Ángulos entre rectas y planos en el espacio

Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mientras que el suelo del pabellón se encuentra sobre el plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcula el ángulo que forma la viga de soporte con el suelo.

La trayectoria de un dron de vigilancia viene definida por la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. El dron debe atravesar un panel de cristal blindado situado en el plano $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Determina el ángulo de incidencia (el ángulo que forma la trayectoria con el plano) con el que el dron impactará en el cristal.

Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expresa el resultado en grados, minutos y segundos.

Dada la recta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ y el plano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, comprueba si la recta y el plano son paralelos o si, por el contrario, se cortan formando un ángulo determinado. En caso de que se corten, calcula dicho ángulo.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es el ángulo que forman en este caso?

Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del parámetro real $k$ sabiendo que el ángulo que forman la recta y el plano es de $30^\circ$.

Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugerencia: Obtén primero el vector director de la recta $r$ mediante el producto vectorial de los normales de $\pi_1$ y $\pi_2$).

Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

En el diseño de un auditorio de vanguardia, se proyecta una viga de soporte que sigue la dirección de la recta $s$, definida por la intersección de los planos:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Se desea que esta viga forme un ángulo $\alpha$ con el plano de la fachada principal $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Si se sabe que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcula el valor del coeficiente $a$ de la fachada.

Halla el ángulo que forma la recta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ con el plano coordenado $OXY$ ($z = 0$). Explica brevemente el significado geométrico del resultado obtenido.

Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su eficiencia debe formar un ángulo de $60^\circ$ con el eje $OZ$ (la vertical).

Calcula los posibles valores del parámetro $a$ (supón $a > 0$).

Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres ángulos? Justifica tu respuesta utilizando los conceptos de vectores directores y normales.

Considera la recta $s$ definida por la intersección de planos:

y la recta $r$ dada en forma continua:

Se define el haz de planos secantes en la recta $s$, cuya ecuación viene dada por $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, al que se añade el plano complementario $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Halla los valores de $\lambda$ para los cuales el ángulo $\alpha$ formado por la recta $r$ y el plano $\pi_\lambda$ es exactamente de $45^\circ$. Escribe la ecuación general de cada uno de los planos obtenidos.
2. b) Comprueba analíticamente si el plano complementario $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forma también $45^\circ$ con $r$.
3. c) Razona geométricamente si existe algún plano dentro de este haz que pueda ser estrictamente perpendicular a la recta $r$. Para ello, analiza la condición necesaria que deberían cumplir los vectores directores de ambas rectas $\vec v_s$ y $\vec v_r$, sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones complejos.

Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.

Considera el cubo de arista 1 unidad con un vértice en el origen $(0,0,0)$ y aristas sobre los ejes de coordenadas positivos. Sea $d$ la recta que contiene a la diagonal principal del cubo (la que une $(0,0,0)$ con $(1,1,1)$).

Halla el ángulo que forma dicha diagonal $d$ con la cara del cubo que se encuentra en el plano $XY$.

Determina la ecuación implícita del plano $\pi$ que contiene a la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ y es perpendicular al plano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una vez hallado, comprueba cuál es el ángulo que forma la recta $r$ con dicho plano $\pi$. ¿Era previsible el resultado? Razona tu respuesta.

Un haz de luz láser incide desde un satélite siguiendo la trayectoria de la recta $r$, que pasa por el punto $A(1, 0, 2)$ y tiene como vector director $\vec{v}(k, 1, 1)$. El objetivo es que el rayo impacte sobre una estación receptora situada en un plano $\pi$ de ecuación $2x - y + z = 5$. Determina los valores del parámetro real $k$ para que el ángulo que forma la trayectoria del láser con el plano receptor sea exactamente de $30^\circ$.

Un brazo robótico industrial en una planta de ensamblaje debe desplazarse sobre una guía rectilínea $r$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ y por el punto $P(1, -1, 0)$. El brazo debe operar sobre una placa metálica inclinada que coincide con el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 2)$. Calcula el ángulo que forma la trayectoria del robot con la placa de trabajo.

Una partícula cargada se mueve en un acelerador siguiendo la recta $r$ que pasa por el punto $M(2, 3, -1)$ y es paralela a la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. Al entrar en una zona con un campo magnético, la partícula cruza un plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Determina el ángulo de entrada de la partícula en dicho campo magnético (ángulo entre $r$ y $\pi$).