Aufgaben: Verhältnis

In einem sozialen Netzwerk hat das Video eines Influencers $450$ „Likes“ erhalten, nachdem es von $3000$ Personen angesehen wurde. Berechne das Verhältnis zwischen der Anzahl der „Likes“ und der Anzahl der Aufrufe, kürze das Ergebnis und interpretiere, was der erhaltene Wert bedeutet.

Ein Videospielgeschäft bietet ein Set mit $3$ Controller-Hüllen für $12,60$ € an. Gib das Verhältnis zwischen dem Preis und der Anzahl der Hüllen an. Wie würden wir dieses Ergebnis im Alltag üblicherweise nennen?

Berechne das Verhältnis zwischen Breite und Höhe des Bildschirms des folgenden Tablets und erkläre, ob das Ergebnis dasselbe wäre, wenn das Tablet bei gleicher Form doppelt so groß wäre.

In einer Mathematikklassenarbeit mit $20$ Aufgaben hat Nerea $15$ richtig beantwortet und $5$ falsch. Schreibe das Verhältnis zwischen:

1. a) der Anzahl der richtigen und der Anzahl der falschen Antworten.
2. b) der Anzahl der richtigen Antworten und der Gesamtzahl der Aufgaben.

Gib jeweils an, welches das Vorderglied und welches das Hinterglied ist.

Um eine orangefarbene Farbmischung herzustellen, verwendet ein Künstler $3$ Eimer rote Farbe auf $2$ Eimer gelbe Farbe.

1. a) Gib das Verhältnis zwischen roter und gelber Farbe an.
2. b) Wenn er denselben Farbton beibehalten möchte und $6$ Eimer gelbe Farbe verwendet, wie viele Eimer rote Farbe braucht er?

Ein E-Scooter legt $12$ Kilometer in $30$ Minuten zurück. Berechne das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit (in Stunden angegeben). Welche physikalische Größe stellt dieses Verhältnis dar?

Im Basketballtraining hat Finn $8$ Würfe von $12$ Versuchen getroffen, während Lena $6$ von $9$ Versuchen getroffen hat.

1. a) Schreibe das Trefferverhältnis von jedem der beiden auf.

1. b) Prüfe, ob die beiden Verhältnisse eine Proportion bilden. Wer zielt besser?

Gegeben ist das Verhältnis $\frac{4}{5}$. Erfinde einen realistischen Zusammenhang für Jugendliche (zum Beispiel zu Kino, Kleidung oder Sport), in dem diese Größen vorkommen, und erkläre seine Bedeutung. Gib an, welche Größen du miteinander vergleichst.

In einer Klasse 8 gibt es $12$ Mädchen und $18$ Jungen. Markus behauptet laut: „Das Verhältnis zwischen Mädchen und Jungen ist $\dfrac{12}{30}$, das gekürzt $\dfrac{2}{5}$ ergibt, was bedeutet, dass in unserer Klasse auf $2$ Mädchen $5$ Jungen kommen.“

1. a) Finde und erkläre den begrifflichen Fehler, den Markus beim Aufstellen der Glieder des Verhältnisses gemacht hat. Welche Größe hat er tatsächlich in den Nenner gesetzt?
2. b) Schreibe das richtige Verhältnis zwischen Mädchen und Jungen auf, kürze es zu einem vollständig gekürzten Bruch und interpretiere mit eigenen Worten, was das Ergebnis in diesem Zusammenhang bedeutet.
3. c) Wenn an der Nachbarschule genau dieses Verhältnis zwischen Mädchen und Jungen gilt und wir wissen, dass es $24$ Jungen gibt, wie viele Mädchen gibt es an dieser Schule? Schreibe die entsprechende Proportion auf und bestimme den unbekannten Wert.

In einer Konditorei in Aachen wird traditionelles Marzipan nur aus gemahlenen Mandeln und Zucker hergestellt. Der Konditormeister gibt an, dass das Verhältnis zwischen der Masse der Mandeln und der Masse des Zuckers genau $3$ zu $2$ betragen muss (also $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Gib zwei verschiedene Kombinationen von Mengen an Mandeln und Zucker (in Gramm) an, die genau dieses Verhältnis einhalten, sodass die Gesamtmasse der Mischung in keinem Fall $600\text{ g}$ überschreitet.
2. b) Wenn du eine ungeöffnete Packung mit $450\text{ g}$ gemahlenen Mandeln hast und sie vollständig verbrauchen willst, ohne dass etwas übrig bleibt, welche genaue Menge Zucker musst du hinzufügen, um das Verhältnis beizubehalten? Stelle die Proportion auf, bevor du die Unbekannte bestimmst.
3. c) Ein Auszubildender behauptet, dass das Mischen von $350\text{ g}$ Mandeln mit $250\text{ g}$ Zucker das Verhältnis beibehält, weil er „zu jeder Zutat $50\text{ g}$ im Vergleich zur Mischung aus $300\text{ g}$ und $200\text{ g}$ addiert hat“. Begründe mathematisch anhand von Verhältnissen, warum seine Überlegung falsch ist.

Auf einer Streaming-Plattform hat ein Moderator gezählt, dass in den letzten $45$ Minuten $1350$ Nachrichten im Chat der Übertragung erschienen sind.

1. a) Berechne das Verhältnis zwischen der Anzahl der Nachrichten und der vergangenen Zeit in Minuten.
2. b) Erkläre, was das Ergebnis im Sachzusammenhang bedeutet.
3. c) Wenn das Verhältnis konstant bleibt, wie viele Nachrichten kommen in einer ganzen Stunde an?

Für eine Abschlussfeier vergleichen die Schüler zwei Angebote für Kartoffelchips-Tüten, um herauszufinden, welches günstiger ist. Die Marke „Crunch“ bietet eine Tüte mit $250$ g für $1,75$ € an, während die Marke „Snack“ eine Tüte mit $400$ g für $2,60$ € verkauft.

1. a) Berechne für jede Marke das Verhältnis zwischen Preis und Gewicht (in Euro pro Gramm).
2. b) Gib mithilfe der berechneten Verhältnisse an, welche der beiden Marken günstiger ist.

Ein Grafikdesigner arbeitet mit zwei Bildformaten. Das erste Format hat die Maße $12$ cm Breite und $18$ cm Höhe. Das zweite Format hat $20$ cm Breite und $30$ cm Höhe.

1. a) Berechne für jedes der beiden Formate das Verhältnis von Breite zu Höhe.
2. b) Sind diese Maße proportional? Begründe deine Antwort durch den Vergleich der Verhältnisse.

Um einen olivgrünen Farbton zu erhalten, mischt ein Maler Eimer mit weißer, gelber und schwarzer Farbe. Das Verhältnis zwischen der Menge gelber und weißer Farbe beträgt $3/4$, und das Verhältnis zwischen schwarzer und gelber Farbe beträgt $1/5$.

Wenn er für ein Zimmer $2$ Liter weiße Farbe verwendet hat:

1. a) Wie viele Liter gelbe Farbe hat er benötigt?
2. b) Wie groß ist das Verhältnis zwischen schwarzer und weißer Farbe in dieser Mischung?

Im Basketballtraining hat Lea von ihren $30$ Korbwürfen $18$ getroffen, während Markus von seinen $20$ Würfen $14$ getroffen hat.

1. a) Berechne das Trefferverhältnis (getroffene Würfe zu Gesamtwürfen) jedes Spielers als Dezimalzahl.
2. b) Welcher der beiden Spieler hat im Training besser abgeschnitten?

Es wurde ein Modell einer neuen städtischen Sporthalle gebaut. Das echte Gebäude hat eine Gesamtlänge von $75$ Metern, während dieselbe Strecke im Modell $30$ Zentimeter misst.

1. a) Berechne das Verhältnis zwischen der Länge im Modell und der tatsächlichen Länge (denke daran, beide in derselben Einheit anzugeben).
2. b) Welcher Maßstab wurde für das Modell verwendet?

Die Bevölkerungsdichte ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der Einwohner eines Gebiets und seiner Fläche in $km^2$. Betrachte die Daten dieser beiden fiktiven Kreise:

• Kreis A: $450\,000$ Einwohner und $15\,000$ $km^2$.

• Kreis B: $280\,000$ Einwohner und $7\,000$ $km^2$.

1. a) Berechne die Bevölkerungsdichte jedes Kreises und interpretiere das Ergebnis.
2. b) Welcher der beiden Kreise ist im Verhältnis zu seiner Größe dichter „besiedelt“?

An einer weiterführenden Schule beträgt das Verhältnis zwischen der Anzahl der Schüler und der Anzahl der Lehrkräfte $18$.

1. a) Erkläre in einem Satz, was dieser Verhältniswert bedeutet.
2. b) Wenn es an der Schule derzeit $32$ Lehrkräfte gibt, wie viele Schüler sind angemeldet?
3. c) Wenn die Zahl der Schüler im nächsten Jahr voraussichtlich auf $630$ steigt, wie viele Lehrkräfte müsste es geben, um dasselbe Verhältnis beizubehalten?

Bei einer Mittelgebirgsetappe der Spanien-Rundfahrt (La Vuelta) werden zwei Bergpässe analysiert:

• Der Alto del Roble hat eine horizontale Länge von $6\text{ km}$ und überwindet einen Gesamthöhenunterschied von $420\text{ m}$.

• Der Alto de las Hazas hat eine horizontale Länge von $9\text{ km}$ und überwindet einen Gesamthöhenunterschied von $540\text{ m}$.

(Das Verhältnis zwischen dem Höhenunterschied in Metern und der Entfernung in Kilometern bestimmt die durchschnittliche Anforderung des Passes in $\text{m/km}$.)

1. a) Runde die Daten im Kopf und schätze begründet, bevor du einen exakten Quotienten berechnest, welcher der beiden Pässe steiler ist (größeres Verhältnis Höhenunterschied/Entfernung). Erkläre, worauf du bei deiner Schätzung geachtet hast.
2. b) Berechne genau das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und Entfernung für jeden Pass und gib das Ergebnis als Dezimalzahl an. Prüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.
3. c) Die Organisation möchte einen neuen Verbindungsabschnitt von $5\text{ km}$ mit demselben Verhältnis Höhenunterschied/Entfernung wie der Alto del Roble entwerfen. Stelle die Proportion auf und berechne, wie viele Meter Höhenunterschied dieser Abschnitt haben muss. Beurteile, ob das Ergebnis zu den Steigungen der Etappe passt.

Nach den Daten des Einwohnermelderegisters, die vom Nationalen Statistikinstitut (INE) veröffentlicht wurden, hat die Provinz Soria etwa $90\,000$ Einwohner auf einer Fläche von ungefähr $10\,300\text{ km}^2$, während die Provinz Pontevedra etwa $945\,000$ Einwohner auf einer Fläche von etwa $4500\text{ km}^2$ hat.

1. a) Modelliere diese Situation mathematisch, indem du für jede der beiden Provinzen das Verhältnis aufstellst, das die Bevölkerungsdichte (Einwohner pro Quadratkilometer) definiert. Berechne den Dezimalwert und runde auf Zehntel.
2. b) Interpretiere die tatsächliche Bedeutung beider Dezimalwerte: Was stellt diese Zahl im Alltag und in der räumlichen Verteilung der Einwohner jeder Provinz dar?
3. c) Wenn eine Region im Landesinneren von Pontevedra eine Fläche von $350\text{ km}^2$ hat und genau dieselbe durchschnittliche Dichte der Provinz aufweist, wie viele Einwohner leben dort? Stelle die Proportion $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ auf und berechne die Unbekannte mithilfe der Kreuzprodukt-Eigenschaft.

In einer Malwerkstatt werden zwei smaragdgrüne Farbtöne durch Mischen von blauer und gelber Farbe hergestellt. Mischung A enthält $5$ Teile blaue Farbe auf $3$ Teile gelbe Farbe. Mischung B verwendet $8$ Teile blaue Farbe auf $5$ Teile gelbe Farbe.

1. a) Bestimme das Verhältnis von Blau zu Gelb in beiden Mischungen und gib es als Dezimalzahl an.

1. b) Das Wandbild soll möglichst „blaustichig“ sein. Welche Mischung sollten wir wählen? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Verhältnisse.

1. c) Wenn wir bei Mischung A von jeder Farbe $2$ Teile mehr hinzufügen, ändert sich dann das ursprüngliche Verhältnis? Begründe mathematisch.

Ein Videospiel-Designer vergleicht zwei Monitore für seinen neuen Arbeitsplatz. Der erste Monitor hat ein „Standard-Breitbildformat“ mit einem Verhältnis von Breite zu Höhe von $16:9$. Der zweite ist ein „Ultrawide“-Monitor mit einem Verhältnis von $21:9$.

1. a) Wenn beide Monitore genau dieselbe Höhe von $36$ cm haben, wie groß ist der Unterschied ihrer Breiten?

1. b) Berechne das Verhältnis des Flächeninhalts des Ultrawide-Monitors zum Flächeninhalt des Standardmonitors. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Auf einer hochgenauen Karte der Pyrenäen ist der Maßstab als Verhältnis $1:50\thinspace000$ angegeben. Ein Wanderer misst auf der Karte den Abstand zwischen zwei Berghütten und erhält $14,2$ cm. Beim Nachsehen in einer digitalen App stellt er jedoch fest, dass der tatsächliche Abstand $7,5$ km beträgt.

1. a) Berechne das tatsächliche Verhältnis (den Maßstab) zwischen der Kartenmessung und der Messung der digitalen App.

1. b) Wie groß ist der Fehler der Karte in Zentimetern im Vergleich zum Abstand laut App?

Ein Paketdienst setzt Drohnen zur Paketzustellung ein. Man weiß, dass das Verhältnis zwischen dem Gewicht des Pakets ($P$, in kg) und dem Akkuverbrauch ($B$, in % pro Kilometer) konstant ist und $1,5 : 0,4$ beträgt.

1. a) Wenn ein Paket $4,5$ kg wiegt, wie hoch ist der Akkuverbrauch pro zurückgelegtem Kilometer?

1. b) Wenn eine Drohne nur noch $12\%$ Akku übrig hat und eine Lieferung über $5$ km durchführen muss, welches Höchstgewicht (Verhältnis Gewicht/Entfernung) könnte sie transportieren, um gerade noch das Ziel zu erreichen?

In einer Studie zur klimagerechten Architektur wird das Verhältnis zwischen der Fensterfläche und der gesamten Wandfläche eines Raumes untersucht, um das natürliche Licht zu optimieren. In einem Raum mit $25$ $m^2$ Wandfläche gibt es zwei Fenster: eines mit $120$ cm $\times$ $150$ cm und ein rundes mit $80$ cm Radius.

1. a) Berechne das Verhältnis zwischen der gesamten verglasten Fläche und der Wandfläche. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

1. b) Wenn das ideale Verhältnis $1:5$ beträgt, wie viele $m^2$ Glas sind zu viel oder fehlen, um es zu erreichen?

Der „Body-Mass-Index“ (BMI) ist das Verhältnis zwischen der Masse einer Person ($m$, in kg) und dem Quadrat ihrer Körpergröße ($h$, in Metern), also $BMI = \frac{m}{h^2}$.

1. a) Wenn ein Athlet von $1,80$ m Größe einen BMI von $22,5$ hat, wie groß ist seine Masse?

1. b) Ein anderer Athlet wiegt $85$ kg und ist $1,92$ m groß. Berechne seinen BMI. Wie groß ist das Verhältnis zwischen dem BMI des zweiten und dem des ersten Athleten? Gib das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an.

Es soll ein Modell eines Wolkenkratzers gebaut werden. Das Verhältnis zwischen Modell und echtem Gebäude beträgt $1:250$.

1. a) Wenn die Grundfläche des echten Gebäudes $1\thinspace200$ $m^2$ beträgt, wie groß ist das Verhältnis zwischen der Grundfläche des Modells und der des echten Wolkenkratzers?

1. b) Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche des Modells in Quadratzentimetern. (Achtung: Denke daran, dass das Verhältnis der Flächeninhalte das Quadrat des Verhältnisses der Längen ist.)

Bei einem Bogenschießwettbewerb wird die Leistung eines Schützen anhand des Verhältnisses zwischen „Pfeilen im Zentrum“ und „insgesamt abgeschossenen Pfeilen“ untersucht.

• Schütze A hat ein Verhältnis von $7:12$ bei $48$ Schüssen erreicht.

• Schütze B hat ein Verhältnis von $5:8$ bei $40$ Schüssen erreicht.

1. a) Wer von beiden Schützen war erfolgreicher? Begründe, indem du die Verhältnisse mit dem gemeinsamen Nenner vergleichst.

1. b) Wenn Schütze A in seiner nächsten Runde mit $24$ Pfeilen das Erfolgsverhältnis von Schütze B erreichen will, wie viele dieser neuen Pfeile muss er dann mindestens ins Zentrum treffen?

Um zu überprüfen, ob zwei Verhältnisse eine Proportion bilden (also ob $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), kann man drei verschiedene Methoden verwenden:

• Methode 1 (Dezimalwert): Den Dezimalquotienten jedes Verhältnisses berechnen und prüfen, ob sie übereinstimmen.

• Methode 2 (vollständig gekürzter Bruch): Beide Verhältnisse durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen und die vollständig gekürzten Brüche vergleichen.

• Methode 3 (Kreuzprodukte): Prüfen, ob die Gleichung $a \cdot d = b \cdot c$ erfüllt ist.

Es werden zwei Paare von Verhältnissen vorgestellt, die sich beim Vergleich des Kraftstoffverbrauchs verschiedener Fahrzeuge ergeben haben:

• Paar A: $\dfrac{7}{13}$ und $\dfrac{21}{39}$

• Paar B: $\dfrac{1200}{1800}$ und $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Wende für Paar A Methode 1 und Methode 3 an. Erkläre, warum Methode 1 beim Runden unendlicher periodischer Dezimalzahlen Zweifel hervorrufen kann, während Methode 3 ein exaktes Ergebnis garantiert.
2. b) Vergleiche für Paar B den Rechenaufwand von Methode 2 und Methode 3, wenn du es ohne Taschenrechner von Hand lösen müsstest. Begründe, welche der beiden in diesem Fall deutlich schneller und sicherer ist.
3. c) Formuliere ein begründetes Fazit: Unter welchen Bedingungen ist die Methode der Kreuzprodukte zu empfehlen, und wann ist es besser, auf den vollständig gekürzten Bruch zu kürzen?

In der Notaufnahme eines Kreiskrankenhauses legt die ärztliche Leitung fest, dass das optimale Verhältnis zwischen der Anzahl der wartenden Patienten und der Anzahl der diensthabenden Ärzte höchstens $8$ zu $1$ betragen soll (also ein Verhältnis von $\dfrac{8}{1}$).

In einer Nacht mit hohem Patientenaufkommen warten $78$ Personen im Wartebereich, und nur $6$ Ärzte behandeln.

1. a) Modelliere die Situation, indem du das aktuelle Verhältnis von Patienten pro Arzt als Dezimalzahl berechnest. Interpretiere das Ergebnis und bestimme, ob die Notaufnahme die Empfehlung einhält oder ob das Personal überlastet ist.
2. b) Wenn im Laufe dieser Nacht kein zusätzlicher Arzt hinzukommen kann, wie viele Patienten dürften höchstens warten, damit das Verhältnis genau der empfohlenen $8:1$ entspricht? Wie viele Patienten müssten dafür an andere Einrichtungen der Primärversorgung verwiesen werden?
3. c) Angenommen, in den frühen Morgenstunden kommen neue Patienten, und die Gesamtzahl der Wartenden steigt auf $96$. Um die Situation mit besserer Versorgungsqualität zu bewältigen, legt die Leitung ein neues, strengeres Verhältnis von $6$ Patienten pro Arzt fest. Stelle anhand der Proportion $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ eine Gleichung auf, um zu berechnen, wie viele Verstärkungsärzte ($x$) sofort gerufen werden müssen, und erkläre jeden Schritt der Lösung.