Ejercicios: Ángulos entre rectas y planos en el espacio

Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mientras que el suelo del pabellón se encuentra sobre el plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcula el ángulo que forma la viga de soporte con el suelo.

La trayectoria de un dron de vigilancia viene definida por la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. El dron debe atravesar un panel de cristal blindado situado en el plano $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Determina el ángulo de incidencia (el ángulo que forma la trayectoria con el plano) con el que el dron impactará en el cristal.

Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.

Dada la recta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ y el plano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, comprueba si la recta y el plano son paralelos o si, por el contrario, se cortan formando un ángulo determinado. En caso de que se corten, calcula dicho ángulo.

Un rayo láser sale del origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Se considera una pared plana cuya ecuación es $\pi: x - 2y + z = 0$. ¿Qué ángulo forma el haz de luz con la superficie de la pared?

Halla el ángulo que forma la recta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ con el plano coordenado $OXY$ ($z = 0$). Explica brevemente el significado geométrico del resultado obtenido.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es el ángulo que forman en este caso?

Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugerencia: Obtén primero el vector director de la recta $r$ mediante el producto vectorial de los normales de $\pi_1$ y $\pi_2$).

Marcos se enfrenta al siguiente problema de examen: «Calcula el ángulo $\alpha$ que forma la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z}{0}$ con el plano $\pi: x + \sqrt{3}y - 7 = 0$». En su desarrollo escribe:

«Extraigo el vector director de la recta $\vec v = (1, 0, 0)$ y el vector normal del plano $\vec n = (1, \sqrt{3}, 0)$. Aplico la fórmula del producto escalar:

Por tanto, $\alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ$».

1. a) Señala el error conceptual que ha cometido Marcos y explica geométricamente por qué la razón trigonométrica adecuada entre una recta y un plano es el seno y no el coseno.
2. b) Corrige el procedimiento y halla el valor real del ángulo $\alpha$.
3. c) Si el producto escalar entre $\vec v$ y $\vec n$ hubiera sido igual a $0$, ¿qué posición relativa tendrían la recta y el plano? ¿Qué ángulo formarían?

Considera la recta $r$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y por el punto $A(1, 1, 8)$, y el plano horizontal del suelo $\pi: z = 0$.

1. a) Estima: Antes de realizar ningún cálculo trigonométrico, analiza las componentes del vector director $\vec{OA} = (1, 1, 8)$. Si un punto asciende $8$ unidades en vertical mientras solo avanza $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unidades en el plano horizontal, ¿esperas razonablemente que el ángulo $\alpha$ de la recta con el suelo esté más cerca de $15^\circ$, de $45^\circ$ o de $80^\circ$? Justifica cualitativamente tu predicción.
2. b) Calcula: Obtén analíticamente el valor exacto de $\sin\alpha$ utilizando los vectores correspondientes y calcula el valor de $\alpha$ redondeado al minuto de grado más próximo.
3. c) Comprueba: Compara el resultado con tu estimación inicial. Razona qué le ocurriría al ángulo $\alpha$ si la cota $z$ del punto $A$ aumentara indefinidamente manteniendo constantes su abscisa y su ordenada.

Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expresa el resultado en grados, minutos y segundos.

Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del parámetro real $k$ sabiendo que el ángulo que forman la recta y el plano es de $30^\circ$.

Un estudio de arquitectura diseña una claraboya en un tejado inclinado representado por el plano $\pi \equiv 3x + 4y + z - 12 = 0$. Un rayo de luz incide siguiendo la dirección de la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{2}$.

Calcula el ángulo $\alpha$ que forma el rayo de luz con el plano del tejado y el ángulo de incidencia $\beta$ que forma con la normal al plano.

Determina la ecuación implícita del plano $\pi$ que contiene a la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ y es perpendicular al plano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una vez hallado, comprueba cuál es el ángulo que forma la recta $r$ con dicho plano $\pi$. ¿Era previsible el resultado? Razona tu respuesta.

Considera el cubo de arista 1 unidad con un vértice en el origen $(0,0,0)$ y aristas sobre los ejes de coordenadas positivos. Sea $d$ la recta que contiene a la diagonal principal del cubo (la que une $(0,0,0)$ con $(1,1,1)$).

Halla el ángulo que forma dicha diagonal $d$ con la cara del cubo que se encuentra en el plano $XY$.

Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su eficiencia debe formar un ángulo de $60^\circ$ con el eje $OZ$ (la vertical).

Calcula los posibles valores del parámetro $a$ (supón $a > 0$).

Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres ángulos? Justifica tu respuesta utilizando los conceptos de vectores directores y normales.

En una explotación agroenergética de regadío en la provincia de Jaén, se instala una placa solar orientada para maximizar la captación estival. En el sistema de coordenadas fijado (con cotas en metros y el suelo situado en el plano horizontal $z = 0$), el panel fotovoltaico descansa sobre el plano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$.

Para reforzar la estructura frente al viento, se ancla una barra rectilínea de acero $r$ que une el punto del suelo $A(1, 0, 0)$ con el vértice superior de la estructura $B(3, 2, 4)$.

1. a) Determina las ecuaciones continuas de la recta $r$ que modeliza la barra y las componentes de un vector normal $\vec n$ al plano $\pi$ del panel.
2. b) Calcula el ángulo $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ que forma la barra con la superficie plana del panel solar.
3. c) La memoria técnica del proyecto advierte de que, para evitar tensiones de desgarro en los anclajes del panel, la barra de refuerzo debe incidir sobre la superficie con un ángulo estrictamente superior a $20^\circ$. Dictamina justificadamente si la instalación ejecutada cumple dicha prescripción técnica.

Se proyecta diseñar una rampa rectilínea de carga $r$ que parta del punto de anclaje $P(1, 0, 2)$. Por limitaciones arquitectónicas de la nave industrial, la trayectoria de la rampa debe quedar totalmente contenida en el plano vertical $\pi_1: x = 1$ y, además, los protocolos de ergonomía exigen que ascienda formando un ángulo exacto de $30^\circ$ con el suelo horizontal $\pi_2: z = 0$.

1. a) A partir de la condición de pertenencia al plano $\pi_1: x = 1$, deduce qué componente del vector director $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ queda anulada obligatoriamente.
2. b) Plantea la ecuación del ángulo entre recta y plano con $\pi_2: z = 0$ para encontrar las componentes de los posibles vectores directores $\vec v$ (asumiendo, para fijar la escala, que la componente vertical es $v_3 = 1$).
3. c) Escribe las ecuaciones continuas de las dos rectas distintas que resuelven el problema y razona geométricamente por qué aparecen exactamente dos soluciones simétricas respecto a la recta vertical que pasa por $P$.

Un haz de luz láser incide desde un satélite siguiendo la trayectoria de la recta $r$, que pasa por el punto $A(1, 0, 2)$ y tiene como vector director $\vec{v}(k, 1, 1)$. El objetivo es que el rayo impacte sobre una estación receptora situada en un plano $\pi$ de ecuación $2x - y + z = 5$. Determina los valores del parámetro real $k$ para que el ángulo que forma la trayectoria del láser con el plano receptor sea exactamente de $30^\circ$.

En el diseño de un auditorio de vanguardia, se proyecta una viga de soporte que sigue la dirección de la recta $s$, definida por la intersección de los planos:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Se desea que esta viga forme un ángulo $\alpha$ con el plano de la fachada principal $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Si se sabe que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcula el valor del coeficiente $a$ de la fachada.

Un brazo robótico industrial en una planta de ensamblaje debe desplazarse sobre una guía rectilínea $r$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ y por el punto $P(1, -1, 0)$. El brazo debe operar sobre una placa metálica inclinada que coincide con el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 2)$. Calcula el ángulo que forma la trayectoria del robot con la placa de trabajo.

Una partícula cargada se mueve en un acelerador siguiendo la recta $r$ que pasa por el punto $M(2, 3, -1)$ y es paralela a la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. Al entrar en una zona con un campo magnético, la partícula cruza un plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Determina el ángulo de entrada de la partícula en dicho campo magnético (ángulo entre $r$ y $\pi$).

Se considera una pirámide cuya base es el plano $XY$ ($z=0$) y cuya arista lateral principal está sobre la recta $r$ que une el vértice superior $V(2, 2, 5)$ con el punto de la base $P(0, 0, 0)$.

1. a) Halla el ángulo que forma dicha arista con el plano de la base.
2. b) Si quisiéramos inclinar el plano de la base para que el ángulo con la arista fuese de $90^\circ$, ¿cuál debería ser la ecuación del nuevo plano de la base si debe seguir pasando por el origen?

Halla la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $Q(1, 1, 1)$, es paralela al plano $\alpha \equiv x - y + z = 2$ y forma un ángulo de $45^\circ$ con el plano $\beta \equiv x + y = 0$. ¿Es única esta recta? Justifica razonadamente tu respuesta utilizando el concepto de vectores directores.

Un panel solar se coloca sobre una estructura metálica. El panel está contenido en el plano $\pi \equiv x + y + z = 1$. Los rayos del sol al mediodía siguen la dirección de la recta $r$ que pasa por el punto $S(10, 10, 10)$ y es perpendicular al plano de inclinación del terreno $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calcula el ángulo de incidencia de los rayos solares sobre el panel.
2. b) Si para obtener la máxima eficiencia el ángulo debe ser de $90^\circ$, determina un vector normal para un nuevo panel que cumpla esta condición.

Calcula el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$, sabiendo que $r$ es la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ y $C(1, 4, 3)$, y que el plano $\pi$ es el plano que contiene a los puntos $B$, $C$ y al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$.

Dada la recta $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ y el plano horizontal $XY$ de ecuación general $\pi: z = 0$.

Para hallar el ángulo $\alpha$ que forma la recta $r$ con dicho plano, dos estudiantes de 2.º de Bachillerato proponen caminos alternativos:

• Estrategia A (Ángulo recta-plano): Emplear el vector normal del plano $\vec n = (0, 0, 1)$ y el vector director $\vec v = (2, -1, 2)$ mediante la fórmula directa $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Estrategia B (Ángulo complementario con el eje $OZ$): Tratar el eje vertical $OZ$ como una recta de vector director $\vec u = (0, 0, 1)$, calcular el ángulo entre rectas $\beta$ mediante $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ y finalmente obtener $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos numéricamente y comprueba que proporcionan exactamente la misma medida para $\alpha$.
2. b) Demuestra analíticamente que la fórmula de la Estrategia A se deduce de la Estrategia B aplicando la identidad trigonométrica $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, explicando el papel del complementario en la definición métrica.
3. c) Evalúa críticamente ambos procedimientos: si el plano del problema no fuera horizontal sino un plano oblicuo cualquiera (por ejemplo, $\pi': 2x - 3y + z = 5$), ¿qué desventaja insalvable o sobrecoste operativo presentaría la Estrategia B frente a la Estrategia A? Justifica cuál es el método general preferible.

Considera la recta $s$ definida por la intersección de planos:

y la recta $r$ dada en forma continua:

Se define el haz de planos secantes en la recta $s$, cuya ecuación viene dada por $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, al que se añade el plano complementario $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Halla los valores de $\lambda$ para los cuales el ángulo $\alpha$ formado por la recta $r$ y el plano $\pi_\lambda$ es exactamente de $45^\circ$. Escribe la ecuación general de cada uno de los planos obtenidos.
2. b) Comprueba analíticamente si el plano complementario $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forma también $45^\circ$ con $r$.
3. c) Razona geométricamente si existe algún plano dentro de este haz que pueda ser estrictamente perpendicular a la recta $r$. Para ello, analiza la condición necesaria que deberían cumplir los vectores directores de ambas rectas $\vec v_s$ y $\vec v_r$, sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones complejos.