Ejercicios: Probabilidad total y teorema de Bayes

En un instituto, los alumnos de 2º de Bachillerato pueden elegir entre dos plataformas para realizar sus trabajos en la nube: el $65\%$ utiliza Google Workspace y el resto utiliza Microsoft 365. Se sabe que el $20\%$ de los usuarios de Google utiliza herramientas de Inteligencia Artificial para redactar borradores, mientras que en Microsoft lo hace el $15\%$.

Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar utilice Inteligencia Artificial para sus borradores.

Una cadena de supermercados vende yogures de dos proveedores distintos. El $40\%$ proviene del Proveedor A y el $60\%$ del Proveedor B. El control de calidad indica que el $5\%$ de los yogures del Proveedor A presentan defectos de envasado, mientras que en el Proveedor B este defecto solo aparece en el $2\%$ de los casos.

Si compramos un yogur y comprobamos que tiene un defecto de envasado, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del Proveedor A?

Un creador de contenido de TikTok observa que sus videos cortos se visualizan de dos formas: a través del Algoritmo de recomendaciones ($80\%$ de las veces) o a través de Búsqueda directa ($20\%$). La probabilidad de que un usuario le dé a "Me gusta" es de $0,10$ si el video llega por recomendación, y de $0,30$ si el usuario lo buscó directamente.

Halla la probabilidad de que un usuario cualquiera que visualice el video le dé a "Me gusta".

En un torneo de eSports, un jugador llega a la final. Puede elegir entre dos estrategias: Ofensiva (la elige el $70\%$ de las veces) o Defensiva (el $30\%$). Si juega de forma ofensiva, gana la partida con una probabilidad de $0,6$, mientras que si juega de forma defensiva, su probabilidad de victoria es de $0,4$.

Sabiendo que el jugador ha ganado la partida, calcula la probabilidad de que haya utilizado una estrategia defensiva.

Un servicio de mensajería utiliza tres rutas para repartir paquetes en una ciudad: Ruta Norte ($50\%$), Ruta Sur ($30\%$) y Ruta Centro ($20\%$). Los retrasos en la entrega ocurren el $2\%$ de las veces en la ruta Norte, el $4\%$ en la Sur y el $10\%$ en la ruta Centro.

Determina el porcentaje total de paquetes que se entregan con retraso en esta ciudad.

Se realiza un estudio sobre una nueva aplicación de entrenamiento físico. Se estima que el $1\%$ de los adolescentes de una ciudad la utiliza. La aplicación tiene una función de "reto diario" que se completa con éxito el $95\%$ de las veces si el usuario es constante, pero si no lo es (el $99\%$ de la población no usa la app), la probabilidad de completar un reto similar por azar es de solo $0,05$.

Si seleccionamos un joven al azar y vemos que ha completado el reto con éxito, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario constante de la aplicación?

En una empresa de diseño, el $60\%$ de los empleados son Diseñadores Senior y el $40\%$ son Juniors. En la última campaña publicitaria, el $90\%$ de los Seniors utilizaron software de diseño vectorial, mientras que entre los Juniors solo lo hizo el $70\%$.

Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que no haya utilizado software de diseño vectorial.

Un concesionario de autos eléctricos vende tres modelos: Compacto ($40\,\%$), Berlina ($35\,\%$) y SUV ($25\,\%$). Se ha observado que necesitan una revisión de software en el primer mes el $3\,\%$ de los Compactos, el $2\,\%$ de las Berlinas y el $5\,\%$ de los SUV. La figura muestra el diagrama de árbol de la situación.

Si un cliente llama porque su auto ha necesitado una revisión de software en el primer mes, ¿qué modelo es más probable que haya comprado? Justifica la respuesta calculando las probabilidades correspondientes.

Marcos está resolviendo un problema de control de calidad para una cooperativa olivarera de Jaén. El suministro de aceituna proviene de dos fincas: la finca $F_1$ aporta el $60\,\%$ de la cosecha y la finca $F_2$ el $40\,\%$. El porcentaje de aceituna no apta para producir aceite virgen extra es del $5\,\%$ en la finca $F_1$ y del $10\,\%$ en la finca $F_2$. El enunciado pide calcular la probabilidad de que una aceituna no apta proceda de la finca $F_1$. Marcos escribe en su examen:

«$P(F_1 | \text{No apta}) = P(F_1) \cdot P(\text{No apta} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Por tanto, hay un $3\,\%$ de probabilidad de que venga de la finca $F_1$. Tiene sentido porque es un número menor que $1$».

1. a) Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos (uno relacionado con la confusión entre intersección y probabilidad condicionada, y otro con el Teorema de Bayes).
2. b) Corrige el ejercicio calculando de forma rigurosa la probabilidad solicitada.

Según los informes de movilidad de viajeros en un corredor ferroviario de Cuba, el $50\,\%$ de los usuarios viaja en servicios de Tren Rápido (Especial), el $30\,\%$ en servicios Interprovinciales y el $20\,\%$ restante en trenes Locales. Los registros de puntualidad indican que la probabilidad de sufrir una demora superior a $15$ minutos es del $2\,\%$ en Tren Rápido, del $6\,\%$ en Interprovincial y del $10\,\%$ en Local.

1. a) Justifica que los tipos de tren forman un sistema completo de sucesos y define con claridad los sucesos que intervienen.
2. b) Calcula la probabilidad de que un viajero elegido al azar en ese corredor llegue a su destino con más de $15$ minutos de demora.
3. c) Si un viajero seleccionado al azar sufrió una demora superior a $15$ minutos, calcula la probabilidad de que su viaje fuera en Tren Rápido. Comenta el resultado: ¿por qué esta probabilidad es relativamente baja a pesar de que la mitad de los pasajes vendidos corresponden a dicho servicio?

En un centro de alto rendimiento para e-sports, los jugadores se entrenan en tres plataformas distintas: PC, consola y dispositivos móviles. El $50\ \%$ de los jugadores usa PC, el $30\ \%$ usa consola y el resto dispositivos móviles. Se ha observado que el rendimiento disminuye por fatiga visual en el $8\ \%$ de los jugadores de PC, en el $5\ \%$ de los de consola y en el $12\ \%$ de los que usan móviles.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador elegido al azar presente fatiga visual.

1. b) Si seleccionamos un jugador y vemos que sufre fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que entrene habitualmente con un dispositivo móvil?

Una empresa de ciberseguridad analiza el tráfico de correo electrónico de una startup tecnológica. El $70\ \%$ de los correos recibidos son internos, el $20\ \%$ provienen de clientes conocidos y el $10\ \%$ restante son correos externos de origen desconocido. El filtro de seguridad marca como "sospechoso" al $1\ \%$ de los correos internos, al $4\ \%$ de los correos de clientes y al $25\ \%$ de los correos desconocidos.

1. a) Determina la probabilidad de que un correo elegido al azar sea marcado como sospechoso por el sistema.

1. b) Si un empleado recibe una notificación de correo sospechoso, ¿cuál es la probabilidad de que el correo sea realmente de origen desconocido?

En una planta de ensamblaje de baterías para autos eléctricos, se utilizan dos líneas de producción, $L_1$ y $L_2$. La línea $L_1$ produce el $60\ \%$ de las baterías y la $L_2$ el resto. Se sabe que el $2\ \%$ de las baterías de $L_1$ presentan defectos en el sellado, mientras que en $L_2$ este defecto aparece en el $5\ \%$ de las unidades.

1. a) Si se escoge una batería al azar de la producción total, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa?

1. b) Si al realizar un control de calidad se detecta una batería defectuosa, ¿qué línea tiene más probabilidad de haberla fabricado? Justifica tu respuesta calculando ambas probabilidades a posteriori.

Un estudio sobre movilidad sostenible en una ciudad indica que el $45\ \%$ de los trayectos se realizan en transporte público, el $35\ \%$ en bicicleta o patinete eléctrico y el $20\ \%$ en carro particular. Se estima que la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 0,15 si se usa transporte público, de 0,05 si se usa bicicleta/patinete y de 0,30 si se usa carro particular (debido a los atascos).

1. a) Calcula la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar llegue puntual a su puesto de trabajo.

1. b) Si sabemos que un trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en su carro particular?

Un laboratorio farmacéutico desarrolla un test rápido para detectar una deficiencia vitamínica que afecta al $5\ \%$ de la población joven. Los ensayos clínicos muestran que el test da positivo en el $96\ \%$ de las personas que realmente tienen la deficiencia. Sin embargo, también da un "falso positivo" en el $2\ \%$ de las personas sanas.

1. a) ¿Qué porcentaje de la población total dará positivo en el test?

1. b) Si un joven se realiza el test y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que sufra dicha deficiencia vitamínica? Comenta si el resultado te parece alto o bajo en relación con la fiabilidad del test.

En una asignatura de duodécimo grado del preuniversitario, los alumnos pueden optar por realizar un proyecto final de tres temáticas: Robótica, Programación o Energías Renovables. El $25\ \%$ elige Robótica, el $40\ \%$ Programación y el $35\ \%$ Energías Renovables. La probabilidad de obtener una calificación de Excelente es de 0,20 en Robótica, 0,15 en Programación y 0,10 en Energías Renovables.

1. a) Halla la probabilidad de que un alumno de la clase, elegido al azar, no obtenga la calificación de Excelente.

1. b) Sabiendo que un alumno ha obtenido Excelente, ¿cuál es la probabilidad de que su proyecto fuera sobre Robótica?

Un servicio de streaming de música clasifica a sus usuarios en tres categorías: "Free" (con anuncios), "Premium" y "Family". El $60\ \%$ son usuarios Free, el $30\ \%$ Premium y el $10\ \%$ Family. Se sabe que el $80\ \%$ de los usuarios Free escuchan más de 2 horas diarias, mientras que este porcentaje es del $90\ \%$ para los Premium y del $95\ \%$ para los Family.

1. a) Elegido un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escuche música 2 horas o menos al día?

1. b) Si seleccionamos un usuario que escucha más de 2 horas diarias de música, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad "Premium"?

En un examen de acceso a la Universidad, un estudiante se encuentra con una pregunta de opción múltiple con 4 respuestas posibles, de las cuales solo una es verdadera. La probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta correcta es de 0,6. Si la conoce, responde correctamente con seguridad. Si no la conoce, elige una de las 4 opciones al azar.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente a la pregunta?

1. b) Si el corrector observa que la respuesta marcada es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente conociera la materia y no haya respondido al azar?

En una campaña preventiva de tráfico de la DGT en vías interurbanas, se estima que el $1\,\%$ de los conductores circula habiendo consumido sustancias no permitidas ($S$). El test indiciario salival empleado en los controles tiene una sensibilidad del $98\,\%$ (si un conductor ha consumido, da positivo con probabilidad $0{,}98$), pero presenta una tasa de falsos positivos del $4\,\%$ (en conductores que no han consumido, el test da positivo por error con probabilidad $0{,}04$).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo numérico: si un conductor da positivo en el control, estima de forma intuitiva y razona brevemente si la probabilidad de que realmente haya consumido estará más cerca del $90\,\%$, del $50\,\%$ o por debajo del $25\,\%$.
2. b) Aplica el Teorema de Bayes para calcular con rigor $P(S | \text{Positivo})$.
3. c) Compara el valor obtenido con tu estimación del apartado a). Explica qué fenómeno probabilístico provoca este resultado y por qué la normativa exige enviar una segunda muestra a un laboratorio toxicológico antes de tramitar la sanción.

Un centro logístico de paquetería ubicado en el Corredor del Henares distribuye sus envíos mediante dos líneas automatizadas de clasificación, $L_1$ y $L_2$. La línea $L_1$ asume una proporción $p$ del volumen total de paquetes ($0 < p < 1$), mientras que la línea $L_2$ clasifica la fracción restante ($1-p$). Debido al desgaste mecánico, la línea $L_1$ deteriora el $1\,\%$ de los paquetes que procesa, mientras que la línea $L_2$, de tecnología más antigua, deteriora el $4\,\%$.

1. a) Expresa en función de $p$ la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar al final del proceso resulte dañado, $P(D)$.
2. b) La dirección técnica establece que, para no sobrecargar el departamento de peritaje de la línea $L_1$, de todos los paquetes que se detecten dañados, a lo sumo el $20\,\%$ deben proceder de dicha línea ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Plantea la inecuación correspondiente y determina qué porcentaje mínimo del tráfico total de paquetes debe asignarse a la línea $L_2$ para satisfacer este criterio de calidad.

Una empresa de ciberseguridad utiliza tres sistemas de inteligencia artificial ($S_1$, $S_2$ y $S_3$) para detectar intentos de acceso no autorizados en una red corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de las alertas, el $S_2$ el $35 \%$ y el $S_3$ el resto.

Se sabe por auditorías previas que, entre las alertas emitidas por cada sistema, son falsas alarmas (se da como ataque un acceso legítimo) el $2 \%$ de las de $S_1$, el $5 \%$ de las de $S_2$ y el $8 \%$ de las de $S_3$. El resto de las alertas de cada sistema corresponden a ataques reales. Por otro lado, la probabilidad de que un sistema ignore un ataque real (falso negativo) es del $1 \%$ en todos los casos; es un dato que no necesitarás para este problema.

En un momento determinado, salta una alerta en el panel de control indicando un ataque.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama en árbol detallando las probabilidades de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que la alerta emitida sea realmente una falsa alarma.

1. c) Si se confirma que la alerta era una falsa alarma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generada por el sistema $S_3$?

Una línea de montaje automatizada produce drones de carreras. La fábrica utiliza dos tipos de motores: el motor Alpha, que se instala en el $60 \%$ de los drones, y el motor Beta, que se instala en el resto. Debido a la alta precisión requerida, algunos motores presentan fallos de calibración.

Se conoce que el $5 \%$ de los motores Alpha son defectuosos. Tras realizar un test de calidad al final de la línea, se observa que la probabilidad total de encontrar un dron con motor defectuoso es del $4,4 \%$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un motor sea defectuoso sabiendo que es de tipo Beta.
2. b) Se elige un dron al azar y el test de calidad indica que el motor funciona correctamente. ¿Qué probabilidad hay de que el dron monte un motor Alpha?

En un centro de alto rendimiento deportivo, los atletas se someten a un control de dopaje. El $1 \%$ de los atletas consume una sustancia prohibida. El test utilizado tiene una fiabilidad del $98 \%$ (probabilidad de dar positivo si se ha consumido la sustancia). Sin embargo, el test también produce un $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo en atletas que no han consumido nada).

1. a) Si un atleta da positivo en el control, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya consumido la sustancia?
2. b) El comité decide realizar un segundo test independiente al mismo atleta si el primero da positivo. Si este segundo test (con la misma fiabilidad) también resulta positivo, ¿cuál es la probabilidad ahora de que el atleta sea culpable? Justifica si la confianza en el veredicto ha aumentado significativamente.

Un estudio sobre el consumo de contenido en streaming revela que el $70 \%$ de los jóvenes de una ciudad están suscritos a la Plataforma A, el $40 \%$ a la Plataforma B y el $20 \%$ a ambas. Se elige un joven al azar.

1. a) Sabiendo que está suscrito a la Plataforma B, ¿cuál es la probabilidad de que también lo esté a la Plataforma A? ¿Son independientes los eventos "Estar suscrito a A" y "Estar suscrito a B"?

1. b) Se sabe que el $15 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma A prefieren los documentales, el $25 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma B también los prefieren, y entre los que están en ambas plataformas, esa preferencia sube al $50 \%$. Entre los jóvenes que no están suscritos a ninguna de las dos plataformas, el $10 \%$ prefiere los documentales. Si un joven elegido al azar prefiere los documentales, ¿cuál es la probabilidad de que esté suscrito a ambas plataformas?

En un laboratorio de biotecnología se manipulan tres tipos de bacterias: $T_1$, $T_2$ y $T_3$. Hay un contenedor que contiene 100 muestras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ y 50 de $T_3$. La probabilidad de que una muestra desarrolle una resistencia antibiótica en 24 horas es de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ y un valor desconocido $p$ para $T_3$.

Se extrae una muestra al azar y se observa que ha desarrollado resistencia después de 24 horas. Sabiendo que la probabilidad de que dicha muestra sea del tipo $T_2$ es de $0,375$:

1. a) Determina el valor de la probabilidad $p$ asociada a las bacterias del tipo $T_3$.
2. b) Con el valor de $p$ obtenido, calcula la probabilidad de que, al elegir una muestra al azar, esta no desarrolle resistencia.

Un canal de noticias utiliza tres fuentes distintas para obtener información: Agencias ($A$), Corresponsales ($C$) y Redes Sociales ($R$). El $50 \%$ de las noticias provienen de $A$, el $30 \%$ de $C$ y el resto de $R$.

La probabilidad de que una noticia sea falsa ( fake news) es de $0,01$ si proviene de $A$ y de $0,05$ si proviene de $C$. Se ha detectado que, si se elige una noticia al azar y resulta ser falsa, la probabilidad de que proceda de las Redes Sociales es de $0,75$.

1. a) Calcula la probabilidad de que una noticia proveniente de las Redes Sociales sea falsa.
2. b) Calcula la probabilidad total de que una noticia elegida al azar en este canal sea verídica.

Tres máquinas, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, fabrican piezas de precisión. $M_1$ produce el doble de piezas que $M_2$, y $M_3$ produce el mismo número que $M_1$ y $M_2$ juntas. El porcentaje de piezas defectuosas es del $2 \%$ para $M_1$ y del $4 \%$ para $M_2$.

Se sabe que, al tomar una pieza al azar de la producción total, la probabilidad de que sea defectuosa es del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el porcentaje de piezas defectuosas que produce la máquina $M_3$.
2. b) Si tomamos una pieza y comprobamos que es defectuosa, ¿cuál es la máquina que tiene mayor probabilidad de haberla fabricado?

En un examen de oposición, el temario consta de 80 temas. El tribunal extrae dos temas al azar (sin reemplazamiento) y el opositor debe elegir uno de ellos para desarrollarlo. Un opositor se ha preparado solo 45 temas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el opositor pueda elegir al menos un tema que se sabe?
2. b) Supongamos que el opositor aprueba si el tema elegido es uno de los que se ha preparado. Si sabemos que el opositor ha suspendido porque no ha podido elegir ningún tema de los extraídos, ¿cuál es la probabilidad de que, si el examen hubiera consistido en extraer tres temas en lugar de dos, hubiera tenido la oportunidad de elegir al menos uno? Justifica matemáticamente si la probabilidad de aprobar aumentaría significativamente.

En un programa de salud pública del Sistema Nacional de Salud (SNS) para la detección precoz del cáncer colorrectal en personas de entre $50$ y $69$ años, la prevalencia de la patología en ese grupo demográfico es del $0{,}5\,\%$. El test de sangre oculta en heces utilizado tiene una sensibilidad del $80\,\%$ (da positivo en el $80\,\%$ de las personas enfermas) y una tasa de falsos positivos del $3\,\%$ (da positivo en el $3\,\%$ de las personas sanas). Un paciente da positivo en el cribado y se desea calcular la probabilidad de que realmente padezca la enfermedad, $P(E | +)$.

1. a) Método 1 (Álgebra de sucesos): Plantea formalmente el sistema completo de sucesos, las probabilidades a priori, las verosimilitudes y resuelve $P(E | +)$ aplicando el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes.
2. b) Método 2 (Frecuencias naturales): Modela la situación a partir de una cohorte hipotética de $100.000$ personas. Construye una tabla de contingencia $2 \times 2$ con las cantidades enteras de individuos sanos/enfermos y positivos/negativos, y deduce directamente a partir de ella el valor de $P(E | +)$.
3. c) Evaluación crítica: Compara ambos métodos y justifica razonadamente por qué diversas investigaciones en psicología cognitiva y educación matemática sostienen que el Método 2 resulta mucho más transparente y reduce el sesgo cognitivo de diagnóstico frente a la formulación algebraica abstracta del Método 1.

El departamento de auditoría informática de una entidad bancaria española supervisa las transferencias internacionales para prevenir el fraude. Las operaciones se originan a través de tres canales: Canal SEPA/UE ($70\,\%$ del volumen total), Canal Internacional Ordinario ($20\,\%$) y Canal Internacional de Alto Riesgo ($10\,\%$). Por registros históricos se sabe que la probabilidad de que una transferencia sea fraudulenta ($F$) es del $0{,}1\,\%$ en el canal SEPA, del $0{,}5\,\%$ en el Internacional Ordinario y de un valor desconocido $k$ ($0 < k \le 1$) en el de Alto Riesgo.

1. a) Si la probabilidad global de que una transferencia elegida al azar en el banco sea fraudulenta es exactamente de $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$), calcula el valor del parámetro $k$ mediante el teorema de la probabilidad total.
2. b) Si el sistema de seguridad intercepta una transferencia y se comprueba que es fraudulenta, determina mediante el Teorema de Bayes de qué canal es más probable que provenga.
3. c) Razona la siguiente cuestión teórica: Supón que se mantienen inalteradas las tasas de fraude intrínsecas de cada canal (los porcentajes condicionados $P(F|\text{canal})$ del enunciado). ¿Sería posible modificar únicamente el reparto del volumen de operaciones entre los tres canales de modo que, ante una transferencia que sabemos fraudulenta, sea más probable que proceda del Canal SEPA que de los otros dos juntos ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Justifica tu respuesta deduciendo qué condición algebraica deberían cumplir las nuevas cuotas de mercado de los canales.