Funcions lògiques i disseny de circuits

Explica què representa cada fila d'una taula de veritat i què vol dir que la sortida valgui 1 només en algunes files, basant-te en aquest cas: un pilot s'encén quan hi ha fum (H = 1) i l'alarma està activada (A = 1).

Un cotxe pita si la porta està oberta (P = 1) i el contacte està tret (C = 1). Identifica les entrades i la sortida del sistema i escriu-ne la funció lògica amb lletres.

Tres sensors de fum (A, B i C) vigilen una nau i l'alarma ha de saltar quan almenys dos d'ells detecten fum alhora. Escriu la taula de veritat completa del sistema.

Què és una funció lògica? Llegeix aquestes dues i explica'n el significat amb paraules: $S = A \cdot B$ i $S = A + B$. Quina porta implementa cadascuna?

Una alarma de cotxe ha de sonar quan una porta està oberta (P = 1) i la clau està treta del contacte (C = 1). Escriu la taula de veritat completa i, a partir de les files amb sortida 1, escriu la funció lògica.

Es vol un avís que soni quan el dipòsit està baix (N = 1) o quan la bomba està parada (B = 1) amb el programador en marxa (M = 1). Escriu la taula de veritat amb les tres entrades i la funció lògica.

La funció $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ s'activa si «A i B» o si «A i no B». Explica per què equival simplement a $S = A$ i què s'estalvia en el circuit en adonar-se'n.

Comprova, escrivint les dues taules de veritat, que $S = A \cdot (A + B)$ equival a $S = A$. Explica quina conseqüència pràctica té aquest resultat a l'hora de muntar el circuit.

Un estudiant dissenya el sistema d'alarma d'un habitatge combinant dos sensors: contacte magnètic de porta ($A = 1$ si està oberta, $A = 0$ si està tancada) i radar de moviment volumètric ($B = 1$ si detecta presència). Per assegurar-se de cobrir totes les situacions, escriu a la seva memòria tècnica:

«L'alarma ($S = 1$) s'ha de disparar si hi ha moviment amb la porta oberta ($A \cdot B$), i també si hi ha moviment amb la porta tancada ($\overline{A} \cdot B$). Per tant, la funció és $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, que implementaré amb dues portes AND, una NOT i una OR».

1. a) Demostra per simplificació algebraica i mitjançant la taula de veritat corresponent quina és la funció lògica mínima real del sistema.
2. b) Explica el significat físic del resultat matemàtic obtingut: aporta el sensor de porta $A$ alguna informació útil per activar la sirena? Quins components del muntatge inicial sobren?
3. c) Prediu què li passaria al sistema de l'estudiant si el sensor de porta $A$ s'espatlla i queda permanentment desconnectat (nivell lògic erroni): deixaria de sonar l'alarma davant d'un intrús o es veuria compromesa la seguretat respecte al circuit simplificat? Justifica la teva resposta.

Un circuit porta una porta NOT a l'entrada A i després una porta AND que rep aquest senyal i l'entrada B. Escriu la funció lògica del circuit i explica quina situació detecta (quina combinació d'entrades activa la sortida).

El sistema de seguretat d'una nau industrial compta amb tres sensors digitals: obertura de porta ($P = 1$), obertura de finestra ($V = 1$) i interruptor d'armat del sistema ($A = 1$ quan està activada la vigilància). L'alarma ($S = 1$) ha de sonar si s'obre la porta o la finestra, però únicament quan el sistema es trobi armat.

Un instal·lador connecta els sensors segons l'expressió $S = P + V \cdot A$, argumentant que «com que la porta és l'accés principal, ha de tenir connexió directa a l'avisador».

1. a) Identifica amb quina combinació de les entrades fallarà la instal·lació del tècnic i explica el greu problema de seguretat o de falses alarmes que provocarà a la nau.
2. b) Elabora la taula de veritat que modela de manera exacta les especificacions sol·licitades i obtén la funció canònica com a suma de mintermes.
3. c) Simplifica la funció resultant aplicant les propietats de l'àlgebra de Boole i descriu el circuit electrònic òptim indicant quines portes lògiques concretes i quantes entrades requereix cadascuna.

Es vol dissenyar el sistema d'il·luminació intel·ligent d'un passadís comunitari a partir de tres senyals: detector de moviment ($M = 1$), sensor crepuscular de nit ($N = 1$) i interruptor manual de manteniment ($I = 1$). El llum ($L = 1$) s'ha d'encendre automàticament quan sigui de nit i es detecti moviment, o bé en qualsevol moment si s'acciona l'interruptor manual.

1. a) Elabora la taula de veritat del sistema i dedueix la funció lògica simplificada $L(M, N, I)$.
2. b) La comunitat de veïns sol·licita afegir un «mode vacances» mitjançant un interruptor mestre $V$ ($V = 1$ mode vacances actiu). En aquest mode s'ha d'anul·lar completament l'encesa automàtica nocturna per estalviar energia si hi ha corrents d'aire, però l'interruptor manual $I$ ha de continuar encenent el llum per necessitat del personal de seguretat. Dedueix la nova funció $L_{vac}(M, N, I, V)$ justificant la modificació sense necessitat de construir una taula de 16 files.
3. c) En el circuit inicial (sense mode vacances), els veïns avisen que el llum roman encès contínuament les 24 hores del dia sense que ningú premi l'interruptor $I$ ni hi hagi ningú al passadís. Dedueix raonadament quines dues avaries físiques independents en les entrades del circuit podrien estar originant aquesta fallada.