Probabilidad total y teorema de Bayes

Según los informes de movilidad de viajeros en un corredor ferroviario de Cuba, el $50\,\%$ de los usuarios viaja en servicios de Tren Rápido (Especial), el $30\,\%$ en servicios Interprovinciales y el $20\,\%$ restante en trenes Locales. Los registros de puntualidad indican que la probabilidad de sufrir una demora superior a $15$ minutos es del $2\,\%$ en Tren Rápido, del $6\,\%$ en Interprovincial y del $10\,\%$ en Local.

1. a) Justifica que los tipos de tren forman un sistema completo de sucesos y define con claridad los sucesos que intervienen.
2. b) Calcula la probabilidad de que un viajero elegido al azar en ese corredor llegue a su destino con más de $15$ minutos de demora.
3. c) Si un viajero seleccionado al azar sufrió una demora superior a $15$ minutos, calcula la probabilidad de que su viaje fuera en Tren Rápido. Comenta el resultado: ¿por qué esta probabilidad es relativamente baja a pesar de que la mitad de los pasajes vendidos corresponden a dicho servicio?

Un creador de contenido de TikTok observa que sus videos cortos se visualizan de dos formas: a través del Algoritmo de recomendaciones ($80\%$ de las veces) o a través de Búsqueda directa ($20\%$). La probabilidad de que un usuario le dé a "Me gusta" es de $0,10$ si el video llega por recomendación, y de $0,30$ si el usuario lo buscó directamente.

Halla la probabilidad de que un usuario cualquiera que visualice el video le dé a "Me gusta".

Un servicio de mensajería utiliza tres rutas para repartir paquetes en una ciudad: Ruta Norte ($50\%$), Ruta Sur ($30\%$) y Ruta Centro ($20\%$). Los retrasos en la entrega ocurren el $2\%$ de las veces en la ruta Norte, el $4\%$ en la Sur y el $10\%$ en la ruta Centro.

Determina el porcentaje total de paquetes que se entregan con retraso en esta ciudad.

En un centro de alto rendimiento para e-sports, los jugadores se entrenan en tres plataformas distintas: PC, consola y dispositivos móviles. El $50\ \%$ de los jugadores usa PC, el $30\ \%$ usa consola y el resto dispositivos móviles. Se ha observado que el rendimiento disminuye por fatiga visual en el $8\ \%$ de los jugadores de PC, en el $5\ \%$ de los de consola y en el $12\ \%$ de los que usan móviles.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador elegido al azar presente fatiga visual.

1. b) Si seleccionamos un jugador y vemos que sufre fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que entrene habitualmente con un dispositivo móvil?

Una cadena de supermercados vende yogures de dos proveedores distintos. El $40\%$ proviene del Proveedor A y el $60\%$ del Proveedor B. El control de calidad indica que el $5\%$ de los yogures del Proveedor A presentan defectos de envasado, mientras que en el Proveedor B este defecto solo aparece en el $2\%$ de los casos.

Si compramos un yogur y comprobamos que tiene un defecto de envasado, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del Proveedor A?

En un examen de acceso a la Universidad, un estudiante se encuentra con una pregunta de opción múltiple con 4 respuestas posibles, de las cuales solo una es verdadera. La probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta correcta es de 0,6. Si la conoce, responde correctamente con seguridad. Si no la conoce, elige una de las 4 opciones al azar.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente a la pregunta?

1. b) Si el corrector observa que la respuesta marcada es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente conociera la materia y no haya respondido al azar?

Una empresa de ciberseguridad utiliza tres sistemas de inteligencia artificial ($S_1$, $S_2$ y $S_3$) para detectar intentos de acceso no autorizados en una red corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de las alertas, el $S_2$ el $35 \%$ y el $S_3$ el resto.

Se sabe por auditorías previas que, entre las alertas emitidas por cada sistema, son falsas alarmas (se da como ataque un acceso legítimo) el $2 \%$ de las de $S_1$, el $5 \%$ de las de $S_2$ y el $8 \%$ de las de $S_3$. El resto de las alertas de cada sistema corresponden a ataques reales. Por otro lado, la probabilidad de que un sistema ignore un ataque real (falso negativo) es del $1 \%$ en todos los casos; es un dato que no necesitarás para este problema.

En un momento determinado, salta una alerta en el panel de control indicando un ataque.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama en árbol detallando las probabilidades de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que la alerta emitida sea realmente una falsa alarma.

1. c) Si se confirma que la alerta era una falsa alarma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generada por el sistema $S_3$?

Un estudio sobre el consumo de contenido en streaming revela que el $70 \%$ de los jóvenes de una ciudad están suscritos a la Plataforma A, el $40 \%$ a la Plataforma B y el $20 \%$ a ambas. Se elige un joven al azar.

1. a) Sabiendo que está suscrito a la Plataforma B, ¿cuál es la probabilidad de que también lo esté a la Plataforma A? ¿Son independientes los eventos "Estar suscrito a A" y "Estar suscrito a B"?

1. b) Se sabe que el $15 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma A prefieren los documentales, el $25 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma B también los prefieren, y entre los que están en ambas plataformas, esa preferencia sube al $50 \%$. Entre los jóvenes que no están suscritos a ninguna de las dos plataformas, el $10 \%$ prefiere los documentales. Si un joven elegido al azar prefiere los documentales, ¿cuál es la probabilidad de que esté suscrito a ambas plataformas?

Un estudio sobre movilidad sostenible en una ciudad indica que el $45\ \%$ de los trayectos se realizan en transporte público, el $35\ \%$ en bicicleta o patinete eléctrico y el $20\ \%$ en carro particular. Se estima que la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 0,15 si se usa transporte público, de 0,05 si se usa bicicleta/patinete y de 0,30 si se usa carro particular (debido a los atascos).

1. a) Calcula la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar llegue puntual a su puesto de trabajo.

1. b) Si sabemos que un trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en su carro particular?

Un concesionario de autos eléctricos vende tres modelos: Compacto ($40\,\%$), Berlina ($35\,\%$) y SUV ($25\,\%$). Se ha observado que necesitan una revisión de software en el primer mes el $3\,\%$ de los Compactos, el $2\,\%$ de las Berlinas y el $5\,\%$ de los SUV. La figura muestra el diagrama de árbol de la situación.

Si un cliente llama porque su auto ha necesitado una revisión de software en el primer mes, ¿qué modelo es más probable que haya comprado? Justifica la respuesta calculando las probabilidades correspondientes.

Tres máquinas, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, fabrican piezas de precisión. $M_1$ produce el doble de piezas que $M_2$, y $M_3$ produce el mismo número que $M_1$ y $M_2$ juntas. El porcentaje de piezas defectuosas es del $2 \%$ para $M_1$ y del $4 \%$ para $M_2$.

Se sabe que, al tomar una pieza al azar de la producción total, la probabilidad de que sea defectuosa es del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el porcentaje de piezas defectuosas que produce la máquina $M_3$.
2. b) Si tomamos una pieza y comprobamos que es defectuosa, ¿cuál es la máquina que tiene mayor probabilidad de haberla fabricado?

Se realiza un estudio sobre una nueva aplicación de entrenamiento físico. Se estima que el $1\%$ de los adolescentes de una ciudad la utiliza. La aplicación tiene una función de "reto diario" que se completa con éxito el $95\%$ de las veces si el usuario es constante, pero si no lo es (el $99\%$ de la población no usa la app), la probabilidad de completar un reto similar por azar es de solo $0,05$.

Si seleccionamos un joven al azar y vemos que ha completado el reto con éxito, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario constante de la aplicación?

Un laboratorio farmacéutico desarrolla un test rápido para detectar una deficiencia vitamínica que afecta al $5\ \%$ de la población joven. Los ensayos clínicos muestran que el test da positivo en el $96\ \%$ de las personas que realmente tienen la deficiencia. Sin embargo, también da un "falso positivo" en el $2\ \%$ de las personas sanas.

1. a) ¿Qué porcentaje de la población total dará positivo en el test?

1. b) Si un joven se realiza el test y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que sufra dicha deficiencia vitamínica? Comenta si el resultado te parece alto o bajo en relación con la fiabilidad del test.

En un centro de alto rendimiento deportivo, los atletas se someten a un control de dopaje. El $1 \%$ de los atletas consume una sustancia prohibida. El test utilizado tiene una fiabilidad del $98 \%$ (probabilidad de dar positivo si se ha consumido la sustancia). Sin embargo, el test también produce un $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo en atletas que no han consumido nada).

1. a) Si un atleta da positivo en el control, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya consumido la sustancia?
2. b) El comité decide realizar un segundo test independiente al mismo atleta si el primero da positivo. Si este segundo test (con la misma fiabilidad) también resulta positivo, ¿cuál es la probabilidad ahora de que el atleta sea culpable? Justifica si la confianza en el veredicto ha aumentado significativamente.