Aufgaben: Winkelsätze anwenden und begründen

Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ werden von einer Geraden geschnitten. Ein Stufenwinkel an $g$ misst $65°$.

1. a) Wie groß ist der zugehörige Stufenwinkel an $h$?

1. b) Wie groß ist der zugehörige Wechselwinkel?

1. c) Wie groß ist der Nebenwinkel des Winkels von $65°$?

In einem Dreieck sind die Winkel $\alpha=48°$ und $\beta=67°$ bekannt.

1. a) Berechne $\gamma$.

1. b) Berechne den Außenwinkel bei $C$.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Spitze $C$ und den Winkel $\gamma=40°$ an der Spitze.

1. a) Wie groß sind die Basiswinkel?

1. b) Ein anderes gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von $72°$. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?

Die Gerade $g$ ist parallel zur Geraden $h$. Eine Gerade $s$ schneidet beide. Der Winkel $\alpha$ an $g$ ist $(3x+10)°$, der zugehörige Stufenwinkel an $h$ ist $(5x-30)°$.

1. a) Bestimme $x$.

1. b) Berechne die Größe von $\alpha$.

1. c) Berechne den Winkel, der mit $\alpha$ an $g$ einen Nebenwinkel bildet.

Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha=54°$. Der Außenwinkel bei $B$ beträgt $121°$.

1. a) Berechne $\beta$.

1. b) Berechne $\gamma$ auf zwei verschiedene Arten.

1. c) Begründe, warum ein Außenwinkel immer die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel ist.

Das Dach eines Hauses in Aachen hat im Querschnitt die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Neigungswinkel jeder Dachfläche (Basiswinkel) beträgt $38°$.

1. a) Wie groß ist der Winkel an der Dachspitze?

1. b) Ein Anbau hat einen Dachwinkel an der Spitze von $100°$. Wie groß ist dort der Neigungswinkel?

1. c) Ist ein Dach mit Spitzenwinkel $100°$ steiler oder flacher als das erste? Begründe.

Beweise den Innenwinkelsummensatz für Dreiecke: Durch den Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ wird eine Parallele zu $AB$ gezeichnet.

1. a) Beschreibe, welche Winkel an der Parallelen entstehen, und benenne, welche davon gleich groß sind (mit Begründung durch Wechselwinkel).

1. b) Folgere daraus $\alpha+\beta+\gamma=180°$.

1. c) Folgere die Innenwinkelsumme im Viereck, indem du eine Diagonale einzeichnest.

Beweise den Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ gilt $\alpha=\beta$.

1. a) Zeichne die Winkelhalbierende von $\gamma$; sie schneidet $AB$ im Punkt $M$. Begründe, dass die Dreiecke $AMC$ und $BMC$ kongruent sind (Kongruenzsatz nennen).

1. b) Folgere $\alpha=\beta$.

1. c) Berechne in einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ und $\gamma=2\alpha-30°$ alle drei Winkel.

Es sind $g\parallel h$. Ein Dreieck $ABC$ hat $A$ und $B$ auf $g$, der Punkt $C$ liegt auf $h$ (nicht über der Strecke $AB$, sondern seitlich versetzt). Es sei $\alpha=50°$, und die Strecke $CB$ schließt im Punkt $C$ mit der Geraden $h$ einen Winkel von $70°$ ein, und zwar den Winkel auf der Seite von $A$ (er enthält den Dreieckswinkel $\gamma$).

1. a) Bestimme alle Winkel des Dreiecks $ABC$ und begründe jeden Schritt mit einem Winkelsatz.

1. b) Welche Art von Dreieck ist $ABC$ (nach Winkeln und Seiten)? Begründe.

1. c) Ein Schüler behauptet, die Winkelsumme könne bei einem sehr großen Dreieck größer als $180°$ sein. Nimm Stellung.