Interpretaciones de la probabilidad

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

1. a) «Llevo $20$ tiradas seguidas sin sacar un $5$ con este dado correcto. Según la ley de los grandes números, en la próxima tirada es muy probable que por fin salga un $5$.»
2. b) «Aunque en las últimas $20$ tiradas no haya salido ningún $5$, la probabilidad de que salga en la siguiente sigue siendo $\frac{1}{6}$: el azar no tiene memoria.»

A tres estudiantes de 2.º de Bachillerato se les asignan tres situaciones distintas para determinar la probabilidad de un suceso:

• Situación 1 (Irene): Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas al azar de una baraja española de 40 cartas, ambas sean copas.

• Situación 2 (David): Determinar la probabilidad de que una chincheta, al ser lanzada sobre una mesa plana, quede apoyada con la punta hacia arriba.

• Situación 3 (Marina): Estimar la probabilidad de que una empresa automovilística española quiebre durante el próximo año fiscal.

1. a) Para cada situación, elige razonadamente cuál de las tres interpretaciones de la probabilidad (clásica de Laplace, frecuentista o subjetiva) es la adecuada.
2. b) Explica por qué en la Situación 2 es un error grave aplicar la regla de Laplace argumentando que «solo hay dos opciones posibles: punta arriba o punta abajo, luego la probabilidad es $1/2$». ¿Qué procedimiento empírico debería seguir David para obtener una estimación fiable?
3. c) En la Situación 3, dos analistas financieros asignan probabilidades distintas ($0,05$ y $0,12$). ¿Significa necesariamente que uno de los dos ha cometido un error de cálculo? ¿Qué condición matemática inexcusable debe cumplir la asignación de cada analista para ser coherente?

Se lanza una chincheta $400$ veces y cae con la punta hacia arriba en $260$ ocasiones.

1. a) Estima la probabilidad de que la chincheta caiga con la punta hacia arriba.
2. b) Explica por qué en este experimento no se puede aplicar la regla de Laplace.
3. c) ¿Qué interpretación de la probabilidad has usado en el apartado a)?

Se ha simulado con la computadora el lanzamiento repetido de una moneda y se ha anotado la frecuencia relativa de CARA tras $10$, $100$, $1.000$ y $10.000$ lanzamientos, como se muestra en la gráfica.

1. a) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa? ¿Qué probabilidad estimarías para CARA?
2. b) ¿Qué ley justifica ese comportamiento? Enúnciala con tus palabras.
3. c) Explica por qué la estimación con $10$ lanzamientos es poco fiable aunque el experimento sea correcto.

Tras simular $10.000$ lanzamientos de una moneda con la computadora, la frecuencia relativa de CARA ha resultado ser $0,5003$. Dos alumnos comentan el resultado:

• Alumno A: «La moneda está trucada, porque si fuera justa la frecuencia relativa sería exactamente $0,5$.»

• Alumno B: «La probabilidad exacta de CARA en esta moneda es $0,5003$.»

1. a) Analiza el error de cada uno de los dos razonamientos.
2. b) Escribe una conclusión correcta sobre lo que el experimento permite afirmar acerca de la moneda.

El gobierno municipal de una ciudad quiere estimar la proporción de vecinos que reciclan a diario. Una encuesta a $2.000$ personas elegidas al azar da $1.340$ que afirman reciclar a diario.

1. a) Estima la probabilidad de que un vecino elegido al azar recicle a diario e indica qué interpretación de la probabilidad estás usando.
2. b) Otro preuniversitario repite la encuesta con solo $50$ personas y obtiene $31$ que reciclan ($0,62$). ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable? ¿Qué resultado teórico lo justifica?
3. c) Redacta una conclusión correcta sobre la proporción de vecinos que reciclan, mencionando el papel del tamaño de la muestra.

Durante un taller de probabilidad en la clase de Matemática, Sergio lanza una moneda equilibrada 8 veces consecutivas y obtiene la siguiente secuencia: C-C-C-C-C-C-C-C (ocho caras seguidas). Sergio afirma entusiasmado:

«En el noveno lanzamiento, la probabilidad de que salga cruz es muchísimo mayor que $0,5$, porque la ley de los grandes números exige que la frecuencia de caras y cruces se equilibre a corto plazo, así que la moneda debe compensar la racha».

1. a) Identifica y nombra la falacia o error de razonamiento en el que incurre Sergio.
2. b) Explica formalmente por qué la probabilidad de obtener cruz en el noveno lanzamiento sigue siendo exactamente $0,5$, apoyándote en la definición de eventos independientes.
3. c) Aclara qué afirma realmente la ley de los grandes números: ¿las rachas pasadas se «compensan» en los siguientes lanzamientos o se «diluyen» a medida que el número total de lanzamientos aumenta? Justifica tu respuesta con un razonamiento claro.

La app del tiempo anuncia: «mañana, $70\ \%$ de probabilidad de lluvia».

1. a) Explica qué significa esa afirmación: ¿se trata de una probabilidad clásica (de Laplace), frecuentista o subjetiva? ¿En qué datos crees que se apoya?
2. b) Tres amigos asignan probabilidades al partido del sábado. El primero dice: «gana mi equipo con probabilidad $0,5$, empata con $0,3$ y pierde con $0,3$». El segundo dice: «gana con $0,6$, empata con $0,3$ y pierde con $0,1$». ¿Son coherentes ambas asignaciones? ¿Por qué?
3. c) ¿Puede ser «incorrecta» una probabilidad subjetiva aunque sea coherente? Coméntalo brevemente.

Tres personas hablan de la probabilidad de que la guagua de las 8:00 llegue tarde:

• Persona 1: «De los últimos $200$ días lectivos llegó tarde $24$, así que la probabilidad es $0,12$.»

• Persona 2: «La guagua llega puntual o tarde: dos casos posibles, luego la probabilidad de llegar tarde es $\frac{1}{2}$.»

• Persona 3: «Yo diría que hay un $40\ \%$ de probabilidad de que llegue tarde; es lo que me parece por mi experiencia.»

1. a) Identifica a qué interpretación de la probabilidad (frecuentista, clásica o de Laplace, y subjetiva) corresponde cada afirmación.
2. b) El razonamiento de una de las personas es incorrecto. ¿De cuál se trata y por qué?
3. c) ¿Qué datos recogerías para mejorar cada una de las tres estimaciones?

Una cooperativa agrícola de Murcia analiza el riesgo primaveral de sufrir daños por dos fenómenos meteorológicos incompatibles en un mismo día: una helada tardía ($H$) o una ola de calor prematura ($C$). Se dispone de una serie histórica de AEMET con los registros de los últimos 200 días de primavera equivalentes, donde hubo 16 días con helada y 24 días con ola de calor.

Tres entidades presentan informes con propuestas distintas:

• Informe 1: Asigna $P(H) = 16/200 = 0,08$ y $P(C) = 24/200 = 0,12$, justificando que estas frecuencias reflejan fielmente la ley de los grandes números.

• Informe 2: Argumenta que, como no ha habido ninguna helada en las tres últimas primaveras, la probabilidad de helada para la próxima primavera debe subir al menos a $0,25$, pues «la naturaleza tiende a compensar las anomalías a corto plazo para mantener la media histórica».

• Informe 3: Ajusta las probabilidades según proyecciones climáticas dinámicas y propone un grado de creencia razonado: $P(H) = 0,05$, $P(C) = 0,35$ y probabilidad de que el clima sea templado (sin helada ni ola de calor) igual a $0,60$.

1. a) Clasifica la interpretación de la probabilidad utilizada en cada uno de los tres informes (Laplace, frecuentista, subjetiva o falaz).
2. b) Refuta con argumentos matemáticos la afirmación del Informe 2: explica la diferencia fundamental entre «compensación» (falacia del jugador) y «dilución» (ley de los grandes números) cuando el número de años observados tiende a infinito.
3. c) Comprueba si la asignación del Informe 3 es coherente con los axiomas de Kolmogorov de la probabilidad. En caso afirmativo, calcula a partir de ella la probabilidad de que se registre algún evento climático extremo ($H \cup C$) y justifica si es legítimo utilizar probabilidades subjetivas en la toma de decisiones cuando las condiciones históricas dejan de ser estacionarias.

En una caseta de feria se juega a «el disco de la suerte»: se deja caer un disco de $2\ \text{cm}$ de diámetro sobre una cuadrícula de cuadrados de $5\ \text{cm}$ de lado, como se muestra en la figura, y se gana si el disco cae sin tocar ninguna raya.

1. a) Calcula la probabilidad teórica de ganar. (Sugerencia: la posición del disco queda determinada por su centro; razona en qué región de cada cuadrado debe caer el centro.)
2. b) Un jugador lanza el disco $300$ veces y gana $114$. Calcula la frecuencia relativa de ganar y compárala con la probabilidad teórica.
3. c) ¿Contradice el resultado experimental a la probabilidad teórica? Razona tu respuesta.

Se lanza un dardo a una diana circular formada por tres círculos concéntricos de radios $r$, $2r$ y $3r$. Suponiendo que el dardo siempre impacta en la diana y que la probabilidad de impactar en una región es directamente proporcional a su área, calcula la probabilidad de que el dardo impacte en la corona circular intermedia (la región comprendida entre el círculo de radio $r$ y el de radio $2r$).

Dos camiones de reparto, $A$ y $B$, llegan a un muelle de carga de forma independiente y aleatoria entre las 12:00 y las 13:00 horas. El camión $A$ necesita 15 minutos para descargar, mientras que el camión $B$ necesita 10 minutos. Si un camión llega y el muelle está ocupado, debe esperar. Utilizando la probabilidad geométrica (representando el tiempo de llegada de $A$ en el eje X y el de $B$ en el eje Y), calcula la probabilidad de que ninguno de los dos camiones tenga que esperar al otro.

En las fiestas patronales de un municipio se diseña una caseta de feria con una diana cuadrada de $60\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. En el interior de la diana se pintará una franja circular (un anillo concéntrico con el centro del cuadrado) comprendida entre dos radios $r_1$ y $r_2$, con $0 < r_1 < r_2 \le 30\text{ cm}$. Se asume que el impacto de cada dardo es completamente aleatorio y se modeliza mediante una distribución uniforme en toda la superficie del cuadrado.

1. a) Si el radio interior está prefijado en $r_1 = 10\text{ cm}$, determina de forma inversa el valor exacto del radio exterior $r_2$ para que la probabilidad geométrica de que un dardo caiga en la franja con premio sea exactamente igual a $0,20$.
2. b) Imagina que la organización decide cambiar el diseño y pintar únicamente un círculo central macizo de radio $R$. Si el organizador afirma: «Para triplicar la probabilidad de acertar en el círculo, basta con triplicar su radio $R$», razona algebraicamente si su afirmación es verdadera o falsa y calcula por qué factor exacto habría que multiplicar el radio $R$ para triplicar la probabilidad.

En una avenida de La Habana, un semáforo de peatones funciona con un ciclo periódico de 100 segundos repartidos en tres fases continuas: 60 segundos en rojo, 5 segundos en ámbar intermitente (aviso de fin de paso) y 35 segundos en verde. Un peatón llega al semáforo en un instante $t$ completamente aleatorio y uniforme dentro del ciclo.

1. a) Antes de calcular, realiza una estimación razonada: ¿crees que la probabilidad de que el peatón deba esperar más de 30 segundos antes de que el semáforo se ponga en verde es mayor, menor o igual al $50\,\%$? Justifica cualitativamente tu predicción basándote en la duración de las fases.
2. b) Modela matemáticamente el problema mediante probabilidad geométrica sobre el intervalo $[0, 100]$ y calcula la probabilidad exacta de que el peatón tenga que esperar más de 30 segundos hasta el inicio de la fase verde.
3. c) Comprueba si el resultado obtenido confirma tu estimación inicial. A continuación, refuta el siguiente comentario de un transeúnte: «Como al llegar al semáforo solo hay dos estados posibles para mí (esperar o no esperar), la probabilidad de esperar es $1/2$ por la regla de Laplace».

Dos investigadoras, Alba y Beatriz, se han citado en el laboratorio del Parque Científico-Tecnológico de La Habana entre las 10:00 y las 11:00 de la mañana. Cada una llegará de forma independiente y al azar en algún instante de esa hora, con distribución uniforme. Alba esperará como máximo 10 minutos a Beatriz, mientras que Beatriz esperará a Alba un máximo de $k$ minutos (donde $0 < k \le 60$). Transcurrido su respectivo tiempo de espera, quien haya llegado se marchará.

Un estudiante intenta resolver el problema para el caso $k = 10\text{ minutos}$ y razona así:

«Cada investigadora puede llegar en cualquiera de los 60 minutos de la hora, luego hay $60 \cdot 60 = 3600$ pares de minutos posibles. Para que se encuentren, la diferencia entre sus minutos de llegada debe ser como máximo 10 minutos (es decir, $-10, -9, \dots, 0, \dots, 9, 10$), lo que da 21 diferencias posibles. Por la regla de Laplace, la probabilidad de encontrarse es $21/3600 \approx 0,0058$».

1. a) Explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por el estudiante: uno sobre la naturaleza del espacio muestral (discreto vs. continuo) y otro sobre la no equiprobabilidad de las diferencias de llegada.
2. b) Modela el problema mediante probabilidad geométrica en el recinto $[0, 60] \times [0, 60]$ del plano cartesiano, donde $x$ e $y$ representan los minutos de llegada de Alba y Beatriz respectivamente. Plantea las inecuaciones que delimitan la región favorable y calcula la probabilidad exacta de encuentro cuando $k = 10\text{ minutos}$.
3. c) Problema inverso: si la dirección del centro exige que la probabilidad de que ambas investigadoras coincidan sea exactamente de $7/16 = 0,4375$, calcula el valor exacto de minutos $k$ que Beatriz debe comprometerse a esperar a Alba.