Rechnen mit ganzen Zahlen
Ein Taucher in der Nordsee ist in $-15$ m Tiefe und taucht noch $12$ m tiefer. Auf dem Konto eines Comicladens gehen Einzahlungen und Abbuchungen hin und her. Damit du hier den Überblick behältst, brauchst du sichere Regeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$.
Addieren und Subtrahieren
Am Zahlenstrahl ist eine Addition ein Schritt: Eine positive Zahl bedeutet einen Schritt nach rechts, eine negative Zahl einen Schritt nach links.
Berechne die folgenden einfachen Summen und Differenzen ganzer Zahlen: a) $(+7) + (+5) =$ b) $(-8) + (-3) =$ c) $(+9) + (-4) =$ d) $(-6) + (+10) =$
Berechne die folgenden einfachen Summen und Differenzen ganzer Zahlen:
- a) $(+7) + (+5) =$
- b) $(-8) + (-3) =$
- c) $(+9) + (-4) =$
- d) $(-6) + (+10) =$
Löse die folgenden Rechnungen, indem du zuerst die Klammern auflöst: a) $12 + (-5) =$ b) $8 - (+10) =$ c) $(-3) - (-7) =$ d) $(-5) + (+5) =$
Löse die folgenden Rechnungen, indem du zuerst die Klammern auflöst:
- a) $12 + (-5) =$
- b) $8 - (+10) =$
- c) $(-3) - (-7) =$
- d) $(-5) + (+5) =$
Eine Wetterstation in den Alpen registrierte im Verlauf eines Wintertages die folgenden Temperaturänderungen: 1. Um 8:00 Uhr betrug die Temperatur $-5\ ^\circ C$. 2. Um…
Eine Wetterstation in den Alpen registrierte im Verlauf eines Wintertages die folgenden Temperaturänderungen:
-
Um 8:00 Uhr betrug die Temperatur $-5\ ^\circ C$.
-
Um 12:00 Uhr war sie um $8\ ^\circ C$ gestiegen.
-
Um 18:00 Uhr sank sie gegenüber der vorherigen Messung um $4\ ^\circ C$.
-
Um 22:00 Uhr sank sie noch einmal um $6\ ^\circ C$.
Schreibe einen einzigen mathematischen Term mit ganzen Zahlen auf, der all diese Änderungen beschreibt, und berechne die Temperatur am Ende des Tages.
Gegenzahl und Betrag
Die Gegenzahl einer Zahl hat dasselbe Zahlenstück, aber das andere Vorzeichen: Die Gegenzahl von $+3$ ist $-3$, und es gilt $3 + (-3) = 0$. Der Betrag $|a|$ einer Zahl ist ihr Abstand von $0$ auf der Zahlengeraden. Er ist nie negativ: $|-7| = 7$ und $|5| = 5$.
Finde die ganze Zahl, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt: 1. Ihr Betrag ist größer als $5$ und kleiner als $10$. 2. Multipliziert man sie mit $-3$, ist das…
Finde die ganze Zahl, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt:
-
Ihr Betrag ist größer als $5$ und kleiner als $10$.
-
Multipliziert man sie mit $-3$, ist das Ergebnis eine positive Zahl.
-
Addierst du ihre Gegenzahl, ist das Ergebnis $0$.
Gibt es mehr als eine mögliche Lösung? Begründe deine Antwort.
Bestimme die unbekannte ganze Zahl $x$ in jeder der folgenden Gleichungen: a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$ b) $(-30) : x + (-12) = -18$ c) $2 \cdot |x| = 14$ (Finde alle…
Bestimme die unbekannte ganze Zahl $x$ in jeder der folgenden Gleichungen:
- a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$
- b) $(-30) : x + (-12) = -18$
- c) $2 \cdot |x| = 14$ (Finde alle möglichen Lösungen für $x$.)
Multiplizieren und Dividieren: die Vorzeichenregeln
Wir leiten die Regeln aus einem Muster ab. Multiplikation ist wiederholte Addition, und im Muster siehst du, wie es weitergeht:
$$\begin{aligned}3 \cdot (-2) &= -6\\ 2 \cdot (-2) &= -4\\ 1 \cdot (-2) &= -2\\ 0 \cdot (-2) &= 0\end{aligned}$$Der erste Faktor wird jeweils um $1$ kleiner, das Ergebnis wächst um $2$. Das Muster setzt sich fort:
$$\begin{aligned}(-1) \cdot (-2) &= +2\\ (-2) \cdot (-2) &= +4\end{aligned}$$Also ergibt „Minus mal Minus“ ein positives Ergebnis. Für die Division gilt dasselbe, denn sie ist die Umkehrung der Multiplikation: Aus $(-3) \cdot (-4) = 12$ folgt $12 : (-4) = -3$.
Verwende die Vorzeichenregel, um diese Multiplikationen und Divisionen zu lösen: a) $(+4) \cdot (-3) =$ b) $(-5) \cdot (-2) =$ c) $(-20) : (+5) =$ d) $(-18) : (-3) =$
Verwende die Vorzeichenregel, um diese Multiplikationen und Divisionen zu lösen:
- a) $(+4) \cdot (-3) =$
- b) $(-5) \cdot (-2) =$
- c) $(-20) : (+5) =$
- d) $(-18) : (-3) =$
Ein „Zahlentrio“ ganzer Zahlen heißt ausgeglichen, wenn die Summe der ersten beiden Zahlen multipliziert mit der dritten $-24$ ergibt. Bestimme durch die entsprechenden…
Ein „Zahlentrio“ ganzer Zahlen heißt ausgeglichen, wenn die Summe der ersten beiden Zahlen multipliziert mit der dritten $-24$ ergibt.
Bestimme durch die entsprechenden Rechnungen, welche der folgenden Trios ausgeglichen sind:
- a) $(+5, -8, +8)$
- b) $(-10, +2, +3)$
- c) $(-4, -2, +4)$
Das Distributivgesetz
Manchmal rechnest du schneller, wenn du einen gemeinsamen Faktor nutzt. Das Distributivgesetz gilt auch für ganze Zahlen:
$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$Von links nach rechts heißt das Ausmultiplizieren, von rechts nach links Ausklammern.
Wende das Distributivgesetz an, um diese Terme möglichst einfach zu berechnen (klammere aus, wo es nötig ist): a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$ b)…
Wende das Distributivgesetz an, um diese Terme möglichst einfach zu berechnen (klammere aus, wo es nötig ist):
- a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$
- b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$
- c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$
Zwei Schülerinnen, Lea und Lina, sollen den Wert des folgenden Terms mit ganzen Zahlen berechnen: $$C = (-15) \cdot 74 + (-15) \cdot 26$$ • Lea wendet die übliche…
Zwei Schülerinnen, Lea und Lina, sollen den Wert des folgenden Terms mit ganzen Zahlen berechnen:
$$C = (-15) \cdot 74 + (-15) \cdot 26$$• Lea wendet die übliche Rangfolge an: Sie berechnet zuerst die beiden Multiplikationen einzeln und addiert dann die erhaltenen Ergebnisse.
• Lina betrachtet den Aufbau der Rechnung und wendet das Distributivgesetz rückwärts an (Ausklammern): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.
- a) Berechne das Ergebnis ausführlich nach Leas Methode und nach Linas Methode. Überprüfe, dass beide Wege zur selben Lösung führen.
- b) Vergleiche die beiden Methoden und begründe, welche für das Kopfrechnen effizienter ist und warum sie das Risiko verringert, sich bei den Vorzeichen und den Zwischenrechnungen zu verrechnen.
- c) Entwirf selbst eine neue zusammengesetzte Rechnung aus der Summe oder Differenz von drei Produkten ganzer Zahlen, bei der Linas Strategie es erlaubt, sie in wenigen Sekunden im Kopf zu lösen, ohne lange Rechnungen auf Papier. Gib deinen Term und seine begründete Lösung an.
Zusammengesetzte Terme und Vorrangregeln
Wenn Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Klammern gemischt vorkommen, gibt es eine feste Reihenfolge.
Berechne das Ergebnis dieser einfachen zusammengesetzten Rechnungen und beachte die Rangfolge (Denke daran: zuerst Punktrechnung, dann Strichrechnung): a)…
Berechne das Ergebnis dieser einfachen zusammengesetzten Rechnungen und beachte die Rangfolge (Denke daran: zuerst Punktrechnung, dann Strichrechnung):
- a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
- b) $(-10) : 2 + 8 =$
- c) $4 \cdot 3 - 15 =$
Berechne das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnungen und achte besonders auf die Rangfolge der Rechenoperationen und auf die Vorzeichenregeln: a)…
Berechne das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnungen und achte besonders auf die Rangfolge der Rechenoperationen und auf die Vorzeichenregeln:
- a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$
- b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$
- c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$
- d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$
Löse die folgenden zusammengesetzten Rechnungen mit Klammern. Denke daran, zuerst das zu berechnen, was in den Klammern steht: a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$ b)…
Löse die folgenden zusammengesetzten Rechnungen mit Klammern. Denke daran, zuerst das zu berechnen, was in den Klammern steht:
- a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$
- b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$
- c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$
- d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$
Berechne den Wert des folgenden zusammengesetzten Terms Schritt für Schritt und beachte dabei genau die Rangfolge der Rechenoperationen:…
Berechne den Wert des folgenden zusammengesetzten Terms Schritt für Schritt und beachte dabei genau die Rangfolge der Rechenoperationen:
$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$
Hinweis: Achte auf den Unterschied zwischen $(-2)^2$ und $-2^2$.
Zurück zum Anfang: Der Taucher startet bei $-15$ m und taucht $12$ m tiefer, also ist er bei $-15 - 12 = -27$ m. Antwort: Er befindet sich in $27$ m Tiefe.