Vectores y espacios vectoriales

Expresa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como una combinación lineal de los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, es decir, en función de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Un dron de vigilancia despega desde una plataforma situada en el punto $A(1, -2, 5)$ y se desplaza en línea recta hasta alcanzar un objetivo en el punto $B(4, 3, -1)$. Calcula las componentes del vector de desplazamiento $\vec{AB}$ y obtén su módulo para conocer la distancia recorrida por el dron.

Se considera el vector del espacio $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Sin calcular raíces cuadradas, justifica por qué el módulo de cualquier vector no nulo $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ cumple siempre que es mayor o igual que el valor absoluto de cualquiera de sus componentes ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, con desigualdad estricta si tiene al menos dos componentes no nulas) y menor o igual que la suma de los valores absolutos de todas ellas ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utiliza el razonamiento anterior para acotar el valor de $|\vec{v}|$ entre dos números enteros, estimando un intervalo en el que debe encontrarse necesariamente su longitud.
3. c) Calcula el módulo exacto de $\vec{v}$ aplicando la fórmula tridimensional y comprueba si tu estimación inicial era correcta.

Se conocen los puntos del espacio $A(1,\; -1,\; 2)$ y $B(3,\; 1,\; 0)$. Se busca determinar la posición de un tercer punto $P(x,\; y,\; z)$ que cumple simultáneamente tres condiciones:

1. Los puntos $A$, $B$ y $P$ están alineados sobre una misma recta.

2. La distancia entre $A$ y $P$ es exactamente el triple de la distancia entre $A$ y $B$ (es decir, $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. La tercera coordenada de $P$ es estrictamente negativa ($z < 0$).

1. a) Obtén las componentes del vector $\vec{AB}$ y calcula su módulo exacto.
2. b) Plantea la relación vectorial entre $\vec{AP}$ y $\vec{AB}$, deduciendo los dos posibles vectores de desplazamiento $\vec{AP}$ que satisfacen la condición de distancia.
3. c) Determina de forma razonada las coordenadas del punto $P$ descartando la solución que no cumple la restricción sobre la coordenada $z$.

El Instituto de Meteorología de Cuba (INSMET) realiza el seguimiento de un globo sonda meteorológico lanzado desde las proximidades de La Habana. Se fija un sistema de referencia cartesiano con origen $O(0,\; 0,\; 0)$ en la estación de lanzamiento, donde el eje $X$ apunta hacia el este, el eje $Y$ hacia el norte (ambos con distancias en kilómetros) y el eje $Z$ mide la altitud (en cientos de metros, de modo que $z = 10$ representa $1000\text{ m}$ de altitud).

En una primera fase de ascenso, el globo alcanza la posición $A(0,\; 0,\; 12)$. A continuación, una corriente sostenida de viento lo traslada según el vector de desplazamiento $\vec{u} = (4,\; 3,\; 8)$ hasta una posición $B$.

1. a) Determina las coordenadas de la posición $B$ e indica a qué altitud en metros se encuentra el globo en ese punto.
2. b) Un equipo de seguimiento desea situar un punto de observación $M$ en la mitad exacta del trayecto entre el punto de despegue $O$ y la posición $B$. Halla las coordenadas de $M$ y calcula la distancia directa en línea recta desde el origen $O$ hasta $M$ expresando el resultado en kilómetros (ten en cuenta la conversión de unidades: $1\text{ unidad de } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) Desde la posición $B$, una ráfaga empuja al globo según el vector $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$, situándolo en un nuevo punto $C$. Demuestra vectorialmente que los puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza las siguientes operaciones analíticas:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcula el valor del escalar $k$ si se sabe que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

Determina si los vectores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ y $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ son linealmente dependientes. Justifica tu respuesta comprobando si sus coordenadas son proporcionales y explica qué relación geométrica existe entre ellos (¿son paralelos?).

Calcula el valor del parámetro $m$ para que el vector $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sea combinación lineal de los vectores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ y $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante la expresión $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Un dron de mensajería se desplaza en el espacio tridimensional siguiendo trayectorias marcadas por vectores. Sus propulsores básicos le permiten realizar tres movimientos fundamentales definidos por los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ y $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Si el dron necesita realizar un transporte urgente desde el centro de control hasta un cliente siguiendo el vector de desplazamiento resultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcula los coeficientes $a, b$ y $c$ tales que el movimiento se pueda expresar como combinación lineal de los propulsores: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Se consideran los vectores del espacio $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ y $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, así como el vector dependiente de un parámetro real $k$: $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ($a, b$) que traduce la condición de que $\vec{w}_k$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, es decir, $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Resuelve las ecuaciones independientes de $k$ para determinar los únicos coeficientes $a$ y $b$ posibles. A partir de ellos, deduce si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual $\vec{w}_k$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
3. c) Supón ahora que se define el vector $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Sin resolver ningún sistema de ecuaciones, razona si $\vec{t}$ es linealmente dependiente de $\vec{u}$ y describe la posición relativa de las rectas que contienen a ambos vectores en el espacio.
4. d) Justifica de forma formal y razonada por qué ningún par de escalares reales no nulos $\alpha, \beta \neq 0$ puede cumplir que $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, relacionando tu argumento con la independencia lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

En el diseño de una estructura metálica, dos vigas se unen en sus extremos representados por los puntos $P(2, 5, -3)$ y $Q(8, -1, 7)$. Para reforzar la estructura, se debe colocar un soporte exactamente en el punto medio del segmento $PQ$. Halla las coordenadas de dicho punto medio $M$.

Tres estaciones de radio están situadas en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ y $C(5, 3, -1)$. Comprueba si las tres estaciones están alineadas (pertenecen a la misma línea recta) estudiando la proporcionalidad de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$.

Considera un paralelogramo donde tres de sus vértices consecutivos son $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ y $C(5, 5, 3)$. Utilizando la igualdad entre vectores (por ejemplo, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

Dados los puntos $A(2, -1, 4)$ y $B(8, 5, -2)$, encuentra las coordenadas de los puntos $C$ y $D$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales. Explica la relación vectorial que has utilizado para resolverlo.

Un sistema de seguridad láser utiliza tres sensores situados en los puntos $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ y $C(k, -2, -1)$. Para que el sistema funcione correctamente, los tres sensores deben estar perfectamente alineados.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que los sensores $A, B$ y $C$ estén alineados.
2. b) Utilizando el valor de $k$ hallado, determina las coordenadas del punto medio del segmento $AC$.

Carlos tiene que calcular las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son $A(1,\; -2,\; 4)$ y $B(5,\; 2,\; -2)$. Para resolverlo, escribe en su examen:

Por tanto, concluye que el punto medio es $M(2,\; 2,\; -3)$.

1. a) Explica detalladamente cuál es el error conceptual de Carlos. ¿Qué representa geométricamente el vector $\frac{1}{2}\vec{AB}$ y por qué sus componentes no coinciden con las coordenadas del punto medio respecto al origen de coordenadas?
2. b) Muestra cómo Carlos podría haber llegado al punto medio correcto utilizando su vector $\frac{1}{2}\vec{AB}$ sumándolo al vector de posición adecuado.
3. c) Corrige el cálculo aplicando la fórmula directa del punto medio $M = \frac{A+B}{2}$ y comprueba que ambos caminos conducen al mismo resultado.

Considera los vectores del espacio $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Demuestra que el conjunto $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma una base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Encuentra las coordenadas del vector canónico $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ respecto de la base $B$.

En el diseño de un videojuego, la iluminación de una sala depende de tres focos cuyas direcciones de haz están definidas por los vectores $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ y $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determina razonadamente los valores del parámetro real $k$ para los cuales los tres haces de luz son linealmente dependientes (están en un mismo plano). ¿Qué ocurre con la base del espacio si $k$ toma uno de esos valores?

Se están instalando paneles solares en una estructura metálica. Los puntos de anclaje de un panel son $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ y $S(1, 3, a)$. Para que el panel no sufra tensiones mecánicas, los cuatro puntos deben ser coplanarios (pertenecer al mismo plano).

1. a) Determina el valor de $a$ para que los puntos $P, Q, R$ y $S$ sean coplanarios.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, ¿son los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ linealmente independientes? Justifica tu respuesta.

Estudia el rango de la siguiente familia de vectores según los valores del parámetro $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina para qué valores de $m$ el sistema de vectores es linealmente dependiente y, en caso de serlo, indica si los vectores son proporcionales o coplanarios.

En un software de simulación física, se define un sistema de referencia local mediante los vectores $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ y un tercer vector $\vec{c}$ de modo que el conjunto sea linealmente independiente.

Si el vector $\vec{c}$ tiene la forma $(0, 1, \lambda)$, determina el intervalo de valores de $\lambda$ para los cuales $\vec{c}$ no puede expresarse como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Razona si esto significa que el conjunto $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formaría una base de $\mathbb{R}^3$.

Dados los vectores del espacio $\mathbb{V}^3$ definidos por $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, k)$, se pide:

• a) Determinar razonadamente para qué valores del parámetro real $k$ los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ no constituyen una base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Para los valores de $k$ hallados en el apartado anterior, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores tomados de dos en dos.

• c) En el caso de que $k = 0$, expresa el vector $\vec{a} = (2, 3, 5)$ como combinación lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Considera una base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ de un espacio vectorial euclídeo. Se definen tres nuevos vectores a partir de los elementos de la base como:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Demuestra que los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente dependientes si y solo si el producto de los coeficientes $abc = -1$. En caso de que $a=1, b=1, c=-1$, obtén la relación de dependencia lineal que existe entre ellos.

Estudia la dependencia lineal de los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ y $D(m, m, m)$.

• a) Determina para qué valores de $m$ los cuatro puntos son coplanarios.

• b) ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el vector $\vec{AB}$ sea ortogonal al vector $\vec{CD}$?

• c) Explica geométricamente qué ocurre con los puntos cuando $m=1$.

Sean los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Hallar todos los vectores $\vec{w}$ que cumplan simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. El módulo de $\vec{w}$ es igual a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma un ángulo de $60^\circ$ con el vector $\vec{u}$.

Se considera el conjunto de vectores $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ que forman una base ortonormal. Se construye un nuevo sistema de vectores $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mediante las relaciones:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Demuestra que $S'$ es una base ortogonal pero no ortonormal.

• b) Halla el volumen del paralelepípedo definido por los vectores de $S'$.

• c) Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(3, 1, 4)$ en la base $S$, calcula sus coordenadas en la base $S'$.

Un equipo de ingenieros está calibrando el sistema de navegación de un satélite. Se han definido dos bases distintas en el espacio de trabajo. La base de control $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ y la base de maniobra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sabemos que:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un objeto detectado tiene coordenadas $(1, -2, 3)$ respecto a la base maniobra $B'$. Calcula cuáles son sus coordenadas respecto a la base de control $B$. ¿Es posible que un vector tenga las mismas coordenadas en ambas bases? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(0,2,1)$ y $C(k,0,3)$, se pide determinar el valor de $k$ para que el vector que une el origen $O$ con el baricentro $G$ de la cara opuesta $ABC$ sea perpendicular al plano que contiene a dicha cara. Nota: El baricentro de un triángulo es la media aritmética de sus vértices.

Dos partículas se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas. En el instante $t=0$, la primera partícula se encuentra en el punto $P(1, 0, 0)$ y se mueve con una velocidad constante dada por el vector $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. La segunda partícula parte de $Q(0, 2, 1)$ con velocidad $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determina el valor de $m$ para que los vectores posición de ambas partículas en cualquier instante $t > 0$ y el vector que une sus posiciones iniciales $\vec{PQ}$ sean siempre coplanarios. ¿Chocarán las partículas en algún momento para ese valor de $m$?

Para determinar si tres puntos del espacio $A(1,\; 2,\; -1)$, $B(3,\; -2,\; 3)$ y $C(6,\; -8,\; 9)$ están alineados sobre una misma recta, se plantean dos estrategias de resolución distintas:

• Método 1 (Métrico): Calcular las distancias euclídeas $d(A, B)$, $d(B, C)$ y $d(A, C)$ mediante el módulo de sus respectivos vectores y comprobar si la suma de las dos distancias menores coincide exactamente con la mayor.

• Método 2 (Vectorial): Construir los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ y analizar si son linealmente dependientes comprobando la proporcionalidad de sus componentes: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Aplica el Método 2 para decidir de forma justificada si los puntos $A$, $B$ y $C$ están o no alineados.
2. b) Aplica el Método 1 calculando los módulos $|\vec{AB}|$ y $|\vec{AC}|$ simplificando los radicales obtenidos, y verifica que se llega a la misma conclusión.
3. c) Compara críticamente ambos métodos y redacta una justificación razonada sobre cuál es más conveniente. Considera en tu análisis dos aspectos: el costo algebraico (presencia de raíces cuadradas frente a razones directas) y la facilidad de aplicación en el caso de que la tercera coordenada de $C$ contuviera un parámetro literal desconocido $k$.