Distributivgesetz und Produkte von Summen
Familie Becker in Köln legt einen Garten an. Er soll $(x+6)$ m lang und $(x+2)$ m breit sein. Wie berechnest du seinen Flächeninhalt, wenn $x$ noch nicht feststeht – und wie sieht der Term ohne Klammern aus?
Ausmultiplizieren
Ein Rechteck ist $3$ cm breit und $(x+4)$ cm lang. Du kannst es in zwei Teilrechtecke zerlegen: eins mit der Länge $x$, eins mit der Länge $4$.
Gesamtfläche: $3\cdot(x+4)=3\cdot x+3\cdot 4=3x+12$. Das ist das Distributivgesetz.
Multipliziere aus und fasse zusammen: a) $3(x+4)$ b) $5(2a-3)$ c) $-2(m-7)$
Multipliziere aus und fasse zusammen:
- a) $3(x+4)$
- b) $5(2a-3)$
- c) $-2(m-7)$
Ausklammern
Ausklammern ist die Umkehrung: Du suchst einen Faktor, der in allen Summanden steckt, und schreibst ihn vor die Klammer.
Stecken auch Variablen in allen Summanden, klammerst du sie mit aus: $15y^2+10y=5y\cdot3y+5y\cdot2=5y(3y+2)$. Dabei ist $y^2=y\cdot y$.
Ein Beispiel aus dem Alltag: Der Schulkiosk in Münster verkauft Brötchen für $b$ € und Getränke für $g$ €. Montag: $12$ Brötchen und $8$ Getränke, Dienstag doppelt so viel. Umsatz: $12b+8g+24b+16g=36b+24g=12(3b+2g)$. Die Klammer sagt: Es wurden $12$ „Pakete“ aus $3$ Brötchen und $2$ Getränken verkauft.
Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus: a) $6x+9$ b) $8a-12b$ c) $15y^2+10y$
Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus:
- a) $6x+9$
- b) $8a-12b$
- c) $15y^2+10y$
Ein Schulkiosk in Münster verkauft Brötchen für $b$ € und Getränke für $g$ €. Am Montag werden $12$ Brötchen und $8$ Getränke verkauft, am Dienstag doppelt so viele von…
Ein Schulkiosk in Münster verkauft Brötchen für $b$ € und Getränke für $g$ €. Am Montag werden $12$ Brötchen und $8$ Getränke verkauft, am Dienstag doppelt so viele von beiden.
- a) Stelle einen Term für den Gesamtumsatz beider Tage auf, zuerst als Summe, dann mit ausgeklammertem Faktor.
- b) Berechne den Umsatz für $b=1,20$ und $g=1,50$.
- c) Klammere in $18b+27g$ den größtmöglichen Faktor aus und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Produkte von Summen
Der Garten der Beckers: Länge $(x+6)$, Breite $(x+2)$. Zerlege die Fläche in vier Teile.
Es gilt: $(x+6)(x+2)=x^2+6x+2x+12=x^2+8x+12$.
Bei Differenzen von Produkten setzt du Klammern: $(x-1)(x+4)$ wird zuerst ausmultipliziert und dann subtrahiert, also $-(x^2+3x-4)=-x^2-3x+4$. Das Minus kehrt alle Vorzeichen um.
Multipliziere aus und vereinfache: a) $(x+2)(x+5)$ b) $(a+3)(a-4)$ c) $(2y-1)(y+6)$
Multipliziere aus und vereinfache:
- a) $(x+2)(x+5)$
- b) $(a+3)(a-4)$
- c) $(2y-1)(y+6)$
Die Familie Becker aus Köln legt einen rechteckigen Garten an. Die Länge beträgt $(x+6)$ m, die Breite $(x+2)$ m. a) Stelle einen Term für den Flächeninhalt auf und…
Die Familie Becker aus Köln legt einen rechteckigen Garten an. Die Länge beträgt $(x+6)$ m, die Breite $(x+2)$ m.
- a) Stelle einen Term für den Flächeninhalt auf und multipliziere ihn aus.
- b) Berechne den Flächeninhalt für $x=4$.
- c) Der Garten wird um $3$ m verbreitert, die Länge bleibt gleich. Gib den neuen Flächeninhalt als ausmultiplizierten Term an.
Vereinfache so weit wie möglich: a) $4(x-3)-2(x+5)$ b) $3a(a+2)-a(2a-4)$ c) $(x+3)(x-2)-(x-1)(x+4)$
Vereinfache so weit wie möglich:
- a) $4(x-3)-2(x+5)$
- b) $3a(a+2)-a(2a-4)$
- c) $(x+3)(x-2)-(x-1)(x+4)$
Begründen und Zusammenhänge erkennen
Terme helfen dir zu argumentieren. Ein Term, der nach dem Vereinfachen kein $x$ mehr enthält, hat für alle $x$ denselben Wert. Und ein Zahlenbeispiel reicht, um eine falsche Behauptung zu widerlegen (Gegenbeispiel), aber nie, um eine Behauptung zu beweisen.
Zum Ausklammern rückwärts prüfst du immer durch Ausmultiplizieren: Stimmt $3xy(2x-3y+1)$ ausmultipliziert mit $6x^2y-9xy^2+3xy$ überein, ist die Umformung richtig.
Zurück zum Anfang: Der Garten hat den Flächeninhalt $(x+6)(x+2)=x^2+8x+12$. Für $x=4$ sind das $10\cdot6=60\ \text{m}^2$, und auch $16+32+12=60$.
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a$ und $b$. Die Länge wird um $3$ cm vergrößert, die Breite um $2$ cm verkleinert. a) Stelle einen Term für den neuen Flächeninhalt…
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a$ und $b$. Die Länge wird um $3$ cm vergrößert, die Breite um $2$ cm verkleinert.
- a) Stelle einen Term für den neuen Flächeninhalt auf und multipliziere ihn aus.
- b) Um wie viel unterscheidet sich der neue Flächeninhalt vom alten? Gib den Unterschied als vereinfachten Term an.
- c) Für welche Beziehung zwischen $a$ und $b$ bleibt der Flächeninhalt unverändert? Begründe.
Lea behauptet: „$(x+3)^2$ ist dasselbe wie $x^2+9$.“ a) Widerlege die Behauptung durch ein Zahlenbeispiel. b) Multipliziere $(x+3)(x+3)$ aus und gib das richtige…
Lea behauptet: „$(x+3)^2$ ist dasselbe wie $x^2+9$.“
- a) Widerlege die Behauptung durch ein Zahlenbeispiel.
- b) Multipliziere $(x+3)(x+3)$ aus und gib das richtige Ergebnis an.
- c) Erkläre mithilfe eines Quadrats der Seitenlänge $(x+3)$, das du in vier Teilflächen zerlegst, woher jeder Summand des Ergebnisses kommt.
Gegeben ist der Term $T(x)=(x+4)(x-1)-(x-2)(x+3)-2x$. a) Vereinfache $T(x)$ durch Ausmultiplizieren. b) Begründe, dass $T(x)$ für alle Werte von $x$ denselben Wert hat.…
Gegeben ist der Term $T(x)=(x+4)(x-1)-(x-2)(x+3)-2x$.
- a) Vereinfache $T(x)$ durch Ausmultiplizieren.
- b) Begründe, dass $T(x)$ für alle Werte von $x$ denselben Wert hat.
- c) Zeige, dass $6x^2y-9xy^2+3xy$ gleich $3xy(2x-3y+1)$ ist, indem du rechts ausmultiplizierst.