Palanques i politges

Hi ha tres tipus (gèneres) de palanca segons la posició relativa del punt de suport, la força i la resistència. Descriu-los i posa un exemple d'objecte quotidià per a cada tipus.

Explica què és l'avantatge mecànic d'una palanca i com es relaciona amb la longitud del braç de força i del braç de resistència (qui és més gran que qui quan la palanca «multiplica» la força).

La llei de la palanca estableix que $F \cdot d = R \cdot r$, on $F$ és la força aplicada, $d$ el braç de força, $R$ la resistència i $r$ el braç de resistència. Una palanca té una resistència de $200\ \text{N}$ col·locada a $0{,}4\ \text{m}$ del punt de suport i la força s'aplica a $1{,}6\ \text{m}$ del suport. Calcula el valor de la força $F$ necessària per equilibrar-la, indicant la unitat del resultat.

Què és una politja fixa? Descriu dues situacions reals on s'utilitzi (un pou, el pal d'una bandera, una persiana) i què aporta en cadascuna, encara que no redueixi la força necessària.

Explica la diferència entre una politja fixa i una politja mòbil. Per què es diu que la politja fixa no redueix la força necessària però resulta igualment útil per aixecar càrregues? Posa un exemple d'ús de cadascuna.

Per aixecar un pes de $200\ \text{N}$ s'utilitza una politja mòbil sostinguda per dos ramals de corda. Calcula la força que cal fer a l'extrem lliure (menyspreant els fregaments) i explica quanta corda cal recollir perquè la càrrega pugi $1\ \text{m}$.

El pla inclinat és una altra màquina simple que «multiplica» la força: la força necessària per pujar una càrrega per ell (sense fregament) és $F = P \cdot \frac{h}{L}$, on $P$ és el pes, $h$ l'alçària i $L$ la longitud del pla. Per pujar una caixa de $200\ \text{N}$ a $0{,}5\ \text{m}$ d'alçària per una rampa de $2\ \text{m}$ de longitud: (a) calcula la força necessària. (b) Compara amb aixecar-la a pols i explica quin «preu» es paga a canvi (recórrer més distància).

Per pujar un piano de $250\ \text{kg}$ a un primer pis situat a $4\ \text{m}$ d'alçària ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$), es comparen dues opcions tècniques: una rampa de fusta de $8\ \text{m}$ de longitud amb un coeficient de fregament dinàmic $\mu = 0{,}20$, o bé un polispast factorial de 4 ramals instal·lat al balcó amb un rendiment mecànic del $80\,\%$ per fregament. Disposes de dos operaris que poden exercir, com a màxim, una força sostinguda de $350\ \text{N}$ cadascun. (a) Calcula la força total requerida per pujar el piano a velocitat constant en cada sistema. (b) Determina si els dos operaris poden realitzar la maniobra directament per si mateixos en cada opció. (c) Analitza la viabilitat geomètrica i de seguretat de la rampa (espai ocupat a la vorera i angle) enfront del risc mecànic de sobrecàrrega a l'ancoratge del balcó, i defensa de manera justificada quina solució seleccionaries.

Dos operaris han d'elevar una roca que exerceix una resistència de $600\ \text{N}$ una alçària de $15\ \text{cm}$ utilitzant una barra homogènia d'acer de $2\ \text{m}$ i $12\ \text{kg}$ de massa ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). Disposen d'un suport la distància del qual $x$ a la roca poden ajustar. Un d'ells afirma: «Com més acostem el suport a la roca, millor, perquè menys força farem i menys treball mecànic ens costarà». (a) Modela l'equilibri estàtic considerant el pes propi de la barra i obtén l'expressió de la força motriu $F(x)$ a l'extrem oposat en funció de la distància $x$ del suport a la roca. (b) Avalua si hi ha alguna distància $x$ en què el mateix pes de la barra impedeixi reduir la força requerida. (c) Rebat tècnicament l'afirmació del seu company calculant el desplaçament de l'extrem i comparant el treball mecànic que han de desenvolupar per elevar la roca $15\ \text{cm}$ quan $x = 0{,}4\ \text{m}$ i quan $x = 0{,}2\ \text{m}$.

Una empresa de manteniment ha d'issar una càrrega de $600\ \text{N}$ una alçària de $6\ \text{m}$. Un operari només pot exercir una força de tracció màxima de $190\ \text{N}$ i disposa d'una bobina amb $28\ \text{m}$ de corda utilitzable. S'avaluen dos sistemes comercials de 4 ramals que sostenen la càrrega: un polispast factorial (dues politges fixes i dues de mòbils) i un polispast potencial (una politja fixa i dues de mòbils independents). En tots dos casos, cada politja mòbil té una massa de $2\ \text{kg}$ ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$) i el rendiment mecànic per fregament als eixos és del $85\,\%$. (a) Dedueix analíticament l'avantatge mecànic teòric i la longitud de corda que s'ha de recollir en cada sistema. (b) Calcula la força real requerida en cada opció tenint en compte el pes de les politges mòbils i les pèrdues per fricció. (c) Justifica tècnicament quin dels dos sistemes és viable davant les restriccions de força i longitud de corda disponible, i descarta el no viable.

En un polispast potencial real, cada politja mòbil addicional afegeix una massa de $3\ \text{kg}$ ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$) i presenta un rendiment per fricció a l'eix del $90\,\%$, de manera que la tensió d'entrada a cada esglaó es relaciona amb l'anterior mitjançant $T_k = \frac{T_{k-1} + P_{\text{politja}}}{2 \cdot 0{,}90}$. Es necessita elevar una càrrega $R = 800\ \text{N}$. (a) Planteja les equacions d'equilibri successives i dedueix analíticament la força motriu $F$ requerida amb $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ i $n = 4$ politges mòbils. (b) Calcula numèricament aquesta força per a cada valor de $n$. (c) Interpreta l'evolució dels resultats i prediu a partir de quin nombre de politges mòbils el sistema deixa d'aportar avantatge i esdevé contraproduent, justificant el límit físic del disseny.

Un vehicle de $1200\ \text{kg}$ ha quedat encallat al fang i es calcula que oposa una força de resistència a l'avanç de $4800\ \text{N}$. Un socorrista disposa d'una corda indeformable, una politja i un arbre situat a $15\ \text{m}$ davant del cotxe, però només pot exercir una força de tracció màxima de $400\ \text{N}$. (a) Analitza dos muntatges possibles amb la politja (Muntatge A: politja fixa ancorada a l'arbre; Muntatge B: politja mòbil ancorada al para-xocs del cotxe) i calcula la força motriu necessària i la tensió màxima que suportaria la corda en cada cas. (b) En comprovar que la tracció directa no és suficient, el socorrista tensa fermament la corda entre el cotxe i l'arbre i empeny lateralment al punt mitjà amb els seus $400\ \text{N}$, desviant el centre $y = 0{,}4\ \text{m}$ respecte a l'alineació original. Calcula mitjançant descomposició de forces la tensió transmesa a l'enganxall del cotxe i determina si aconsegueix moure'l. (c) Justifica quin inconvenient cinemàtic presenta aquest mètode a mesura que el vehicle avança i com s'ha d'operar.