Técnicas de conteo

Para mejorar la seguridad de una aplicación para celulares, un desarrollador decide crear códigos de acceso consistentes en una letra mayúscula (considerando las 26 letras del alfabeto estándar) seguida de tres dígitos (del 0 al 9).

• ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si los dígitos pueden repetirse?

• ¿Cuántos códigos diferentes habría si los tres dígitos tienen que ser distintos entre sí?

• Si se genera un código al azar con dígitos repetibles, ¿cuál es la probabilidad de que la letra sea una 'Z'?

El sistema ordinario de matriculación de vehículos de la Dirección de Tránsito de la Policía Nacional Revolucionaria (PNR) en Cuba asigna a cada automóvil un código compuesto por 4 dígitos (desde el 0000 hasta el 9999) seguidos de un bloque de 3 letras consonantes del alfabeto español, habiéndose excluido las 5 vocales (A, E, I, O, U) para evitar acrónimos y vocablos malsonantes, así como las letras Ñ y Q por posibles confusiones visuales. De este modo, se dispone de un conjunto de 20 consonantes admisibles.

1. a) Modela la asignación de matrículas y calcula cuántos vehículos diferentes pueden matricularse en total. Justifica las técnicas de conteo aplicadas en cada bloque de la matrícula.
2. b) Una cámara de control de tráfico registra la matrícula de un infractor, pero la imagen está parcialmente desenfocada: el agente comprueba que el bloque numérico es capicúa de cuatro cifras con la primera y segunda cifra distintas (por ejemplo, 7337), y que las tres letras son distintas entre sí y aparecen en estricto orden alfabético ascendente (por ejemplo, CFX). ¿Cuántas matrículas del parque teórico de la Dirección de Tránsito satisfacen este patrón?
3. c) Si se elige un vehículo al azar entre todos los posibles del sistema, determina la probabilidad de que su matrícula no contenga ningún dígito repetido y tampoco contenga ninguna consonante repetida. Expresa el resultado en forma de fracción irreducible y con cuatro cifras decimales.

Para mejorar la seguridad de una plataforma de e-sports, se requiere que los usuarios creen una clave de acceso de 6 caracteres. Los dos primeros deben ser letras mayúsculas del abecedario español (27 letras) y los cuatro restantes deben ser dígitos del $0$ al $9$.

Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden generar si:

1. a) Se permiten repeticiones de letras y números.
2. b) No se permite repetir ninguna letra, pero sí los números.
3. c) Las letras deben ser distintas y los números deben formar una secuencia estrictamente creciente (por ejemplo: $1258$, pero no $1225$ ni $4321$).

Una empresa de ciberseguridad genera claves de acceso mediante la permutación de los caracteres de la palabra BLOCKCHAIN. Se elige una de estas claves al azar.

1. a) Calcula la probabilidad de que la clave elegida comience y termine por vocal.
2. b) Determina la probabilidad de que todas las vocales aparezcan juntas en la clave.
3. c) Si se sabe que la clave empieza por B, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda letra sea una L?

Una clase de ingeniería tiene que elegir una comisión de 3 representantes. Si en la clase hay 20 estudiantes, calcula:

• ¿De cuántas formas se puede elegir la comisión si los tres cargos (delegado, subdelegado y secretario) son distintos?

• ¿De cuántas formas se puede elegir si los tres representantes tienen el mismo rango y no importa el orden?

• Si hay 12 hombres y 8 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión (sin cargos diferenciados) esté formada solo por mujeres? (Plantea la fracción mediante números combinatorios).

En un instituto de Educación Secundaria, la junta de delegados de 2.º de Bachillerato está compuesta por 10 estudiantes: 6 chicas y 4 chicos. Para formar una comisión de convivencia se debe elegir por sorteo a un grupo de 3 delegados.

Marcos quiere calcular la probabilidad de que la comisión esté formada por exactamente 2 chicas y 1 chico, y razona de la siguiente manera:

«Para la primera chica hay 6 opciones, para la segunda hay 5 opciones, y para el chico hay 4 opciones. Por tanto, los casos favorables son $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Como los casos posibles de elegir a 3 personas en orden de entre las 10 son $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, la probabilidad buscada es $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifica con precisión el error conceptual de Marcos al calcular los casos favorables y explica por qué su planteamiento distorsiona el cálculo del espacio muestral.
2. b) Resuelve el problema correctamente utilizando combinaciones $\binom{n}{r}$ mediante la regla de Laplace y compara tu resultado con el obtenido por Marcos.

Un centro de salud rural de Castilla y León dispone de una plantilla de 11 profesionales de urgencias entre personal médico de familia y personal de enfermería. Para organizar la guardia nocturna del fin de semana, se escoge al azar a un retén formado por 3 profesionales del total de 11.

Se sabe con certeza que la probabilidad de que el retén esté compuesto por 2 médicos y 1 enfermero es exactamente el doble de la probabilidad de que esté compuesto por 1 médico y 2 enfermeros.

1. a) Si denotamos por $m$ al número de médicos de la plantilla (con $2 \le m \le 9$), plantea la ecuación combinatoria que modeliza la condición dada a partir de la regla de Laplace.
2. b) Resuelve algebraicamente dicha ecuación para averiguar la composición exacta de la plantilla (cuántos médicos y cuántos enfermeros hay en el centro).
3. c) Con la plantilla ya determinada, calcula la probabilidad de que la guardia nocturna esté constituida exclusivamente por profesionales de un mismo colectivo sanitario.

En un club de deportes electrónicos (eSports) se analiza la especialización de sus 100 socios. Se sabe que 65 de ellos juegan habitualmente a League of Legends (evento $L$), 40 juegan a Valorant (evento $V$) y 15 juegan a ambos videojuegos.

Calcula la probabilidad de que, al elegir un socio al azar:

1. a) Juegue a alguno de los dos videojuegos ($L \cup V$).

1. b) No juegue a ninguno de los dos.

1. c) Juegue solo a League of Legends.

Ilustra la situación mediante un diagrama de Venn. Aquí tienes el esquema de partida, que debes completar con el número de socios de cada región:

Una urna contiene 12 bolas de cristal para un experimento de óptica: 5 son azules, 4 son rojas y 3 son amarillas. Si extraemos una bola al azar, calcula las siguientes probabilidades utilizando la regla de Laplace:

• Que la bola sea roja o amarilla.

• Que la bola no sea azul.

• Que la bola sea blanca.

En un laboratorio de robótica, se han mezclado en una caja 8 sensores de proximidad en perfecto estado y 2 sensores defectuosos. Un alumno extrae dos sensores de forma consecutiva y sin reemplazamiento (sin devolver el primero a la caja).

Calcula la probabilidad de que:

• Ambos sensores funcionen correctamente.

• El primero sea defectuoso y el segundo esté en buen estado.

En un grupo de 15 estudiantes de 2.º de Bachillerato que cursan Matemáticas II se encuentran tres amigos inseparables: Lucía, Mateo y Sofía. El departamento va a seleccionar al azar a un equipo de 4 estudiantes para representar al centro en la Olimpiada Matemática de la universidad local.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo matemático, haz una estimación cualitativa e intuitiva: ¿crees que la probabilidad de que al menos dos de los tres amigos coincidan en el equipo de 4 personas es superior al $50\,\%$, se sitúa en torno al $15\,\%-20\,\%$ o es un suceso muy improbable (inferior al $5\,\%$)? Justifica brevemente la intuición en la que te basas.
2. b) Modela el problema mediante técnicas combinatorias y calcula el valor exacto de dicha probabilidad como fracción irreducible y en porcentaje.
3. c) Contrasta el valor obtenido con tu estimación inicial y argumenta por qué la intuición humana sobre coincidencias grupales suele fallar en este tipo de sorteos.

En una auditoría técnica de ciberseguridad se analizan 18 servidores de datos pertenecientes a una entidad bancaria. Se ha detectado que 4 de ellos presentan un fallo crítico de seguridad no parcheado, mientras que los restantes 14 son completamente seguros. El equipo auditor selecciona al azar una muestra de 5 servidores para someterlos a una prueba de penetración. Se desea calcular la probabilidad del evento $A$: «en la muestra extraída hay al menos dos servidores vulnerables».

1. a) Desarrolla el cálculo de $P(A)$ mediante dos caminos analíticos distintos:

• Camino 1 (Conteo directo): particionar los casos favorables según el número exacto de servidores vulnerables encontrados.

• Camino 2 (Paso al evento contrario): calcular la probabilidad del evento complementario $A^c$.

Comprueba que ambos procedimientos conducen a la misma fracción irreducible.

1. b) Si el tamaño del lote aumentara a 30 servidores y la muestra a extraer fuera de 10 servidores, analiza cuál de los dos métodos ofrece una ventaja operativa real frente a errores de cálculo y justifícalo con base en la estructura combinatoria de las particiones.
2. c) Un asistente del equipo propone calcular los casos favorables del evento $A$ del siguiente modo: «Elegimos primero 2 servidores vulnerables de entre los 4 disponibles en $\binom{4}{2}$ formas; después, elegimos los 3 servidores restantes de entre los 16 que quedan en el lote en $\binom{16}{3}$ formas. Por tanto, los casos favorables son $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demuestra analíticamente por qué este razonamiento es erróneo y precisa si produce una sobreestimación o una subestimación del número real de casos.

Para constituir un tribunal examinador de oposiciones docentes en una provincia, la administración convoca por sorteo estricto a 5 vocales a partir de una lista cerrada de 30 aspirantes cualificados, formada por 18 mujeres y 12 hombres. La normativa de función pública exige el principio de presencia equilibrada: el tribunal no puede tener más del $60\,\%$ de vocales de un mismo sexo (es decir, el tribunal debe contar con al menos 2 mujeres y al menos 2 hombres).

1. a) Modela la selección del tribunal mediante combinaciones y calcula la probabilidad de que un tribunal extraído al azar cumpla directamente la normativa de presencia equilibrada.
2. b) Supongamos que en la lista de 30 personas figuran dos docentes concretos (un hombre y una mujer) que tienen parentesco de primer grado, por lo que la ley prohíbe que ambos coincidan en el mismo tribunal. Si la administración descarta por sorteo previo la posibilidad de que ambos coincidan, restringiendo el espacio muestral únicamente a tribunales donde no coincidan los dos familiares, determina si la probabilidad de que el tribunal cumpla la paridad aumenta o disminuye respecto a la obtenida en el apartado a). Justifica cuantitativamente tu conclusión.
3. c) Se plantea como alternativa modificar el procedimiento de sorteo: en lugar de un único sorteo de 5 personas sobre los 30 candidatos, realizar dos urnas separadas (una para mujeres y otra para hombres) y sortear aleatoriamente 3 mujeres y 2 hombres con probabilidad $0,5$, o 2 mujeres y 3 hombres con probabilidad $0,5$. Justifica matemáticamente si este nuevo mecanismo mantiene o altera la probabilidad individual que tiene cada docente de ser seleccionado respecto al sorteo equiprobable original.

Se ha realizado una encuesta a los 60 alumnos de 2º de Bachillerato de un instituto tecnológico sobre el uso de redes sociales para informarse sobre noticias científicas. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

	Usan X (Twitter)	Usan Instagram	Total
Alumnos	18	12	30
Alumnas	10	20	30
Total	28	32	60

Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

• Sea una alumna.

• Use Instagram para informarse.

• Sabiendo que es alumno, prefiera informarse a través de la red social X.

Un estudiante tiene dos exámenes el mismo día: Matemática e Inglés. Por su historial de notas, estima que la probabilidad de aprobar Matemática ($M$) es de $0,7$, la de aprobar Inglés ($I$) es de $0,8$ y la de aprobar ambos es de $0,6$.

• ¿Son los eventos "Aprobar Matemática" y "Aprobar Inglés" independientes? Justifica tu respuesta matemáticamente.

• Calcula la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.

En el estudio de rendimiento de un nuevo procesador gráfico, se definen los eventos $A$: "el procesador supera los $100$ FPS en ultra" y $B$: "el procesador mantiene una temperatura inferior a $70^\circ$C". Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Halla razonadamente:

1. a) La probabilidad de que se cumplan ambos eventos a la vez.
2. b) La probabilidad de que se cumpla solo el evento $A$.
3. c) ¿Son los eventos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.

En el laboratorio de un hospital, dos analizadores automáticos, $A$ y $B$, procesan las muestras de sangre. El analizador $A$ procesa el $60 \%$ de las muestras y el $B$ el $40 \%$ restante. Se sabe que el $2 \%$ de las muestras del analizador $A$ deben repetirse por error de lectura, mientras que en el $B$ ese porcentaje es del $5 \%$.

Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que una muestra elegida al azar deba repetirse.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una empresa de desarrollo de software utiliza tres servidores para alojar su API: el servidor $S_1$ gestiona el $45\%$ del tráfico, el $S_2$ el $35\%$ y el $S_3$ el resto. Debido a la carga, el servidor $S_1$ falla (error 500) en el $2\%$ de las peticiones, $S_2$ en el $3\%$ y $S_3$ en el $5\%$.

1. a) Si un usuario realiza una petición, ¿cuál es la probabilidad de que el servidor devuelva un error?
2. b) Si una petición ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido gestionada por el servidor $S_3$?

Un laboratorio de robótica tiene dos cajas de componentes. La Caja 1 contiene $8$ sensores de proximidad y $4$ actuadores. La Caja 2 contiene $5$ sensores de proximidad y $7$ actuadores. Se elige una caja al azar y se extraen sucesivamente dos componentes sin reemplazamiento.

1. a) Calcula la probabilidad de que los dos componentes extraídos sean actuadores.
2. b) Si sabemos que los dos componentes extraídos han sido sensores de proximidad, ¿cuál es la probabilidad de que provengan de la Caja 1?

Un servidor de almacenamiento de datos recibe peticiones de tres tipos de clientes: Bronce ($50\%$), Plata ($30\%$) y Oro ($20\%$). Debido a la saturación, el servidor puede rechazar peticiones. Se sabe que la probabilidad de que una petición sea rechazada es del $10\%$ para clientes Bronce, del $5\%$ para clientes Plata y del $1\%$ para clientes Oro.

1. a) Si se selecciona una petición al azar y resulta ser rechazada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de un cliente de tipo Bronce?
2. b) Tras una actualización del sistema, la probabilidad total de rechazo ha bajado al $4\%$. Si las probabilidades de los clientes Plata y Oro se mantienen iguales, ¿cuál es la nueva probabilidad de rechazo para los clientes Bronce?

Se dispone de una urna $A$ con 4 bolas blancas y 6 bolas negras, y una urna $B$ con 7 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado equilibrado: si sale un número menor o igual que 2, se extrae una bola de la urna $A$ y se introduce en la $B$, para luego extraer una bola de $B$. Si sale un número mayor que 2, se extrae una bola de la urna $B$ y se introduce en la $A$, para luego extraer una bola de $A$.

Calcula la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca.

Un dispositivo electrónico consta de dos componentes críticos, $C_1$ y $C_2$, conectados en paralelo (el dispositivo funciona si al menos uno de los dos funciona). La probabilidad de que $C_1$ falle en un año es $0,15$, y la de que $C_2$ falle es $0,20$. Sin embargo, los fallos no son independientes: si $C_1$ falla, la probabilidad de que $C_2$ también falle aumenta a $0,60$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el dispositivo falle antes de un año.
2. b) ¿Son los eventos "Falla $C_1$" y "Falla $C_2$" dependientes? Justifica tu respuesta con cálculos.
3. c) Si el dispositivo ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que el componente $C_1$ haya fallado?

Un sistema de puntería láser para cirugía ocular tiene un error de desviación $X$, medido en micras, que sigue una función de densidad dada por:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad legítima.
2. b) Calcula la probabilidad de que la desviación sea superior a 1 micra.
3. c) Obtén la esperanza matemática de la desviación. ¿Qué significado tiene este valor en el contexto de la cirugía?

Un ingeniero de telecomunicaciones estima que la probabilidad de que un paquete de datos se pierda durante una transmisión inalámbrica en condiciones de interferencia es de $0,15$. Se envía una ráfaga de $10$ paquetes de forma independiente.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se pierdan exactamente $3$ paquetes?
2. b) Calcula la probabilidad de que se pierdan al menos $2$ paquetes.
3. c) ¿Cuál es el número esperado de paquetes perdidos y su desviación típica?

El tiempo de compilación de un proyecto complejo de ingeniería sigue una distribución normal con una media de $120$ segundos y una desviación típica de $15$ segundos.

1. a) Calcula la probabilidad de que el proyecto se compile en menos de $100$ segundos.
2. b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de compilación esté entre $110$ y $140$ segundos.
3. c) ¿Qué tiempo de compilación es superado solo por el $5\%$ de los procesos más lentos?

El tiempo de respuesta de un sensor industrial sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de las respuestas tardan más de $82$ milisegundos, y que solo el $2,28\%$ de las respuestas son más rápidas que $58$ milisegundos.

1. a) Calcula los parámetros $\mu$ y $\sigma$ del tiempo de respuesta.
2. b) Si el fabricante garantiza que el sensor responde en menos de $85$ ms, ¿qué porcentaje de los sensores no cumplirán la garantía?

En un examen de certificación técnica, las puntuaciones siguen una distribución $N(70, 12)$. La institución decide otorgar una "Mención de Excelencia" a los alumnos que obtengan una nota situada en el percentil $90$.

1. a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener dicha mención?
2. b) Si se presentan $250$ alumnos, ¿cuántos se espera que obtengan la mención?
3. c) Si elegimos a dos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan la mención?

En un examen de ingeniería con 100 alumnos, las notas siguen una distribución normal de media $6,2$ y desviación típica $1,5$. El profesor decide que el $10\%$ de los alumnos con mejores notas obtendrán la calificación de "Sobresaliente", mientras que aquellos cuya nota esté por debajo de una desviación típica de la media suspenderán.

1. a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener un "Sobresaliente"?
2. b) ¿Cuántos alumnos se espera que suspendan el examen?
3. c) Si elegimos a tres alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga una nota superior a 7?

Una red social detecta que el $10\%$ de las cuentas creadas son "bots". Si en una hora se registran $400$ cuentas nuevas:

1. a) Explica por qué se puede aproximar el número de bots mediante una distribución normal.
2. b) Calcula, realizando la aproximación a la normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que haya entre $35$ y $50$ bots (ambos inclusive).
3. c) Calcula la probabilidad de que el número de bots sea superior a $45$.

Un sistema de comunicación satelital transmite paquetes de datos. Cada paquete tiene una probabilidad $p = 0,002$ de corromperse durante la transmisión de forma independiente. Para asegurar la recepción, se envía un bloque de $2500$ paquetes.

1. a) Justifica por qué se puede aproximar el número de paquetes corrompidos mediante una distribución normal.
2. b) Calcula la probabilidad de que se corrompan entre 4 y 8 paquetes (ambos inclusive).
3. c) Si el sistema de corrección de errores solo puede reparar hasta 10 paquetes por bloque, ¿cuál es la probabilidad de que el bloque sea irreparable?