Aufgaben: Rechnen mit ganzen Zahlen

In einem Skigebiet in den Alpen zeigte das Thermometer um sieben Uhr morgens $-4$ °C an. Wenn die Temperatur mittags um $9$ °C gestiegen ist, welche Temperatur zeigt das Thermometer jetzt an? Gib die Rechnung mit ganzen Zahlen an.

Berechne die folgenden einfachen Summen und Differenzen ganzer Zahlen:

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

Nadine hat $25$ € auf ihrem Bankkonto. Die Bank bucht eine Internetrechnung von $30$ € ab. Wie hoch ist ihr neuer Kontostand? Gib das Ergebnis als ganze Zahl an.

Verwende die Vorzeichenregel, um diese Multiplikationen und Divisionen zu lösen:

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Ein Taucher befindet sich in $-15$ Metern Tiefe unter dem Meeresspiegel. Wenn er noch $12$ Meter tiefer taucht, in welcher Tiefe befindet er sich dann? Zeichne den senkrechten Zahlenstrahl.

Löse die folgenden Rechnungen, indem du zuerst die Klammern auflöst:

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Berechne das Ergebnis dieser einfachen zusammengesetzten Rechnungen und beachte die Rangfolge (Denke daran: zuerst Punktrechnung, dann Strichrechnung):

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Du befindest dich in der Etage $2$ eines Einkaufszentrums. Du fährst $3$ Etagen nach oben, um zum Restaurantbereich zu gelangen, und dann $6$ Etagen nach unten zum Parkhaus. In welcher Etage befindet sich das Parkhaus? Gib jede Bewegung als ganze Zahl an.

Markus hat in seinem Heft zwei Aufgaben gelöst und dabei sehr typische Fehler mit ganzen Zahlen gemacht:

• Aufgabe 1: Er hat $(-7) + (-4) = +11$ geschrieben und begründet das mit „Minus mal Minus ist Plus“.

• Aufgabe 2: Er hat $-5^2 = 25$ geschrieben und begründet das damit, dass „jede quadrierte Zahl positiv ist“.

1. a) Erkläre Markus begründet, welchen Denkfehler er in Aufgabe 1 gemacht hat, und stelle den Unterschied zwischen dem Addieren ganzer Zahlen mit gleichem Vorzeichen und dem Multiplizieren ganzer Zahlen klar. Schreibe die richtige Lösung auf.
2. b) Erkläre Markus anhand der Bedeutung der Basis einer Potenz und der Rangfolge der Rechenoperationen, warum $-5^2$ nicht dasselbe Ergebnis ergibt wie $(-5)^2$. Schreibe den richtigen Wert beider Terme auf.

An der Wetterstation Molina de Aragón (Guadalajara) registrierte die AEMET um 7:00 Uhr eine Temperatur von $-7$ °C. Im Laufe des Tages wurden die folgenden aufeinander folgenden Änderungen gemessen:

• Ein Anstieg um $+11$ °C am Vormittag.

• Ein Rückgang um $6$ °C am Nachmittag durch einsetzenden Nordwind.

• Ein weiterer Rückgang um $3$ °C während der Nacht.

1. a) Schätze vor dem Rechnen: Wird die Temperatur am Ende der Nacht positiv (über null) oder negativ (unter null) sein? Begründe deine Schätzung, indem du den gesamten Anstieg mit der gemeinsamen Wirkung der anfänglichen Kälte und der Rückgänge vergleichst, ohne den genauen Wert schon zu berechnen.
2. b) Stelle eine einzige Kette aus Summen und Differenzen mit ganzen Zahlen auf, um die genaue Temperatur am Ende der Nacht zu bestimmen, und prüfe, ob deine Schätzung richtig war.

Berechne das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnungen und achte besonders auf die Rangfolge der Rechenoperationen und auf die Vorzeichenregeln:

1. a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$

1. b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$

1. c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$

1. d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$

Eine Wetterstation in den Alpen registrierte im Verlauf eines Wintertages die folgenden Temperaturänderungen:

1. Um 8:00 Uhr betrug die Temperatur $-5\ ^\circ C$.

2. Um 12:00 Uhr war sie um $8\ ^\circ C$ gestiegen.

3. Um 18:00 Uhr sank sie gegenüber der vorherigen Messung um $4\ ^\circ C$.

4. Um 22:00 Uhr sank sie noch einmal um $6\ ^\circ C$.

Schreibe einen einzigen mathematischen Term mit ganzen Zahlen auf, der all diese Änderungen beschreibt, und berechne die Temperatur am Ende des Tages.

Wende das Distributivgesetz an, um diese Terme möglichst einfach zu berechnen (klammere aus, wo es nötig ist):

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Eine Inspektionsdrohne startet in $15$ Metern Höhe über dem Niveau einer Brücke. Sie führt die im Diagramm angegebenen Bewegungen aus (Aufstiege in Orange, Abstiege in Rot):

Berechne mit einer Summe ganzer Zahlen die Endposition der Drohne in Bezug auf die Brücke. Befindet sie sich oberhalb oder unterhalb der Brücke?

Im Kontoauszug eines Comicladens stehen die folgenden Buchungen:

• Anfangsstand: $+450\ €$

• Zahlung an den Lieferanten: $-620\ €$

• Verkauf von Sammelfiguren: $+185\ €$

• Erstattung für einen defekten Artikel: $-45\ €$

• Einnahme aus Abonnements: $+110\ €$

Berechne den Endstand des Kontos. Die Bank verlangt eine Gebühr von $15\ €$, wenn das Konto im Minus ist (Kontostand kleiner als 0). Muss der Ladenbesitzer sie bezahlen?

Finde die ganze Zahl, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihr Betrag ist größer als $5$ und kleiner als $10$.

2. Multipliziert man sie mit $-3$, ist das Ergebnis eine positive Zahl.

3. Addierst du ihre Gegenzahl, ist das Ergebnis $0$.

Gibt es mehr als eine mögliche Lösung? Begründe deine Antwort.

Löse die folgenden zusammengesetzten Rechnungen mit Klammern. Denke daran, zuerst das zu berechnen, was in den Klammern steht:

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Ein Meeresforschungsteam misst mit einem Sonar den Abstand zwischen einem Rettungshubschrauber und einem U-Boot, das Tiefentests durchführt.

Der Hubschrauber befindet sich in $+120$ Metern Höhe und das U-Boot in $-85$ Metern Tiefe:

1. a) Wie groß ist der gesamte senkrechte Abstand zwischen ihnen?
2. b) Das U-Boot steigt um $25$ Meter auf und der Hubschrauber sinkt um $30$ Meter. Wie groß ist dann der neue Abstand zwischen ihnen? Gib ihn mit Rechenoperationen mit ganzen Zahlen an.

Die Tiefgarage eines Bahnhofs in Berlin hat $5$ Etagen unter dem Straßenniveau (von $-1$ bis $-5$) und das darüberliegende Bürogebäude hat $6$ Etagen über der Erde (von $+1$ bis $+6$). Das Straßenniveau ist die Etage $0$.

Ein Hausmeister beginnt seinen Arbeitstag auf der Straße und legt nacheinander diese Wege zurück:

1. Er fährt in die Etage $-4$, um die Zähler zu kontrollieren.

2. Er fährt $5$ Etagen nach oben, um Material in den Büros abzulegen.

3. Er fährt so viele Etagen, wie die Gegenzahl von $+3$ angibt.

4. Schließlich fährt er doppelt so viele Etagen nach oben, wie er im vorigen Schritt nach unten gefahren ist.

1. a) Modelliere den gesamten Weg mit einer einzigen zusammengesetzten Rechnung mit ganzen Zahlen, die die Endetage des Hausmeisters bestimmt.
2. b) Löse den Term Schritt für Schritt und gib an, in welcher Etage er landet und ob sie über oder unter der Erdoberfläche liegt.
3. c) Wenn er von seiner Endposition aus zum Heizungsraum in der Etage $-5$ gehen muss, berechne die Änderung der Etagen mit einer Differenz ganzer Zahlen in der Form $\text{Zielstockwerk} - \text{Ausgangsstockwerk}$ und deute das Vorzeichen des Ergebnisses.

Um eine geheimnisvolle Kiste in einer Mathewerkstatt zu öffnen, musst du zwei aufeinander folgende Aufgaben lösen, bei denen du ausschließlich die ganzen Zahlen $-6$, $+4$, $-2$ und $+3$ verwendest:

• Aufgabe 1: Verwende alle vier Zahlen genau einmal, zusammen mit den Rechenoperationen deiner Wahl ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) und den Klammern, die du brauchst, um einen zusammengesetzten Term zu bilden, dessen Ergebnis genau $-12$ ist. Schreibe den vollständigen Term auf und überprüfe sein Ergebnis Schritt für Schritt.

• Aufgabe 2: Überlege, ohne zufällig Kombinationen auszuprobieren, ob es möglich ist, drei beliebige dieser vier Zahlen zu multiplizieren und die vierte zu addieren, sodass ein echt positives Ergebnis herauskommt. Begründe deine Antwort mit der Vorzeichenregel der Multiplikation und schreibe, falls möglich, eine passende Kombination mit ihrer Rechnung auf.

Setze in den folgenden Term die nötigen runden und eckigen Klammern so, dass das Ergebnis genau $-5$ ist:

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Ein Höhlenforscherteam erkundet einen tiefen Schacht. Es beginnt am Eingang (Niveau $0$ Meter). Nacheinander führt es die folgenden Bewegungen aus:

1. Es steigt $45$ Meter ab.

2. Es steigt $12$ Meter auf, um ein Basislager aufzubauen.

3. Es steigt das Dreifache dessen ab, was es gerade aufgestiegen ist.

4. Schließlich steigt es noch $18$ Meter bis zum Grund ab.

Schreibe einen einzigen Term mit ganzen Zahlen auf, der den ganzen Vorgang beschreibt, und berechne, in welcher Tiefe der Grund des Schachts liegt.

Berechne den Wert des folgenden zusammengesetzten Terms Schritt für Schritt und beachte dabei genau die Rangfolge der Rechenoperationen:

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Hinweis: Achte auf den Unterschied zwischen $(-2)^2$ und $-2^2$.

In einem Strategiespiel beginnt ein Spieler mit $500$ Ehrenpunkten. Die Regeln lauten:

• Für jede gewonnene Schlacht: $+120$ Punkte.

• Für jede verlorene Schlacht: $-150$ Punkte.

• Verliert er drei Schlachten hintereinander, wird er bestraft, indem sich seine in diesen drei Schlachten angesammelte negative Punktzahl verdoppelt.

Ein Spieler gewinnt $2$ Schlachten und verliert dann $3$ Schlachten hintereinander. Schreibe die zusammengesetzte Rechnung zur Berechnung seiner Endpunktzahl auf und löse sie.

Bestimme die unbekannte ganze Zahl $x$ in jeder der folgenden Gleichungen:

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Finde alle möglichen Lösungen für $x$.)

Ein „Zahlentrio“ ganzer Zahlen heißt ausgeglichen, wenn die Summe der ersten beiden Zahlen multipliziert mit der dritten $-24$ ergibt.

Bestimme durch die entsprechenden Rechnungen, welche der folgenden Trios ausgeglichen sind:

1. a) $(+5, -8, +8)$
2. b) $(-10, +2, +3)$
3. c) $(-4, -2, +4)$

Vervollständige die folgende „Zahlenmauer“. Die Zahl in jedem oberen Stein muss das Ergebnis der Multiplikation der beiden Zahlen in den Steinen sein, auf denen er ruht.

Erfinde eine Sachaufgabe, die mit dem folgenden mathematischen Term gelöst wird, und berechne dann das Endergebnis, um deine Aufgabe zu beantworten:

$100 + 4 \cdot (-15) - 3 \cdot (10 - 4)$

Zwei Schülerinnen, Lea und Lina, sollen den Wert des folgenden Terms mit ganzen Zahlen berechnen:

• Lea wendet die übliche Rangfolge an: Sie berechnet zuerst die beiden Multiplikationen einzeln und addiert dann die erhaltenen Ergebnisse.

• Lina betrachtet den Aufbau der Rechnung und wendet das Distributivgesetz rückwärts an (Ausklammern): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Berechne das Ergebnis ausführlich nach Leas Methode und nach Linas Methode. Überprüfe, dass beide Wege zur selben Lösung führen.
2. b) Vergleiche die beiden Methoden und begründe, welche für das Kopfrechnen effizienter ist und warum sie das Risiko verringert, sich bei den Vorzeichen und den Zwischenrechnungen zu verrechnen.
3. c) Entwirf selbst eine neue zusammengesetzte Rechnung aus der Summe oder Differenz von drei Produkten ganzer Zahlen, bei der Linas Strategie es erlaubt, sie in wenigen Sekunden im Kopf zu lösen, ohne lange Rechnungen auf Papier. Gib deinen Term und seine begründete Lösung an.

Drei unbekannte ganze Zahlen $a$, $b$ und $c$ erfüllen gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen:

1. Ihr Produkt ist echt negativ: $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. Die Division $a : b$ geht auf und ergibt eine positive ganze Zahl: $a : b > 0$.

3. Die Summe von zwei von ihnen ist null: $a + c = 0$, wobei außerdem gilt: $a \neq 0$.

1. a) Leite logisch und begründet das Vorzeichen (positiv oder negativ) jeder der drei Zahlen ($a$, $b$ und $c$) her. Begründe jeden Schritt mit dem Begriff der Gegenzahlen und mit den Vorzeichenregeln der Multiplikation und Division.
2. b) Es gilt $|b| = 2$ und das Produkt der drei Zahlen ist $a \cdot b \cdot c = -72$. Bestimme die genauen Zahlenwerte von $a$, $b$ und $c$.
3. c) Berechne mit den in der vorigen Teilaufgabe gefundenen Werten das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnung und beachte dabei die Rangfolge der Rechenoperationen und die Vorzeichenregeln: