Lugares geométricos en el espacio

Dados los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(4, 3, -1)$:

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$.
2. b) Simplifica la ecuación resultante hasta obtener la ecuación del plano mediador del segmento $AB$.
3. c) Comprueba que el punto medio de $AB$ pertenece a ese plano.

El plano mediador de un segmento $AB$ es $\pi: x - 2y + z - 3 = 0$. Uno de los extremos del segmento es el punto $A(0, 3, 3)$. Se desea reconstruir la posición del otro extremo $B$ resolviendo el problema de forma inversa:

1. a) Justifica, a partir de la definición geométrica de plano mediador, cuál debe ser un vector director de la recta que une $A$ y $B$, y qué posición relativa guarda dicha recta con el plano $\pi$.
2. b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $A$.
3. c) Calcula las coordenadas del punto $M$ en el que dicha recta corta al plano $\pi$. ¿Qué significado geométrico tiene $M$ respecto al segmento $AB$?
4. d) Determina razonadamente las coordenadas del extremo $B$ y comprueba que se cumple $\text{dist}(A, M) = \text{dist}(B, M)$.

Dos balizas de sonar están instaladas en el fondo de un puerto, en los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(6, 2, 4)$ (coordenadas en hectómetros). Un submarino recibe la señal de ambas con la misma intensidad, lo que significa que equidista de las dos balizas, como sugiere la figura.

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$ y demuestra que el lugar geométrico de las posiciones del submarino es un plano, hallando su ecuación.
2. b) Un submarino se encuentra en el punto $P(4, 2, 1)$. ¿Recibe las dos señales con la misma intensidad? ¿De qué baliza está más cerca?
3. c) Interpreta el plano obtenido como «frontera de cobertura» entre las dos balizas.

Tres sensores sísmicos están colocados en los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ y $C(0, 2, 0)$. Se busca instalar una antena que equidiste de los tres.

1. a) Halla el plano mediador del segmento $AB$.
2. b) Halla el plano mediador del segmento $AC$.
3. c) Deduce que el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$, $B$ y $C$ es una recta, y da sus ecuaciones paramétricas. ¿Cómo es esa recta respecto al plano que contiene a los tres sensores?

1. a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan $5$ unidades del punto $C(1, -2, 0)$.
2. b) ¿Qué superficie es? Indica su centro y su radio.
3. c) Decide, sin dibujar, si el punto $P(4, 2, 0)$ pertenece a esa superficie.

Dados los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(3, 4, -2)$, se busca el lugar geométrico de los puntos $X$ del espacio tales que el triángulo $ABX$ es rectángulo en $X$, es decir, los segmentos $AX$ y $BX$ son perpendiculares, como se ilustra en la figura.

1. a) Expresa la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Desarrolla la condición hasta obtener una ecuación en $x$, $y$, $z$ y reescríbela completando cuadrados.
3. c) Identifica la superficie obtenida: ¿qué relación tiene su centro y su radio con el segmento $AB$? (Es la versión espacial del teorema de Tales.)

Se consideran los puntos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 2)$. Se busca determinar la recta $r$ formada por todos los puntos del espacio que equidistan simultáneamente de $A$, $B$ y $C$. Dos alumnos plantean dos estrategias distintas:

• Estrategia A (analítica): Plantear las igualdades de distancias $\text{dist}(X, A)^2 = \text{dist}(X, B)^2$ y $\text{dist}(X, B)^2 = \text{dist}(X, C)^2$ para obtener dos planos mediadores y resolver la recta como su intersección.

• Estrategia B (sintético-vectorial): Hallar el plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$, deducir el vector director de $r$ a partir de la perpendicularidad con $\pi$, y determinar el circuncentro del triángulo $ABC$ como punto de paso aprovechando la simetría del problema.

1. a) Aplica la Estrategia A: desarrolla algebraicamente las dos ecuaciones de distancia, escribe las ecuaciones generales de ambos planos mediadores y obtén las ecuaciones continuas o paramétricas de la recta $r$.
2. b) Aplica la Estrategia B: halla la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$, $B$ y $C$, deduce razonadamente las coordenadas de su circuncentro $G$ y escribe directamente la recta $r$ utilizando un punto y su vector director.
3. c) Compara ambos caminos: ¿cuál resulta más económico en cálculos para este caso simétrico? ¿En qué circunstancias (por ejemplo, si los puntos no presentaran simetrías evidentes) recomendarías usar la Estrategia A frente a la B?

Un estudiante, Marcos, debe resolver el siguiente ejercicio: «Halla el lugar geométrico de los puntos $X(x, y, z)$ del espacio que equidistan de los planos $\pi_1: 2x - y + 2z - 3 = 0$ y $\pi_2: 3x + 4z - 5 = 0$». Marcos escribe en su examen:

«Planteo la condición métrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$, por lo que igualo directamente los valores absolutos: $|2x - y + 2z - 3| = |3x + 4z - 5|$. Suprimiendo las barras de valor absoluto obtengo $2x - y + 2z - 3 = 3x + 4z - 5$, de donde se deduce $-x - y - 2z + 2 = 0$. Por tanto, el lugar geométrico buscado es el plano $x + y + 2z - 2 = 0$».

1. a) Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales graves cometidos por Marcos en su razonamiento.
2. b) Corrige el ejercicio desarrollando adecuadamente la igualdad métrica hasta obtener las ecuaciones generales de los dos planos bisectores, $\sigma_1$ y $\sigma_2$, que forman la solución completa.
3. c) Demuestra analíticamente, mediante el producto escalar de sus vectores normales, que los dos planos bisectores obtenidos son perpendiculares entre sí, tal y como predice la teoría geométrica.

Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ y $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Plantea la condición $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ usando la fórmula de la distancia punto-plano.
2. b) Resuelve la ecuación con valor absoluto distinguiendo los dos casos posibles y da las ecuaciones de los planos resultantes (planos bisectores).
3. c) Comprueba que los dos planos obtenidos son perpendiculares entre sí.

Se consideran los planos $\pi_1: x + z = 0$ y $\pi_2: y + z = 0$, los cuales determinan cuatro ángulos diédricos en el espacio.

1. a) Estima antes de calcular:

1. Observa que las ecuaciones de $\pi_1$ y $\pi_2$ son formalmente simétricas al intercambiar las variables $x$ e $y$. Basándote exclusivamente en esta simetría geométrica, estima razonadamente la ecuación implícita de uno de los planos bisectores sin desarrollar la fórmula de distancias.

2. De acuerdo con las propiedades de los planos bisectores de dos planos secantes, ¿qué ángulo deben formar entre sí los dos bisectores resultantes?

1. b) Calcula:

1. Plantea de forma rigurosa la condición métrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$ y deduce las ecuaciones generales de ambos planos bisectores, $\sigma_1$ y $\sigma_2$.

2. Verifica si el plano que estimaste en el apartado anterior coincide con alguno de los calculados.

3. Comprueba mediante el producto escalar de sus vectores normales que $\sigma_1$ y $\sigma_2$ son estrictamente perpendiculares.

1. c) Comprueba y valora:

Considera la recta $r$ en la que se cortan los dos planos originales $\pi_1$ y $\pi_2$.

1. Razona si dicha recta de intersección $r$ debe estar geométricamente contenida en ambos planos bisectores a la vez.

2. Halla las ecuaciones de la recta $r$ y comprueba algebraicamente si todos sus puntos satisfacen las ecuaciones de $\sigma_1$ y $\sigma_2$. Valora la coherencia del resultado con la estructura espacial de los ángulos diédricos.

1. a) Justifica que la distancia de un punto genérico $X(x, y, z)$ al eje $OZ$ es $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan $3$ unidades del eje $OZ$ e identifica la superficie que se obtiene.
3. c) ¿Qué figura forma la intersección de esa superficie con el plano $z = 2$? ¿Y con el plano $y = 0$?

En una zona forestal de la sierra de Guadarrama se instala una torre de vigilancia vertical que coincide con el eje $OZ$, donde el suelo llano se modeliza mediante el plano coordenado $z = 0$ (las coordenadas se expresan en hectómetros, de modo que $1\text{ unidad} = 100\text{ m}$).

Por motivos de seguridad, la normativa establece un perímetro de exclusión cilíndrico de radio $R = 2\text{ hm}$ ($200\text{ m}$) alrededor de la torre. Por otro lado, en la superficie del suelo se ubican dos sensores sísmicos en los puntos $A(3, 1, 0)$ y $B(1, 3, 0)$.

1. a) Modela analíticamente el lugar geométrico que define la superficie cilíndrica límite de la zona de exclusión alrededor del eje $OZ$.
2. b) Un dron de inspección sigue una trayectoria rectilínea parametrizada por $X(t) = (2 - t, \, t, \, 1)$, con $t \in \mathbb{R}$. Plantea la condición de distancia al eje $OZ$ para comprobar si el dron invade la zona de exclusión. En caso afirmativo, calcula los instantes $t$ y los puntos espaciales de entrada y de salida.
3. c) Un segundo dron de vigilancia debe desplazarse manteniéndose siempre a la misma distancia del sensor $A$ que del sensor $B$. Halla la ecuación general del plano por el que está obligado a volar. ¿Contiene dicho plano a la torre de vigilancia (eje $OZ$)? Razona la respuesta interpretando geométricamente el resultado.

Indica si las siguientes afirmaciones sobre lugares geométricos en el espacio son verdaderas o falsas, justificando cada respuesta:

1. a) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos paralelos distintos es un único plano, paralelo a ambos y situado a igual distancia de cada uno.»
2. b) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos secantes es un único plano.»
3. c) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres ejes de coordenadas es una única recta.»

El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan simultáneamente de tres puntos $A$, $B$ y $C$ es la recta:

Se sabe que los tres puntos pertenecen al plano coordenado horizontal $\pi: z = 0$. Además, el punto $A$ es el origen de coordenadas, $A(0, 0, 0)$, y el punto $B$ se encuentra en el semieje positivo de abscisas, $B(b, 0, 0)$ con $b > 0$.

1. a) Explica la relación geométrica que existe entre la recta $r$, el plano $\pi$ que contiene a los puntos y el circuncentro del triángulo $ABC$. A partir de dicha propiedad, deduce sin calcular previamente los planos mediadores las coordenadas del circuncentro $K$ del triángulo.
2. b) Puesto que la recta $r$ es la intersección de los planos mediadores del triángulo, deduce razonadamente la ecuación del plano mediador del segmento $AB$ y determina el valor exacto de la coordenada $b$ del punto $B$.
3. c) El tercer vértice $C(x_0, y_0, 0)$ también se encuentra en el plano $z = 0$. Demuestra que la posición de $C$ no es única: deduce la ecuación del lugar geométrico en el plano $z = 0$ sobre el que debe situarse $C$ para que el enunciado se cumpla, y precisa qué puntos concretos de dicho lugar deben excluirse obligatoriamente para que exista el triángulo $ABC$.
4. d) Elige unas coordenadas enteras para $C$ con $y_0 \neq 0$ que pertenezcan al lugar obtenido en el apartado anterior. Para un punto genérico de la recta, $P(1, 2, \lambda)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, comprueba algebraicamente que se verifica con total exactitud la igualdad $\text{dist}(P, A) = \text{dist}(P, B) = \text{dist}(P, C)$.

Reto del tema. Diseña la instalación óptima de un foco de luz y un panel reflector en tu habitación mediante geometría métrica 3D.

1. Toma de medidas reales: Establece un sistema de referencia fijando el origen $(0,0,0)$ en una esquina del suelo. Mide en metros (con precisión de centímetros, usando coma decimal) las dimensiones de tu estancia y sitúa las coordenadas del foco $F$, de dos esquinas de tu mesa de trabajo y del plano $\pi$ que contendrá al panel reflector.

2. Resolución analítica y GeoGebra 3D: Modela el espacio en GeoGebra y calcula:

3. El ángulo entre el haz de luz (recta $r$) y el panel $\pi$.

4. La proyección ortogonal del foco sobre el plano del escritorio y su punto simétrico respecto a la pared principal.

5. La distancia mínima entre dos canaletas de cables cruzadas mediante la perpendicular común.

6. La ecuación del lugar geométrico de los puntos del suelo que equidistan de un punto de referencia de la mesa y de otro de la puerta (recta intersección del plano mediador con el suelo).

7. Informe técnico final: Entrega una propuesta razonada (1-2 páginas) con la vista 3D de GeoGebra, la discusión de paralelismo/perpendicularidad aplicada y los desarrollos analíticos completos.

Se valorará:

• Precisión en la toma de datos reales y coherencia del modelo en GeoGebra.

• Corrección algebraica en el cálculo de ángulos, distancias, simetrías y lugares geométricos.

• Justificación geométrica de las decisiones de diseño en el informe.