Combinatoria y probabilidad: conteo, Bayes, binomial y normal

Un estudiante de 2.º de Bachillerato quiere configurar un código de acceso de $4$ dígitos distintos para su taquilla del gimnasio. Decide utilizar únicamente los dígitos impares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ y no puede repetir ninguna cifra.

1. a) ¿Cuántos códigos diferentes puede crear?

1. b) Si el estudiante olvida el código, pero recuerda que el primer dígito era un $7$, ¿cuántos códigos distintos tendría que probar como máximo?

Para elegir la delegación de estudiantes que representará a un instituto en el Consejo Escolar municipal, se deben seleccionar $3$ alumnos de un grupo de $24$ voluntarios de 2.º de Bachillerato. Marcos razona así en su examen: «Para el primer puesto tengo 24 opciones, para el segundo 23 y para el tercero 22, por lo que el número total de delegaciones posibles es $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Identifica el error conceptual cometido por Marcos a partir de las dos preguntas clave de la combinatoria: ¿importa el orden en este caso?, ¿se pueden repetir elementos?\nb) Corrige el cálculo y halla el número real de delegaciones posibles justificando por qué operación debe sustituirse la fórmula de Marcos.\nc) Si las tres plazas tuvieran cargos diferenciados (un portavoz, un secretario y un vocal), ¿sería correcto el cálculo original de Marcos? Justifica tu respuesta.

En un campeonato de robótica, un equipo debe seleccionar a $3$ representantes de un grupo de $8$ estudiantes para explicar el proyecto ante el jurado.

1. a) ¿De cuántas formas distintas se puede elegir al grupo de representantes si el orden de selección no importa?

1. b) Si entre los $8$ estudiantes hay $2$ que son especialistas en programación y se decide que al menos uno de ellos debe estar en el grupo, ¿cuántas selecciones diferentes son posibles?

Un servicio municipal de alquiler de bicicletas eléctricas en una ciudad cubana renueva sus candados inteligentes. Cada usuario debe configurar un código PIN de $4$ dígitos con dos condiciones: el primer dígito no puede ser $0$ y no pueden aparecer dos dígitos consecutivos iguales (por ejemplo, el código $4727$ es válido, pero el $4772$ no lo es).\n\na) Antes de realizar cualquier cálculo matemático, estima de forma intuitiva si el número de códigos válidos estará más cerca de $5\,000$, de $6\,500$ o de $9\,000$. Justifica brevemente en qué basas tu estimación.\nb) Aplica el principio fundamental del conteo para calcular con exactitud cuántos códigos diferentes cumplen ambas condiciones.\nc) Comprueba si el resultado exacto obtenido respalda tu estimación inicial y calcula qué porcentaje representa respecto al total de combinaciones de cuatro dígitos que no empiezan por cero (del $1\,000$ al $9\,999$).

Una plataforma de streaming está diseñando una nueva interfaz personalizada. Para el perfil de usuario, se permite elegir un avatar combinando los siguientes elementos: 4 formas de cara distintas, 5 tipos de peinado y 3 estilos de espejuelos. Además, el nombre de usuario debe ser una cadena de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de un alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) ¿Cuántos avatares diferentes se pueden crear?
2. b) ¿Cuántos nombres de usuario distintos se pueden generar si no se permite repetir ni letras ni dígitos?
3. c) Si un usuario decide elegir su avatar y su nombre al azar (con las condiciones del apartado b), ¿cuál es la probabilidad de que su nombre empiece por la letra "z" y termine en el dígito "9"?

Un laboratorio dispone de 8 sensores de temperatura de precisión y 6 sensores de humedad. Para un experimento de control ambiental se deben seleccionar al azar 4 sensores.

1. a) ¿De cuántas formas distintas se puede realizar la selección de los 4 sensores si no importa el orden?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen exactamente 2 sensores de temperatura y 2 de humedad?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los sensores seleccionados sean del mismo tipo?

La federación de ajedrez de una provincia organiza una fase previa eliminatoria en la que todos los participantes inscritos deben jugar exactamente una partida contra cada uno de los demás rivales («todos contra todos»). La sala contratada y el calendario disponible solo permiten disputar un máximo de $100$ partidas en total.\n\na) Plantea una inecuación en función del número de jugadores, $n$, que modele el total de partidas del torneo. Justifica qué estructura combinatoria representa dicho número de partidas.\nb) Resuelve la inecuación para determinar el número máximo de participantes que pueden inscribirse sin sobrepasar el límite de partidas y calcula cuántas partidas se jugarían exactamente con ese número máximo.\nc) Si finalmente se inscriben $8$ participantes y la organización decide entregar un trofeo de oro, uno de plata y uno de bronce a los tres primeros clasificados (sin empates), ¿cuántas asignaciones posibles de podio existen?

Para corregir los exámenes de las pruebas de ingreso a la educación superior de Matemática en una sede universitaria, se debe formar un tribunal evaluador de $6$ correctores. El claustro disponible consta de $10$ profesores: $6$ proceden de preuniversitarios y $4$ de secundarias básicas. La normativa de la comisión organizadora exige que el tribunal cuente con al menos $2$ profesores de preuniversitarios y al menos $2$ de secundarias básicas.\n\na) Modela la situación identificando todos los casos válidos de composición del tribunal según la cantidad de profesores de cada procedencia.\nb) Calcula cuántos tribunales distintos se pueden constituir cumpliendo la normativa establecida.\nc) Si se eligiera el tribunal de $6$ personas completamente al azar entre los $10$ profesores (sin exigir ninguna cuota de representatividad), ¿cuál sería la probabilidad de que el tribunal cumpla la normativa legal? Interpreta si la restricción excluye a muchas o a pocas de las posibles combinaciones.

Un examen de oposición consta de $80$ temas. El opositor estudia $55$ temas al azar. El tribunal extrae $3$ temas por sorteo y el opositor debe elegir uno para desarrollar.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el opositor no sepa ninguno de los tres temas extraídos?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se sepa exactamente dos de los temas?
3. c) Si el opositor ha aprobado el examen (lo que implica que sabía al menos uno de los temas), ¿cuál es la probabilidad de que supiera los tres temas extraídos?

Un equipo de ciberseguridad está analizando la vulnerabilidad de un sistema de acceso que utiliza contraseñas de $8$ caracteres. Los caracteres permitidos son las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los dígitos del $0$ al $9$. Una contraseña se considera "robusta" si cumple las siguientes condiciones:

1. Contiene exactamente $2$ números distintos y $6$ letras.

2. Las letras no pueden repetirse.

3. Los dos números deben estar en posiciones consecutivas.

Calcula:

1. a) El número total de contraseñas robustas que se pueden generar.
2. b) Si un software de fuerza bruta genera una contraseña aleatoria siguiendo únicamente la estructura de $8$ caracteres (letras o números), ¿cuál es la probabilidad de que acierte una contraseña robusta específica en el primer intento?

En la gala de graduación de 2.º de Bachillerato, se otorgan $8$ menciones de honor. En el escenario se han colocado $8$ butacas alineadas y numeradas del $1$ al $8$. Entre los $8$ alumnos galardonados se encuentran Clara y Sergio, quienes han tenido un desacuerdo reciente y la organización desea sentarlos de manera que no queden en butacas contiguas. Dos miembros de la comisión organizadora discuten cómo calcular el número de colocaciones válidas:\n- Método A (método de los huecos o directo): Se sientan primero los otros $6$ alumnos en orden y luego se eligen dos de los $7$ huecos posibles (extremos o entre compañeros) para ubicar a Clara y a Sergio.\n- Método B (método del complementario): Se calcula el total de formas de sentar a los $8$ alumnos sin ninguna restricción y se le restan los casos desfavorables, en los que Clara y Sergio se sientan juntos formando un único bloque.\n\na) Desarrolla detalladamente el planteamiento combinatorio y el resultado numérico aplicando el Método A.\nb) Desarrolla detalladamente el planteamiento combinatorio y el resultado numérico aplicando el Método B.\nc) Verifica que ambos caminos conducen a la misma solución y justifica de forma razonada cuál de los dos métodos sería claramente preferible y menos propenso a errores si la restricción exigiera que tres alumnos determinados (Clara, Sergio y Pablo) no puedan sentarse en posiciones contiguas ninguno con ninguno.

El sistema ordinario de matriculación de vehículos en España asigna a cada vehículo una placa formada por un bloque de $4$ dígitos (desde el $0000$ hasta el $9999$) seguido de un bloque de $3$ letras consonantes elegidas entre $20$ letras posibles (se descartan las vocales A, E, I, O, U, y las letras Ñ y Q para evitar confusiones y combinaciones malsonantes).\n\na) Calcula el número total de matrículas teóricas que permite emitir este sistema y expresa el resultado utilizando potencias de base diez.\nb) Un aficionado a la combinatoria busca «matrículas simétricas»: aquellas cuyo bloque numérico de $4$ dígitos es capicúa (por ejemplo, $4884$ o $0330$) y cuyo bloque de $3$ letras es un palíndromo (la primera y la tercera letra coinciden, como en $TRT$). Determina cuántas matrículas simétricas existen y halla la probabilidad de que un vehículo matriculado al azar presente esta propiedad.\nc) La Dirección General de Tráfico investiga un algoritmo de lectura de matrículas y detecta fallos en las matrículas que denomina «heterogéneas mixtas»: aquellas que tienen sus $4$ dígitos estrictamente distintos entre sí y, simultáneamente, en el bloque de letras contienen exactamente dos letras iguales y una diferente (en cualquier orden, como en $LBL$ o $DDH$). Modela y calcula cuántas matrículas «heterogéneas mixtas» existen en el parque automovilístico potencial español.

Utiliza las propiedades de los números combinatorios y el Binomio de Newton para resolver:

1. a) Desarrolla completamente la expresión $(x + 2)^4$.

1. b) Sin desarrollar todo el binomio, calcula el valor del coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo de $(x + 3)^5$.

La figura muestra las filas del triángulo de Pascal hasta $n = 5$. Sus números son los números combinatorios $\binom{n}{k}$: recuerda que el coeficiente de un término del binomio, además de ese número, incluye las potencias del segundo sumando.

En el desarrollo de un nuevo binomio, un estudiante de ingeniería necesita determinar ciertos coeficientes. Se considera el desarrollo del binomio $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, donde $k$ es un número real positivo.

1. a) Determina el valor de $k$ sabiendo que el término independiente de $x$ en el desarrollo de $Q(x)$ es igual a $7920$.
2. b) Una vez hallado $k$, calcula el coeficiente del término que contiene a $x^9$.

Sean $A$ y $B$ dos eventos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Calcula las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$).

1. c) $P(A - B)$ (probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$).

El diagrama de Venn muestra los eventos $A$ y $B$ dentro del espacio muestral $E$, con la probabilidad de la intersección.

En un estudio sobre el uso de dispositivos móviles en una clase de $30$ alumnos, se ha obtenido la siguiente tabla de contingencia que clasifica a los estudiantes por su sistema operativo preferido y si realizan compras online habitualmente:

Si se elige un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que use iOS.

1. b) La probabilidad de que realice compras online sabiendo que usa Android.

1. c) ¿Son los eventos "Usar Android" y "Realizar compras online" independientes? Justifica tu respuesta.

En una competición de robótica, los equipos deben superar dos pruebas independientes. Se sabe que la probabilidad de que un robot supere la prueba de velocidad es $P(V) = 0,75$ y la probabilidad de que supere la prueba de precisión es $P(P) = 0,60$. Calcula la probabilidad de que un equipo elegido al azar:

1. a) Supere al menos una de las dos pruebas.
2. b) Supere la prueba de velocidad pero no la de precisión.
3. c) Sabiendo que ha superado al menos una prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya superado ambas?

Reto del tema. Auditoría del mercado laboral juvenil con datos del INE.

Tu misión es asesorar a un comité de empleo analizando la relación entre nivel formativo y desempleo juvenil mediante datos reales.

1. Recogida de datos: Accede al portal del INE (EPA más reciente) y extrae las frecuencias de jóvenes (16-29 años) de una comunidad autónoma de tu elección según nivel de estudios (básicos, medios, superiores) y situación laboral (ocupado, desempleado).

2. Estructuración y conteo: En una hoja de cálculo, construye la tabla de contingencia y su diagrama de árbol con frecuencias relativas. Aplica combinatoria para calcular de cuántas formas distintas podrías elegir una muestra de $5$ jóvenes donde al menos $3$ tengan estudios superiores.

3. Modelización bayesiana: Calcula la probabilidad total de desempleo $P(D)$ y aplica el teorema de Bayes para hallar la probabilidad a posteriori $P(\text{Superiores} \mid D)$. Compara el resultado con la probabilidad a priori $P(\text{Superiores})$ y determina si ambos eventos son independientes.

4. Informe de conclusiones: Redacta un informe razonado (una página) con gráficos explicativos, justificando con base en tus cálculos si un mayor nivel formativo se asocia a un menor riesgo de desempleo y explicando por qué esta asociación no basta por sí sola para probar causalidad.

Se valorará:

• Rigor en el uso de propiedades de la probabilidad, probabilidad total y teorema de Bayes.

• Corrección en la aplicación de técnicas de conteo y estructuración en hoja de cálculo.

• Calidad del informe y coherencia en la interpretación crítica de los datos del INE.

Un servidor de videojuegos tiene dos nodos de conexión: el Nodo 1, que atiende al $70\%$ de los usuarios, y el Nodo 2, que atiende al resto. Se sabe que el $5\%$ de las conexiones en el Nodo 1 sufren lag, mientras que en el Nodo 2 este problema ocurre en el $10\%$ de las conexiones.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol de probabilidades.

1. b) Si un jugador entra al azar en el servidor, ¿cuál es la probabilidad de que su conexión sufra lag?

Tres operadoras de telefonía, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, gestionan el $40\%$, $35\%$ y $25\%$ de las llamadas de un centro de atención al cliente, respectivamente. El porcentaje de llamadas que se cortan de forma inesperada en cada operadora es del $2\%$, $3\%$ y $4\%$, respectivamente.

Se elige una llamada al azar y resulta haberse cortado. Calcula la probabilidad de que la hubiera gestionado la operadora $M_1$.

Una plataforma de streaming utiliza un algoritmo de recomendación para predecir si a un usuario le gustará una serie nueva. El algoritmo a veces falla: el $10\%$ de las series que a un usuario le encantarían no son recomendadas ($FN$: falso negativo), y el $20\%$ de las series que a un usuario le disgustarían son recomendadas erróneamente ($FP$: falso positivo).

Si el $60\%$ de todas las series del catálogo son del gusto potencial de un usuario específico, calcula:

1. a) La probabilidad de que el algoritmo recomiende una serie elegida al azar.
2. b) Si el algoritmo acaba de recomendar una serie a este usuario, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea una serie que le guste?

Un sistema de ciberseguridad utiliza dos filtros para detectar correos electrónicos tipo phishing. El Filtro A detecta el $92\%$ de estos correos, mientras que el Filtro B detecta el $88\%$. Por la estructura del sistema, un correo es analizado por el Filtro B solo si no ha sido detectado por el Filtro A. Si un correo no es detectado por ninguno de los dos, llega a la bandeja de entrada del usuario. Se estima que el $3\%$ de los correos recibidos en la empresa son intentos de phishing.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un correo de phishing llegue a la bandeja de entrada?
2. b) Si un correo ha llegado a la bandeja de entrada, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo de phishing?

Se ha realizado una encuesta a 250 estudiantes de un centro tecnológico sobre su uso de sistemas operativos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Si se elige un estudiante al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea un alumno de Nivel Superior y use principalmente Linux.
2. b) Si sabemos que el alumno usa principalmente Windows, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Técnico Medio?
3. c) ¿Son independientes los eventos "ser alumno de Nivel Superior" y "usar principalmente Linux"? Razona la respuesta.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene tres líneas de producción: $L_1$, $L_2$ y $L_3$. La línea $L_1$ produce el doble que la $L_2$, y la $L_3$ produce lo mismo que la $L_1$ y la $L_2$ juntas. El porcentaje de componentes defectuosos es del $1\%$ en $L_1$, del $3\%$ en $L_2$ y del $2\%$ en $L_3$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un componente elegido al azar de la producción total sea defectuoso.
2. b) Si seleccionamos un componente y resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la línea $L_3$?
3. c) Si se analizan $10$ componentes de la línea $L_1$ de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea defectuoso?

En una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un microchip sea defectuoso es de $0,02$. Si los microchips se empaquetan en cajas de $10$ unidades y la presencia de defectos en uno es independiente de los demás:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja no haya ningún microchip defectuoso?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un microchip defectuoso en la caja? (Expresa el resultado usando números combinatorios).

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos mediante impresión 3D ha observado que la probabilidad de que una pieza presente algún defecto de acabado es del $5\%$. Si se imprime un lote de 12 piezas:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 piezas sean defectuosas?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una pieza defectuosa?
3. c) Calcula la media y la desviación típica del número de piezas defectuosas en el lote.

En un laboratorio de genética se estudia la resistencia de una planta a una plaga. Se sabe que la probabilidad de que una planta sea resistente es $p$. Se eligen $8$ plantas al azar y se observa que la probabilidad de que exactamente $2$ sean resistentes es la misma que la probabilidad de que exactamente $3$ sean resistentes.

1. a) Calcula el valor de la probabilidad $p$.
2. b) Con el valor de $p$ hallado, calcula la probabilidad de que al menos una planta sea resistente.
3. c) Determina la esperanza matemática y la desviación típica del número de plantas resistentes en una muestra de $100$ plantas.

La autonomía de una nueva flota de patinetes eléctricos para uso urbano sigue una distribución normal de media $35$ km y desviación típica $4$ km.

1. a) Calcula la probabilidad de que un patinete elegido al azar tenga una autonomía superior a $40$ km.
2. b) ¿Qué porcentaje de patinetes tendrá una autonomía comprendida entre $30$ y $38$ km?
3. c) Si la empresa quiere garantizar que el $90\%$ de sus patinetes superen una determinada autonomía mínima $d$, ¿cuál debe ser el valor de $d$?

El peso de los envases de café producidos por una factoría sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha observado que el $15,87\%$ de los envases pesan más de $510$ gramos, y que el $2,28\%$ de los envases pesan menos de $480$ gramos.

1. a) Calcula la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ de la distribución. (Recuerda que para una $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ y $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Si el peso neto indicado en la etiqueta es de $500$ gramos, ¿qué porcentaje de los envases está por debajo del peso legal?

Se sabe que el $15\%$ de los usuarios que visitan una página web de venta de componentes informáticos acaban realizando una compra. Si en un día determinado la web recibe 400 visitas independientes:

1. a) Indica qué distribución de probabilidad sigue la variable "número de compras realizadas" y justifica si se puede aproximar por una distribución normal.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada, calcula la probabilidad de que se realicen entre 50 y 70 compras (ambos inclusive).

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en una ciudad. La probabilidad de que un dron sufra una avería técnica durante un vuelo de entrega es de $0,02$. La empresa realiza $250$ entregas diarias de forma independiente.

1. a) Justifica si se puede aproximar la variable "número de averías diarias" por una distribución normal. En caso afirmativo, indica sus parámetros.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada, calcula la probabilidad de que en un día determinado se produzcan exactamente $5$ averías.
3. c) Calcula la probabilidad de que se produzcan entre $3$ y $8$ averías (ambos inclusive).