Combinaciones: selecciones sin ordenación

En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se disputarán en el torneo.

Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas distintas de $4$ ingredientes puedes elaborar.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen simultáneamente $3$ cartas al azar. Determina cuántos resultados distintos se pueden obtener.

Para la asignatura de Lengua Castellana y Literatura de 4.º de ESO, el profesorado ofrece una lista de 7 lecturas recomendadas, de las cuales cada estudiante debe elegir 3 para realizar un trabajo durante el trimestre. Sergio afirma con seguridad: «Para elegir el primer libro tengo 7 opciones; para el segundo, 6; y para el tercero, 5. Por tanto, en total hay $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ formas posibles de elegir mis 3 lecturas».

1. a) Identifica el error conceptual cometido por Sergio y explica por qué su cálculo genera un número mucho mayor que las elecciones reales.
2. b) ¿Cuántas veces está contando Sergio cada posible grupo de 3 libros? Relaciona tu respuesta con las permutaciones de esos 3 elementos.
3. c) Escribe la fórmula correcta utilizando la notación del número combinatorio $\binom{n}{k}$ y calcula cuántas selecciones distintas de 3 libros se pueden hacer realmente.

En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.

Se marcan $7$ puntos sobre una circunferencia. Calcula cuántos segmentos distintos se pueden trazar uniendo dos de estos puntos.

En una clase de 24 estudiantes de 4.º de ESO se debe elegir una delegación de convivencia formada por 2 representantes para acudir a las reuniones del centro.

1. a) Antes de aplicar ninguna fórmula, haz una estimación razonada sin hacer cálculos minuciosos: ¿crees que el número de parejas posibles estará en el orden de las decenas, de los cientos o de los miles? Argumenta tu respuesta pensando en las opciones que tiene cada estudiante.
2. b) Modela la situación mediante el número combinatorio adecuado, realiza el cálculo y comprueba si tu estimación inicial ha sido acertada.
3. c) A partir de la propiedad de simetría de los números combinatorios $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, explica por qué elegir a los 2 representantes de la delegación equivale matemáticamente a elegir a los 22 estudiantes que se quedan fuera, sin necesidad de calcular factoriales adicionales.

Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular de $10$ lados (decágono).

Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un alumno seleccionar las preguntas a responder.

Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$:

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios:

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.

El Instituto de Meteorología (INSMET) va a auditar el mantenimiento de una red de estaciones meteorológicas automáticas en la región oriental de Cuba. Dispone de 9 estaciones situadas en zonas de montaña y 6 estaciones en zonas litorales. El protocolo técnico establece que se debe seleccionar una muestra de 6 estaciones compuesta obligatoriamente por 4 estaciones de montaña y 2 estaciones litorales.

1. a) Justifica matemáticamente por qué la selección de cada categoría debe modelarse mediante combinaciones sin repetición y no mediante variaciones o permutaciones.
2. b) Aplica el principio de multiplicación combinatoria para calcular cuántas muestras diferentes de 6 estaciones se pueden configurar cumpliendo la cuota establecida.
3. c) Si por razones técnicas se decide que la estación de montaña situada en el Pico Turquino debe formar parte de la muestra de forma obligatoria, calcula cuántas muestras distintas de 6 estaciones (4 de montaña y 2 de costa) se pueden seleccionar ahora.

Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determina en cuántos de los resultados posibles hay exactamente $3$ cartas del palo de oros.

En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina de cuántas formas diferentes puedes completar tu selección de preguntas.

El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcula cuántas apuestas diferentes de las posibles obtendrían exactamente $4$ aciertos.

Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.

En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como vértices. Ten en cuenta que tres puntos alineados no forman un triángulo.

Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente $2$ bolas rojas y al menos $1$ bola azul.

Un tribunal médico para la evaluación de las pruebas del sistema MIR en el Ministerio de Sanidad debe estar formado por 6 personas, seleccionadas de un equipo compuesto por 4 especialistas en Medicina Familiar y Comunitaria y 7 especialistas en Medicina Interna. La normativa exige que en el tribunal resultante figure, al menos, un especialista en Medicina Familiar y Comunitaria.

Dos vocales del comité proponen métodos distintos para calcular el número de tribunales válidos:

• Método 1 (Directo): Dividir el problema en casos disjuntos según el número de médicos de familia (1, 2, 3 o 4), calcular las combinaciones de cada caso multiplicando por los internistas necesarios y sumar todos los resultados.

• Método 2 (Complementario): Calcular todos los tribunales posibles de 6 personas que se pueden formar con los 11 médicos disponibles sin restricción alguna y restar los tribunales no válidos (aquellos donde no hay ningún especialista en Medicina Familiar).

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos planteando sus números combinatorios y comprueba numéricamente que ambos conducen al mismo resultado.
2. b) Compara críticamente ambos métodos: ¿cuál consideras más eficiente en tiempo y con menor riesgo de error de cálculo en una situación de examen? Justifica tu elección analizando el número de operaciones de cada uno.
3. c) Si la normativa cambiara y exigiera que en el tribunal haya «al menos 3 especialistas en Medicina Familiar», ¿seguiría siendo el método complementario más corto que el directo? Justifica tu respuesta razonando sobre la cantidad de casos favorables frente a los desfavorables.

Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcula el número de trayectorias distintas que puede seguir.

Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determina cuántas rutas válidas existen.

En el trazado ortogonal del Vedado, en La Habana, un repartidor de paquetería en bicicleta debe desplazarse desde el cruce A hasta el cruce B. Para optimizar su ruta, el repartidor únicamente avanza hacia el este o hacia el norte en cada cruce, requiriendo un trayecto exacto de 5 cuadras hacia el este y 3 cuadras hacia el norte (un total de 8 cuadras de desplazamiento).

1. a) Modela el trayecto mediante combinatoria: explica por qué cualquier ruta óptima de 8 cuadras equivale a elegir los turnos de avance en una de las dos direcciones y calcula cuántas rutas distintas unen A con B mediante la expresión $\binom{m+p}{m}$.
2. b) La Policía Nacional Revolucionaria ha cerrado por obras el cruce intermedio C, situado exactamente a 2 cuadras al este y 1 cuadra al norte del punto A. Modela cuántas de las rutas posibles pasarían forzosamente por el cruce C y deduce cuántas rutas alternativas libres de obras quedan disponibles para el repartidor.
3. c) Supón que el repartidor debe entregar obligatoriamente un paquete urgente en el cruce D (ubicado a 4 cuadras al este y 2 al norte de A) y que el cruce C continúa cerrado. Plantea y calcula la expresión combinatoria que determina cuántas rutas distintas permiten ir de A hasta B pasando obligatoriamente por D pero evitando en todo momento el cruce cortado C.

En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden elegir varios del mismo tipo.

Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.

En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada uno de los $5$ sabores. Calcula de cuántas formas distintas puedes hacer tu pedido.

El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble nueve (las puntuaciones van del $0$ al $9$). Calcula cuántas fichas en total tendrá este nuevo juego y cuántas de ellas no serán dobles.

Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:

$C_{n, 2} = 45$

En un torneo regional de pádel federado en Castilla-La Mancha, la fase previa se disputa por grupos independientes. En cada grupo, todas las parejas inscritas juegan exactamente un partido contra cada una de las demás parejas de su mismo grupo (sistema de liga a una sola vuelta). Al cerrar el acta de la fase previa, la organización confirma que en el Grupo A se han disputado exactamente 45 partidos en total.

1. a) Escribe una ecuación combinatoria utilizando la notación $\binom{n}{k}$ donde intervenga el número desconocido $n$ de parejas inscritas en el Grupo A.
2. b) Desarrolla algebraicamente el número combinatorio para transformar la igualdad en una ecuación de segundo grado en forma general.
3. c) Resuelve la ecuación, analiza las dos soluciones obtenidas descartando razonadamente la que carezca de sentido en este contexto e indica cuántas parejas competían en dicho grupo.

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria:

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$