Ecuación del plano en el espacio
El techo de una cancha deportiva de Santa Clara se apoya en tres columnas de distinta altura. ¿Cómo se escribe, con una ecuación, esa chapa plana que pasa justo por las tres puntas? Para llegar ahí, primero miramos cómo se escribe una recta en el plano con un punto y un vector. Después subimos una dimensión: un plano necesita un punto y dos direcciones, o bien un punto y un vector perpendicular a él (el vector normal).
La recta en el plano con vectores
Un vector del plano es un par $\vec v=(a; b)$: indica cuánto te mueves en $x$ y cuánto en $y$. Si $P$ y $Q$ son puntos, el vector que va de $P$ a $Q$ es $\vec{PQ}=Q-P$.
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Suma: $(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d)$. Gráficamente, se dibuja el segundo vector a continuación del primero.
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Producto por un escalar: $\alpha\cdot(a; b)=(\alpha a; \alpha b)$. Estira, encoge o invierte el vector, pero mantiene la dirección.
Recta vertical. Si el vector dirección es $(0; b)$, por ejemplo $(x; y)=(2; 0)+\alpha(0; 5)$, la coordenada $x$ vale siempre $2$: la recta es $x=2$. No es la gráfica de una función $y=mx+b$, porque a un mismo $x$ le corresponden infinitos valores de $y$.
La recta en el espacio
Los planos se arman con rectas, y los ejercicios las dan de varias formas. Conviene tenerlas claras.
¿Por qué? Las tres igualdades dicen que el punto $X$ se mueve desde $A$ la misma fracción $\alpha$ del vector dirección en cada coordenada. Los denominadores de la forma continua son el vector dirección, y los números restados en los numeradores son el punto.
Una recta también puede venir como intersección de dos planos, como $\begin{cases}x-y+z=2\\2x+y-z=1\end{cases}$. Su vector dirección es perpendicular a ambos normales $\vec n_1$ y $\vec n_2$ (se halla buscando un vector $\vec d$ con $\vec d\cdot\vec n_1=0$ y $\vec d\cdot\vec n_2=0$) y un punto se obtiene dando un valor a una incógnita y resolviendo el sistema que queda.
Ecuación vectorial y paramétricas del plano
La misma idea sube de dimensión: un punto y dos vectores dirección.
Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$ y…
Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por:
$$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$$y es paralelo a la recta $s$, que pasa por los puntos $P(0, 2, 1)$ y $Q(1, 2, 4)$. Justifica por qué el vector director de $s$ no puede ser proporcional al de $r$ para que el plano esté unívocamente determinado.
Ecuación general: punto y vector normal
¿Por qué funciona? Un punto $X$ está en el plano justo cuando $\vec{PX}$ es perpendicular a $\vec n$, es decir, cuando $\vec n\cdot\vec{PX}=0$. Esa condición, escrita en coordenadas, es la ecuación.
Tres casos que se resuelven así:
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Plano perpendicular a una recta: el vector dirección de la recta es el vector normal del plano.
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Plano paralelo a otro plano: comparten el vector normal; solo cambia $D$ (se calcula con el punto dado).
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Pasar de paramétricas a general: el normal $\vec n=(A; B; C)$ cumple $\vec n\cdot\vec u=0$ y $\vec n\cdot\vec v=0$ (un sistema de dos ecuaciones; se le da un valor a una incógnita).
Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea…
Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula la ecuación general del plano que define dicha base.
Dada la ecuación del plano que representa una de las paredes de una habitación, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica razonadamente si los siguientes puntos…
Dada la ecuación del plano que representa una de las paredes de una habitación, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica razonadamente si los siguientes puntos pertenecen a dicha pared:
- a) $Q(3, 0, 0)$
- b) $R(1, 1, 1)$
La superficie de un panel solar en un satélite se puede representar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:…
La superficie de un panel solar en un satélite se puede representar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$
Obtén la ecuación general o implícita de dicho plano.
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(5, -2, 4)$ y es paralelo al plano de ecuación $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Recuerda que dos planos paralelos…
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(5, -2, 4)$ y es paralelo al plano de ecuación $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Recuerda que dos planos paralelos comparten el mismo vector normal.
Se desea instalar un foco de luz cuya trayectoria sea perpendicular a una placa metálica. Si la trayectoria del rayo de luz viene dada por la recta…
Se desea instalar un foco de luz cuya trayectoria sea perpendicular a una placa metálica. Si la trayectoria del rayo de luz viene dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, halla la ecuación del plano que contiene a la placa metálica sabiendo que pasa por el punto $M(0, 4, -2)$.
Plano por tres puntos, por una recta y un punto, por dos rectas
En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que…
En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que contiene a estos tres sensores.
Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ y que además pasa por el punto exterior…
Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ y que además pasa por el punto exterior $P(1, 1, 1)$.
Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los…
Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ y $C(1, 1, 5)$, donde las unidades están en metros.
- a) Obtén la ecuación general o implícita del plano que contiene a la cubierta.
- b) Calcula los puntos de corte de dicho plano con los ejes de coordenadas para determinar dónde se situarían los anclajes si la cubierta se extendiera hasta tocar los muros principales (ejes).
Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$,…
Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación del plano que los contiene en forma paramétrica.
Halla la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas, verificando primero que se cortan en un punto: $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}…
Halla la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas, verificando primero que se cortan en un punto:
$$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} \quad , \quad s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1}$$Si un tercer rayo láser sigue la dirección del vector normal a este plano y sale del punto de intersección de $r$ y $s$, ¿cuál sería su ecuación vectorial?
Ecuación segmentaria
Al revés, para hallar los cortes de un plano con los ejes, anulas dos coordenadas: con $y=z=0$ obtienes el corte con el eje $x$, y así con los otros. Si el plano pasa por $P$ y los cortes son iguales ($a=b=c$), la ecuación es $x+y+z=a$ y $P$ determina $a$. El tetraedro que forman el origen y los tres puntos tiene volumen $V=\dfrac{|abc|}{6}$ (es una pirámide de base $\frac{|ab|}{2}$ y altura $|c|$).
Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$.…
Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$. Escribe directamente su ecuación y transfórmala a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.
Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las…
Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las distancias al origen desde los puntos de corte son iguales ($a = b = c$).
- a) Escribe la ecuación general del plano.
- b) Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos de corte con los ejes.
El haz de planos
Otra condición típica es la perpendicularidad con un plano dado $\sigma$: se escribe el normal del plano del haz (en función de $\lambda$) y se impone $\vec n_\pi\cdot\vec n_\sigma=0$. Cuando la arista viene como $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$, primero se la escribe como intersección de dos planos (igualando dos a dos las fracciones).
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano…
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano perteneciente a dicho haz que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, 2, -1)$ y $B(3, 0, 5)$.
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula la ecuación del plano $\pi$ perteneciente a dicho haz…
Se considera el haz de planos cuya arista es la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula la ecuación del plano $\pi$ perteneciente a dicho haz que cumple las siguientes dos condiciones simultáneamente:
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Es perpendicular al plano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.
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El punto $P(0, a, 1)$ pertenece al plano $\pi$ para algún valor real de $a$.
Determina el valor de $a$ y la ecuación general de $\pi$.
Volumen mínimo del tetraedro con el haz
Algunos problemas piden, entre todos los planos de un haz, el que forma con los ejes un tetraedro de volumen mínimo. Se combinan la segmentaria y una desigualdad entre medias (sin derivadas, que no se usan en este curso).
Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de los planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ y $\beta: x + 2y - z = 0$, y que corta a los semiejes…
Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de los planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ y $\beta: x + 2y - z = 0$, y que corta a los semiejes coordenados positivos $OX$, $OY$ y $OZ$ en los puntos $P$, $Q$ y $R$ de forma que el volumen del tetraedro formado por el origen y estos puntos sea mínimo.
Posición, distancia y ángulo: herramientas para problemas
Muchos problemas combinan planos con rectas, distancias y ángulos. Estas son las herramientas mínimas (se profundizan en otros apartados).
¿Por qué la fórmula de distancia? Se proyecta el vector que va de un punto $Q$ del plano a $P$ sobre la dirección del normal: $\dfrac{|\vec n\cdot\vec{QP}|}{|\vec n|}$, y $\vec n\cdot\vec{QP}$ da el numerador.
Reflexión de un rayo en un plano (ampliación)
En una misión de rescate, un dron se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron…
En una misión de rescate, un dron se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron debe emitir una señal de radiofrecuencia que solo es efectiva si choca perpendicularmente contra una pantalla plana de seguridad.
- a) Determina la ecuación del plano que representa dicha pantalla si esta debe pasar por el punto $P(2, 2, 2)$ y ser perpendicular a la trayectoria del dron.
- b) Calcula el punto exacto donde la trayectoria del dron impactaría contra la pantalla.
Dados los planos $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$: a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean coincidentes. b)…
Dados los planos $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:
- a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean coincidentes.
- b) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean paralelos pero no coincidentes.
- c) ¿Qué relación debe existir entre $a$ y $b$ para que el origen de coordenadas pertenezca a la intersección de ambos planos?
Un arquitecto está diseñando la cubierta de un pabellón deportivo. La estructura principal está definida por dos vigas metálicas que se sitúan sobre las rectas:…
Un arquitecto está diseñando la cubierta de un pabellón deportivo. La estructura principal está definida por dos vigas metálicas que se sitúan sobre las rectas:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$
Determina la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a ambas vigas y que se encuentra a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades del origen de coordenadas. ¿Existe una única solución? Razona tu respuesta.
Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, -2)$ y sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ hasta impactar en un espejo plano que contiene a la recta…
Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, -2)$ y sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ hasta impactar en un espejo plano que contiene a la recta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ y al punto $B(0, 0, 4)$.
- a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ donde se encuentra el espejo.
- b) Halla las coordenadas del punto de impacto $P$ del láser sobre el espejo.
Consideramos las rectas secantes $r$ y $s$ que definen un plano $\alpha$. La recta $r$ pasa por $P(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ y la recta $s$ pasa…
Consideramos las rectas secantes $r$ y $s$ que definen un plano $\alpha$. La recta $r$ pasa por $P(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ y la recta $s$ pasa por $Q(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.
Calcula la ecuación de un plano $\pi$ que sea paralelo a $\alpha$ y tal que la esfera de centro $C(3, 2, 1)$ y radio $R=2$ sea tangente a dicho plano $\pi$. Obtén las dos posibles soluciones.
Posición de tres planos (ampliación)
Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ y $C(4, k, 0)$, estudia la posición relativa de los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ en función del parámetro real $k$,…
Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ y $C(4, k, 0)$, estudia la posición relativa de los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ en función del parámetro real $k$, sabiendo que:
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$\pi_1$ es el plano que pasa por $A$, $B$ y el origen.
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$\pi_2$ es el plano que contiene a $C$ y es perpendicular a la recta que une $A$ y $B$.
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$\pi_3$ es el plano de ecuación $x + y + z = k + 2$.
Un dron se desplaza de forma rectilínea siguiendo la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Se quiere instalar una pantalla de…
Un dron se desplaza de forma rectilínea siguiendo la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Se quiere instalar una pantalla de protección plana $\pi$ que contenga a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.
Halla la ecuación del plano $\pi$ de modo que sea paralelo a la trayectoria del dron. Calcula la distancia mínima a la que pasará el dron de dicha pantalla.
Sea $P(1, 2, -1)$ un punto del espacio y $r$ la recta intersección de los planos $x - y = 0$ y $z = 2$. a) Halla la ecuación del plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y pasa…
Sea $P(1, 2, -1)$ un punto del espacio y $r$ la recta intersección de los planos $x - y = 0$ y $z = 2$.
- a) Halla la ecuación del plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y pasa por $P$.
- b) Halla la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi_1$.
- c) Calcula el ángulo que forma el plano $\pi_2$ con el plano coordenado $XY$.
Vuelve al principio: el techo de la cancha es el plano que pasa por las tres puntas de las columnas. Con un vector normal perpendicular a $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ y un punto, su ecuación general queda escrita.