwenden, wenn man weiß, dass ihr höchster Punkt nicht einmal $2500\text{ m}$ erreicht.

Betrachte die folgende Folge von Figuren aus Holzstäbchen. Wir wollen wissen, wie viele Stäbchen wir für eine Reihe aus $n$ Quadraten brauchen.

Wenn du für 1 Quadrat 4 Stäbchen, für 2 Quadrate 7 Stäbchen und für 3 Quadrate 10 Stäbchen verwendest:

1. a) Wie viele Stäbchen kommen für jedes neue Quadrat dazu?

1. b) Schreibe die Formel bzw. den Term auf, mit dem man die Gesamtzahl der Stäbchen für $n$ Quadrate berechnen kann.

Wir legen eine Folge von Figuren aus quadratischen Fliesen nach einem bestimmten Muster. Betrachte die ersten drei Figuren der Folge:

• a) Wenn $n$ die Nummer der Figur angibt, schreibe einen Term auf, der angibt, wie viele quadratische Fliesen die Figur $n$ hat.

• b) Wie viele Fliesen hat die Figur mit der Nummer $25$?

• c) Welche Figurnummer hat genau $40$ Fliesen?

In einem Naturschutzgebiet wird das Wachstum einer Farnart untersucht, die sich nach einem geometrischen Muster ausbreitet. In der ersten Woche (Woche $n=1$) hat der Farn ein zentrales Blatt. In der zweiten Woche wachsen drei neue Blätter darum herum. In der dritten wachsen fünf weitere.

Betrachte das Muster der Schritte und bearbeite die folgenden Aufgaben:

• Finde einen Term, der die Gesamtzahl der Blätter des Farns in Woche $n$ angibt.

• Wenn ein Farn 121 Blätter hat, in welcher Woche befindet er sich?

• Berechne den Wert des Terms für die Woche $n = 15$.

Beim Umbau einer Fußgängerpromenade werden quadratische Grünflächen entworfen, die an ihrem Rand von Schutzplatten umgeben sind. Wird ein einzelnes quadratisches Beet angelegt, braucht man $8$ Platten, um es zu umranden. Werden mehrere Beete aneinander in einer Reihe angelegt, teilen sich die inneren Beete Randplatten.

Drei Stadtplanerinnen haben drei verschiedene Formeln aufgestellt, um zu berechnen, wie viele Platten $B$ für eine Reihe von $n$ Beeten nötig sind:

• Lucías Formel: $B = 2(n + 2) + 2$

• Saras Formel: $B = 8 + 2(n - 1)$

• Nereas Formel: $B = 2n + 6$

1. a) Deute die Formeln geometrisch: Erkläre begründet, wie Lucía und wie Sara die Platten gezählt haben, um auf ihre Terme zu kommen.
2. b) Zeige mit algebraischen Umformungen (Distributivgesetz und Zusammenfassen gleichartiger Terme), ob die drei Formeln zueinander äquivalent sind.
3. c) Die Gemeinde hat eine Palette mit $75$ Platten für eine Allee. Entwickle anhand der obigen Terme eine Strategie, um zu berechnen, wie viele vollständige Beete in einer Reihe höchstens umrandet werden können und wie viele Platten genau übrig bleiben.

Die Bestandteile eines Monoms zu erkennen ist grundlegend, um die Sprache der Algebra zu „sprechen“. Vervollständige im Kopf oder in deinem Heft die Angaben zu den folgenden Monomen:

• $5x^3 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $-7 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

Um Terme zu vereinfachen, dürfen wir nur gleichartige Monome (solche mit demselben Variablenteil) addieren oder subtrahieren. Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Beim Arbeiten mit Monomen ist es wichtig, ihre Bestandteile zu erkennen, um mit ihnen rechnen zu können. Vervollständige die Angaben zu der folgenden Liste von Monomen:

• Monom A: $-5ax^3$

• Monom B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monom C: $-x^2y^2$

• Monom D: $12$

Gib für jedes Monom an:

1. den Koeffizienten,

2. den Variablenteil,

3. den Grad des Monoms,

4. Schreibe ein Monom auf, das zu Monom A gleichartig ist.

Vereinfache die folgenden Terme, indem du gleichartige Glieder zusammenfasst. Denke daran, die Vorzeichenregeln richtig anzuwenden:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Betrachte den Entwurf dieser neuen Skate-Anlage, die die Gemeinde bauen möchte. Die Maße sind in Metern mit der Variablen $x$ angegeben.

• a) Schreibe einen vereinfachten Term auf, der den gesamten Umfang der Skate-Anlage darstellt.

• b) Berechne den Umfang, wenn die Variable den Wert $x = 4$ Meter hat.

Um den Wert des Terms zu berechnen:

für den Wert $x = 15$ schlagen zwei Schüler verschiedene Wege vor:

• Lauras Strategie: Sie setzt den Wert $x = 15$ direkt in den Term ein, so wie er dasteht, und rechnet unter Beachtung der Rechenregeln (Punkt vor Strich) aus.

• Davids Strategie: Er vereinfacht zuerst den Term mithilfe des Distributivgesetzes und fasst gleichartige Monome zusammen; danach setzt er $x = 15$ in den entstandenen Term ein.

1. a) Löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach Lauras Strategie.
2. b) Löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach Davids Strategie.
3. c) Überprüfe, ob beide Methoden dasselbe Ergebnis liefern, und erkläre, warum.
4. d) Bewerte beide Wege: Welcher erfordert einfachere Rechnungen? Wenn du den Wert desselben Terms für fünf verschiedene Werte von $x$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 10$ und $x = 100$) berechnen müsstest, begründe, welche Strategie du wählen würdest.

Führe die folgenden Rechnungen mit Monomen aus und vereinfache das Ergebnis, wenn möglich. Wenn das Ergebnis eine Zahl ist, gib sie an:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

Wir wollen einen unbekannten Term finden, der alle folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Er verwendet nur eine Variable $x$ und sein Grad ist $2$.

2. Er ist ein Binom aus einem Glied mit $x^2$ und einem konstanten Glied (einer Zahl ohne Variable).

3. Für $x = 0$ ist sein Wert $-5$.

4. Für $x = 3$ ist sein Wert $13$.

1. a) Leite Schritt für Schritt her, wie das konstante Glied lauten muss, indem du die gegebene Bedingung für $x = 0$ verwendest.
2. b) Finde heraus, welcher Koeffizient mit $x^2$ multipliziert werden muss, damit der geforderte Wert für $x = 3$ erreicht wird, und schreibe den vollständigen Term auf.
3. c) Welchen Wert hat dein Term für $x = -3$, ohne lange zu rechnen? Begründe deine Antwort anhand des Vorzeichens und des Exponenten.

Ein Kurierdienst setzt Drohnen zur Paketzustellung ein. Die Gesamtkosten einer Lieferung in Euro hängen von drei Faktoren ab: einem festen Wartungsbetrag ($F$), dem Gewicht des Pakets in kg ($p$) und der zurückgelegten Strecke in km ($d$).

Die verwendete Formel lautet: $C = 1,5F + \frac{p \cdot d}{10} - 0,5p$.

• Wenn der feste Betrag $F = 4$ Euro beträgt, vereinfache den Term, indem du gleichartige Monome zusammenfasst.

• Berechne den Wert des Terms (Lieferkosten) für ein Paket von $2$ kg, das $35$ km weit transportiert werden muss.

• Welcher Faktor beeinflusst den Endpreis stärker, wenn er um eine Einheit steigt: das Gewicht oder die Entfernung? Begründe deine Antwort anhand der Struktur des Terms.

Der Grundriss eines neuen Jugendfreizeitzentrums hat eine unregelmäßige Form, die aus einem Rechteck in der Mitte und zwei gleichen dreieckigen Flächen an den Seiten besteht. Die Maße sind in Abhängigkeit von einer Variablen $x$ angegeben, die die Grundbreite der Räume darstellt.

• Schreibe den vereinfachten Term für den gesamten Umfang der Figur auf.

• Schreibe den vereinfachten Term für den gesamten Flächeninhalt des Freizeitzentrums auf.

• Wenn der gesamte Flächeninhalt zur Einhaltung der Sicherheitsvorschriften mindestens $150 \, m^2$ betragen muss, überprüfe, ob der Entwurf für $x = 5 \, m$ zulässig ist.

In einem Rollenspiel wird der Schaden eines Feuerzaubers mit dem Term $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$ berechnet, wobei $x$ die Magiestufe der Figur und $y$ die Stärke des Stabs ist.

• Berechne den Schaden, wenn die Figur die Magiestufe $x = 4$ und die Stabstärke $y = 1$ hat.

• Ein Programmierer behauptet, dass sich der Schaden ohne Stab ($y = 0$) zu einem Term vereinfacht, der proportional zum Quadrat der Magiestufe ist. Zeige durch Einsetzen und Vereinfachen, ob das stimmt.

• Wenn wir die Magiestufe verdoppeln ($2x$) und den Stab bei $y = 0$ belassen, um das Wievielfache steigt der Gesamtschaden?

Betrachte die folgenden drei Monome: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ und $C = 5xy^2$.

Führe die folgenden gemischten Rechnungen aus und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Erkläre begründet, warum du das Monom $A$ nicht zum Monom $C$ addieren kannst. Was müsste sich an ihrem Variablenteil ändern, damit es möglich wäre?

Eine Gruppe von Freunden möchte einen Padelplatz für mehrere Stunden ($h$) mieten. Der Mietpreis beträgt $12$ Euro pro Stunde. Außerdem müssen sie Schläger für alle ausleihen. Die Leihgebühr für jeden Schläger beträgt $3$ Euro für die gesamte Spielzeit. Die Gruppe besteht aus $n$ Personen:

• Schreibe den Term für die Gesamtkosten der Miete ($C$) in Abhängigkeit von der Stundenzahl ($h$) und der Personenzahl ($n$) auf.

• Wenn sie die Gesamtkosten zu gleichen Teilen bezahlen, schreibe den Term für den Betrag auf, den jede Person zahlen muss.

• Vereinfache den vorherigen Term. Hängt der Anteil für die Schläger von der Anzahl der Personen ab? Begründe deine Antwort.

Marta entwirft ein modulares Regal. Jedes quadratische Modul benötigt $4$ lange Bretter und $4$ Verbinder an den Ecken. Wenn man Module nebeneinander setzt, teilen sie sich jedoch ein senkrechtes Brett und die beiden Verbinder an dessen Enden.

• Schreibe einen Term auf, der die Anzahl der Bretter angibt, die für den Aufbau einer Reihe aus $x$ Modulen nötig sind.

• Wenn jedes Brett $a$ Euro und jeder Verbinder $b$ Euro kostet, schreibe den Term für die Gesamtkosten einer Reihe aus $x$ Modulen auf.

• Vereinfache den Term für die Gesamtkosten, wenn wir wissen, dass ein Verbinder ein Viertel so viel kostet wie ein Brett ($b = a/4$).