Estadística básica

Un ingeniero agrónomo está calibrando un sensor de humedad del suelo. Las últimas 5 lecturas, en porcentajes, son: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcula la media aritmética y la desviación típica poblacional de estas mediciones.

Un equipo de ciclistas ha registrado las distancias recorridas en sus últimos 4 entrenamientos: $45, 50, x, 60$ kilómetros. Sabiendo que la distancia media de los 4 entrenamientos es exactamente de $52,5$ km, determina primero el valor del entrenamiento que falta ($x$) y, a continuación, calcula la desviación típica poblacional de los 4 entrenamientos.

En una estación meteorológica de la AEMET situada en la sierra se han registrado las siguientes temperaturas máximas (en ºC) durante cinco días consecutivos de invierno: $-2, 1, 3, 4, 9$.

1. a) Sin realizar todavía operaciones formales, estima de forma justificada entre qué dos números enteros debe situarse la media aritmética $\bar{x}$ y razona si esperas que la desviación típica sea menor o mayor que $5$ ºC a la vista del rango de los datos.
2. b) Comprueba tu estimación calculando el valor exacto de la media aritmética $\bar{x}$, la varianza $\sigma^2$ y la desviación típica $\sigma$.
3. c) Evalúa la función de error cuadrático $f(c) = \sum_{i=1}^5 (x_i - c)^2$ para los valores $c = 2$, $c = \bar{x}$ y $c = 4$. Comprueba numéricamente si se cumple la propiedad teórica de que dicha función alcanza su mínimo valor estrictamente en la media aritmética.

En una maternidad se ha medido el peso en kg ($X$) y la longitud en cm ($Y$) de 6 recién nacidos, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(3,2; 50)$, $(3,5; 52)$, $(3,2; 51)$, $(3,8; 52)$, $(3,5; 50)$ y $(3,2; 50)$. Construye la tabla de doble entrada (frecuencias absolutas conjuntas) para estas dos variables.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un biólogo marino compara la longitud de dos especies de peces. La especie Alpha tiene una longitud media de $40$ cm con una desviación típica de $4$ cm. La especie Beta tiene una longitud media de $150$ cm con una desviación típica de $12$ cm. Calcula el coeficiente de variación para ambas especies e indica cuál presenta mayor dispersión relativa.

Dos fábricas de componentes aeronáuticos producen piezas cuyo tiempo de vida útil es una variable estadística. La fábrica Alpha produce componentes con una vida útil media de $1200$ horas y una varianza de $14400$ horas$^2$. La fábrica Beta produce componentes con una vida útil media de $800$ horas y una varianza de $10000$ horas$^2$. Justifica, calculando una medida de dispersión relativa adecuada, qué fábrica tiene una producción más homogénea.

Las puntuaciones obtenidas por los 9 miembros de un equipo de gimnasia rítmica en una prueba de flexibilidad son: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana y el primer cuartil ($Q_1$) de este conjunto de datos.

En una estación meteorológica se ha agrupado la velocidad máxima diaria del viento ($X$, en km/h) en los siguientes intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, con frecuencias absolutas $5, 12, 8, 5$ respectivamente. Utilizando las marcas de clase de cada intervalo, calcula la media aritmética y la varianza de la velocidad del viento.

Un analista de control de calidad observa los errores de fabricación de 10 lotes de producción. La media de errores es $6,5$ y la varianza es $2,25$. Posteriormente, en una auditoría, se da cuenta de que un error tipográfico registró $2$ errores en lugar de $8$ para uno de los lotes. Calcula la nueva media y la nueva varianza corregidas sin necesidad de conocer los datos individuales de los otros 9 lotes.

Se han realizado dos estudios epidemiológicos independientes sobre el índice de masa corporal (IMC) en una región. El primer estudio, con una muestra de $40$ personas, obtuvo una media de $22$ y una varianza de $4$. El segundo estudio, con una muestra de $60$ personas, obtuvo una media de $25$ y una varianza de $5$. Si se combinan ambos estudios en una sola muestra agregada de $100$ personas, calcula la media y la varianza de esta muestra conjunta.

Una cooperativa de transporte urbano dispone de una flota de $50$ furgonetas eléctricas y monitoriza el consumo de energía en kWh cada $100$ km. Los vehículos operan en dos turnos independientes: Mañana ($30$ furgonetas) y Tarde ($20$ furgonetas). Por un fallo en el volcado de datos, se han perdido los registros individuales, pero el sistema conserva los siguientes indicadores agregados:

• El consumo medio global de la flota completa fue de $8{,}2$ kWh/100 km con una varianza global $\sigma^2 = 0{,}96$.

• En el turno de Mañana, el consumo medio fue de $8{,}0$ kWh/100 km con una desviación típica de $0{,}8$ kWh/100 km.

1. a) Plantea la ecuación de la media ponderada y determina el consumo medio registrado en el turno de Tarde.
2. b) Utilizando la relación entre varianza muestral, suma de cuadrados y media (propiedad $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$), reconstruye la suma total de cuadrados de cada turno y deduce la varianza y la desviación típica del consumo en el turno de Tarde.
3. c) Calcula el coeficiente de variación ($CV$) de cada turno y razona cuál de los dos grupos presentó un patrón de consumo relativamente más homogéneo.

Dado un conjunto de datos unidimensional $x_1, x_2, \dots, x_n$, se define la función de error cuadrático $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, que mide la suma de las distancias al cuadrado desde cada dato hasta un valor constante $c$. Demuestra analíticamente (utilizando derivadas o completando cuadrados) que el valor de $c$ que minimiza esta función es exactamente la media aritmética $\bar{x}$.

Un consorcio provincial de transportes proyecta ubicar una estación central de transbordo a lo largo de una carretera provincial rectilínea, cuyas posiciones se miden en kilómetros ($x$) respecto a un nodo de origen. Cuatro municipios con distintas demandas de viajeros diarios se sitúan en los puntos kilométricos $x_1 = 10$, $x_2 = 20$, $x_3 = 35$ y $x_4 = 40$, con demandas de $f_1 = 40$, $f_2 = 60$, $f_3 = 120$ y $f_4 = 80$ viajeros diarios, respectivamente ($N = 300$).

Se plantean dos criterios para determinar la posición kilométrica $c$ donde construir la estación:

• Criterio cuadrático: Minimizar la función de costo $E(c) = \sum_{i=1}^4 f_i(x_i - c)^2$, que penaliza fuertemente a los municipios más alejados.

• Criterio lineal: Minimizar el trayecto total absoluto de los viajeros $L(c) = \sum_{i=1}^4 f_i|x_i - c|$.

1. a) Demuestra mediante derivación respecto a $c$ que el valor óptimo $c^*$ que minimiza $E(c)$ es exactamente la media aritmética ponderada de las posiciones. Calcula el valor exacto de dicho punto kilométrico $c^*$ y la varianza de las distancias respecto a él.
2. b) Determina la mediana de la distribución de viajeros a partir de las frecuencias acumuladas y comprueba si coincide con la media aritmética obtenida.
3. c) Evalúa y compara el costo lineal $L(c)$ situando la estación en la media aritmética ($c = c^*$) frente a situarla en la mediana ($c = M$). Interpreta el resultado obtenido explicando por qué la media minimiza la suma ponderada de desviaciones al cuadrado pero no la suma de distancias en valor absoluto.

En una maternidad se ha medido el peso en kg ($X$) y la longitud en cm ($Y$) de 6 recién nacidos, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(3,2; 50)$, $(3,5; 52)$, $(3,2; 51)$, $(3,8; 52)$, $(3,5; 50)$ y $(3,2; 50)$. Construye la tabla de doble entrada (frecuencias absolutas conjuntas) para estas dos variables.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un estudio sociológico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a 50 personas sobre su sexo ($X$: $1$ para Hombre, $2$ para Mujer) y si leen más de un libro al mes ($Y$: $1$ para Sí, $2$ para No). La tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$ es la siguiente: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Construye la tabla de distribución marginal de la variable $Y$ y calcula sus frecuencias relativas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un estudio sobre el rendimiento en la materia de Matemáticas de 1.º de Bachillerato, se analiza la relación entre el uso habitual de calculadora gráfica ($X$: Sí, No) y el resultado en la evaluación final ($Y$: Aprobado, Suspenso) sobre una muestra de $50$ estudiantes de un instituto. Los datos conjuntos son:

• Estudiantes que usan calculadora y aprueban: $18$

• Estudiantes que usan calculadora y suspenden: $2$

• Estudiantes que no usan calculadora y aprueban: $15$

• Estudiantes que no usan calculadora y suspenden: $15$

Carlos, un alumno de la clase, afirma: «El porcentaje de alumnos que aprueban por usar calculadora es del $36\,\%$, ya que $18/50 = 0{,}36$».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual de Carlos al interpretar una frecuencia relativa conjunta $f_{11}$ como si fuera una frecuencia condicionada.
2. b) Plantea y calcula la frecuencia relativa condicionada que responde de forma rigurosa a la pregunta: «Entre los alumnos que usan calculadora gráfica, ¿cuál es el porcentaje de aprobados?». Compara este valor con el porcentaje global de aprobados en la muestra e interpreta la diferencia.

A partir de una tabla de frecuencias conjuntas de dos variables $X$ (número de hermanos) e $Y$ (número de mascotas domésticas), se sabe que la frecuencia marginal absoluta de $X=1$ es $n_{1\bullet} = 40$. De esas 40 personas, 15 tienen $Y=0$ mascotas, 20 tienen $Y=1$ mascota y 5 tienen $Y=2$ mascotas. Calcula la distribución de frecuencias relativas de la variable $Y$ condicionada a $X=1$.

Una clínica veterinaria clasifica a los perros atendidos en un mes según su tamaño ($X$: $1$ = Pequeño, $2$ = Mediano, $3$ = Grande) y el número de visitas al veterinario en el último año ($Y$: $1, 2, 3$). La tabla de frecuencias conjuntas $n_{ij}$ es:

• Para $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$

• Para $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$

• Para $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$

Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución marginal del número de visitas ($Y$).

En un estudio de agronomía, se analiza la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$). Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada para las frecuencias conjuntas $n_{ij}$:

Calcula la media y la desviación típica del rendimiento de la cosecha condicionada a que se hayan aplicado $20$ kg/ha de fertilizante (es decir, de la distribución $Y | X=20$).

Se analizan dos variables cualitativas en una muestra de $200$ turistas: continente de origen ($X$: Europeo, Americano, Asiático) y tipo de alojamiento ($Y$: Hotel, Apartamento). Las frecuencias relativas marginales son: Europeos $50\%$, Americanos $30\%$, Asiáticos $20\%$. Para el alojamiento: Hotel $60\%$, Apartamento $40\%$. Si se asume que ambas variables son estadísticamente independientes, ¿cuántos turistas de la muestra se espera que sean americanos y se alojen en un apartamento simultáneamente?

En una investigación sobre la relación entre el número de horas semanales dedicadas al deporte ($X$) y el nivel de estrés laboral ($Y$), se obtiene la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas, donde $k$ es un valor desconocido:

Determina matemáticamente el valor de $k$ para que las variables $X$ e $Y$ sean estrictamente independientes desde el punto de vista estadístico.

Para contrastar si existe relación de dependencia entre dos variables estadísticas $X$ e $Y$ tabuladas en una tabla de doble entrada, dos miembros de un equipo de analistas discuten qué método emplear:

• Método A: Comprobar si las medias condicionadas de $Y$ para cada valor de $X$ coinciden entre sí y con la media marginal de $Y$ (es decir, verificar si $\bar{y}_{X=x_1} = \bar{y}_{X=x_2} = \dots = \bar{y}$).

• Método B: Comprobar si las distribuciones de frecuencias relativas condicionadas de cada fila coinciden con la distribución marginal de $Y$ (es decir, verificar si $n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ para todo $i, j$).

Considera la siguiente tabla de frecuencias conjuntas que resume una prueba piloto sobre dos métodos de formación ($X \in \{1, 2\}$) y el nivel alcanzado en una escala discreta ($Y \in \{1, 2, 3\}$):

1. a) Aplica el Método A calculando la media condicionada de $Y$ para $X=1$, la media condicionada de $Y$ para $X=2$ y la media marginal $\bar{y}$. ¿A qué conclusión sobre la relación entre $X$ e $Y$ conduciría erróneamente este método?
2. b) Aplica el Método B sobre la casilla $(X=1, Y=1)$ y justifica rigurosamente por qué el Método B es el único válido para diagnosticar independencia estadística en general.
3. c) Demuestra formalmente que la condición del Método B ($n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ para todo $i, j$) es algebraicamente equivalente a la definición simétrica $f_{ij} = f_{i\bullet} \cdot f_{\bullet j}$. Explica por qué basta encontrar una única celda que incumpla la igualdad para descartar la independencia sin necesidad de verificar toda la tabla.

Observa el siguiente diagrama de dispersión que relaciona las horas de entrenamiento semanales ($X$) y el tiempo en segundos en una prueba de 100 metros lisos ($Y$) de un grupo de atletas. Indica si la correlación entre ambas variables es directa (positiva) o inversa (negativa), y razona visualmente si la dependencia lineal parece fuerte o débil.

El siguiente diagrama de dispersión representa el precio en miles de dólares ($Y$) frente a la antigüedad en años ($X$) de un modelo específico de camioneta de uso. A partir de los puntos mostrados exactamente sobre las intersecciones de la cuadrícula en el gráfico, construye la tabla de datos bidimensional y calcula la media marginal de la antigüedad $\bar{x}$ y la media marginal del precio $\bar{y}$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia ($X$) y los ingresos anuales en miles de dólares ($Y$) de un grupo de profesionales, divididos en dos departamentos distintos (Departamento A en azul y Departamento B en verde). Explica el concepto de la paradoja de Simpson basándote en lo que observarías si calcularas la correlación global de todos los puntos juntos, frente a las correlaciones locales de cada departamento por separado.

El departamento de recursos humanos de una empresa de ingeniería ha recopilado datos sobre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual en miles de dólares ($Y$) de sus empleados. Sabiendo que la media de experiencia es $\bar{x} = 5$ años, el salario medio es $\bar{y} = 2,5$ miles de dólares, el tamaño de la muestra es $N = 20$ y la suma de los productos cruzados es $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la fuerza aplicada a un muelle en Newtons ($X$) y su longitud en centímetros ($Y$). Sabiendo que los pares de valores exactos son $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ y $(4, 9)$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$ y comprueba analíticamente si existe una relación funcional exacta entre ambas variables.

A partir de datos inspirados en la Encuesta sobre Equipamiento y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares del INE, se analiza la relación entre la edad de los usuarios ($X$, con tres tramos representados por su marca de clase: $20$ años para jóvenes de 16 a 24, $40$ años para adultos de 25 a 54, y $65$ años para mayores de 55) y el número medio de horas diarias dedicadas al ocio digital con pantallas ($Y \in \{1, 3, 5\}$ horas). La distribución de frecuencias absolutas conjuntas en una muestra representativa de $N = 200$ residentes es:

1. a) Obtén las tablas de las distribuciones marginales de $X$ y de $Y$, y calcula la edad media de la muestra y el promedio global de horas diarias de pantalla.
2. b) Modela la distribución condicionada del tiempo de ocio digital para el grupo de jóvenes ($Y \,|\, X = 20$ años) y calcula su media condicionada y su desviación típica condicionada.
3. c) Comprueba si el uso intensivo de pantallas ($Y = 5$ horas) es estadísticamente independiente de pertenecer al colectivo joven ($X = 20$ años) comparando formalmente la frecuencia relativa conjunta con el producto de las frecuencias relativas marginales correspondientes.

Sean $X$ e $Y$ dos variables estadísticas bidimensionales con medias $\bar{x}, \bar{y}$, desviaciones típicas $\sigma_x, \sigma_y$ y covarianza $\sigma_{xy}$. Si se realiza una transformación lineal a ambas variables de la forma $U = 3X - 2$ y $V = -2Y + 5$, demuestra analíticamente cuál será el valor de la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ expresada en función de $\sigma_{xy}$.

En una empresa tecnológica, el salario base mensual ($X$, en dólares) tiene una media de $1500$ y una desviación estándar de $200$. Las comisiones por proyectos entregados ($Y$, en dólares) tienen una media de $300$ y una desviación estándar de $100$. Sabiendo que la covarianza entre el salario base y las comisiones es $\sigma_{xy} = 15000$, calcula la media y la varianza del salario total mensual $Z = X + Y$.

(Nota: Recuerda la propiedad de la varianza de la suma de dos variables correlacionadas: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$).

Se dispone de una tabla bidimensional de dos variables $X$ e $Y$ que toman los valores $X \in \{1, 2\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Se conocen los siguientes datos estadísticos globales: el tamaño de la muestra es $N=100$, la media marginal de $X$ es $\bar{x} = 1,4$, la media marginal de $Y$ es $\bar{y} = 0,6$, y la covarianza es $\sigma_{xy} = 0,06$. Utilizando las definiciones de estos parámetros, reconstruye completamente la tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$.