Exercicis: Palanques i politges

Hi ha tres tipus (gèneres) de palanca segons la posició relativa del punt de suport, la força i la resistència. Descriu-los i posa un exemple d'objecte quotidià per a cada tipus.

Indica a quin tipus de palanca pertany cadascun d'aquests objectes i explica on són el suport, la força i la resistència en cada cas: (a) un trencanoUS, (b) unes pinces de depilar, (c) un balancí de parc i (d) un carretó de jardí.

La figura mostra una palanca amb els seus elements assenyalats amb lletres: dos braços (d i r), dues forces (F i R) i el punt de suport, com es mostra a la figura.

Anomena què representa cada lletra (d, r, F, R) i explica, a la vista del dibuix, per què amb aquesta palanca es pot aixecar una gran resistència aplicant una força petita.

Explica què és l'avantatge mecànic d'una palanca i com es relaciona amb la longitud del braç de força i del braç de resistència (qui és més gran que qui quan la palanca «multiplica» la força).

Què és una politja fixa? Descriu dues situacions reals on s'utilitzi (un pou, el pal d'una bandera, una persiana) i què aporta en cadascuna, encara que no redueixi la força necessària.

Indica a quin tipus de palanca pertany cadascun d'aquests objectes i on és el punt de suport en cada cas: un obridor d'ampolles, un carretó, una pinça de la roba i un rem d'una barca.

L'efecte d'una força sobre una palanca depèn del moment (la força i la seva distància al suport). Explica amb l'exemple d'una porta per què és molt més fàcil obrir-la empenyent lluny de les bisagres que empenyent a prop d'elles.

Assenyala on és el punt de suport en unes tisores, en unes alicates i en un carretó, i explica què tenen en comú aquests tres suports (per on gira cada objecte en fer-los servir).

Explica la diferència entre una politja fixa i una politja mòbil. Per què es diu que la politja fixa no redueix la força necessària però resulta igualment útil per aixecar càrregues? Posa un exemple d'ús de cadascuna.

La llei de la palanca estableix que $F \cdot d = R \cdot r$, on $F$ és la força aplicada, $d$ el braç de força, $R$ la resistència i $r$ el braç de resistència. Una palanca té una resistència de $200\ \text{N}$ col·locada a $0{,}4\ \text{m}$ del punt de suport i la força s'aplica a $1{,}6\ \text{m}$ del suport. Calcula el valor de la força $F$ necessària per equilibrar-la, indicant la unitat del resultat.

La figura mostra una palanca en equilibri amb una resistència de $300\ \text{N}$ a $0{,}5\ \text{m}$ del suport i la força aplicada a $1{,}5\ \text{m}$ del suport, com es mostra a la figura.

Aplicant la llei de la palanca $F \cdot d = R \cdot r$, calcula el valor de la força $F$ que manté l'equilibri, amb la seva unitat, i explica per què és menor que la resistència.

El pla inclinat és una altra màquina simple que «multiplica» la força: la força necessària per pujar una càrrega per ell (sense fregament) és $F = P \cdot \frac{h}{L}$, on $P$ és el pes, $h$ l'alçària i $L$ la longitud del pla. Per pujar una caixa de $200\ \text{N}$ a $0{,}5\ \text{m}$ d'alçària per una rampa de $2\ \text{m}$ de longitud: (a) calcula la força necessària. (b) Compara amb aixecar-la a pols i explica quin «preu» es paga a canvi (recórrer més distància).

Un carretó porta una càrrega de $360\ \text{N}$ centrada a $0{,}4\ \text{m}$ de l'eix de la roda (que fa de punt de suport), i els braços se subjecten a $1{,}2\ \text{m}$ de l'eix. Calcula la força total que han de fer els braços per sostenir la càrrega, i explica per què el carretó «alleugereix» tant el pes.

En un balancí, un infant de $30\ \text{kg}$ s'asseu a $2\ \text{m}$ del centre i equilibra un adult de $60\ \text{kg}$. Calcula a quina distància del centre s'ha d'asseure l'adult (els pesos són proporcionals a les masses, així que pots treballar directament amb quilograms en la llei de la palanca).

Per aixecar un pes de $200\ \text{N}$ s'utilitza una politja mòbil sostinguda per dos ramals de corda. Calcula la força que cal fer a l'extrem lliure (menyspreant els fregaments) i explica quanta corda cal recollir perquè la càrrega pugi $1\ \text{m}$.

Un company afirma: «amb una palanca es crea energia, perquè moc molt de pes amb poca força». Rebat-ho utilitzant el concepte de treball (força per desplaçament): si la força es redueix a la meitat, què li passa al desplaçament del punt on l'apliques?

Dos operaris han d'elevar una roca que exerceix una resistència de $600\ \text{N}$ una alçària de $15\ \text{cm}$ utilitzant una barra homogènia d'acer de $2\ \text{m}$ i $12\ \text{kg}$ de massa ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). Disposen d'un suport la distància del qual $x$ a la roca poden ajustar. Un d'ells afirma: «Com més acostem el suport a la roca, millor, perquè menys força farem i menys treball mecànic ens costarà». (a) Modela l'equilibri estàtic considerant el pes propi de la barra i obtén l'expressió de la força motriu $F(x)$ a l'extrem oposat en funció de la distància $x$ del suport a la roca. (b) Avalua si hi ha alguna distància $x$ en què el mateix pes de la barra impedeixi reduir la força requerida. (c) Rebat tècnicament l'afirmació del seu company calculant el desplaçament de l'extrem i comparant el treball mecànic que han de desenvolupar per elevar la roca $15\ \text{cm}$ quan $x = 0{,}4\ \text{m}$ i quan $x = 0{,}2\ \text{m}$.

Una empresa de manteniment ha d'issar una càrrega de $600\ \text{N}$ una alçària de $6\ \text{m}$. Un operari només pot exercir una força de tracció màxima de $190\ \text{N}$ i disposa d'una bobina amb $28\ \text{m}$ de corda utilitzable. S'avaluen dos sistemes comercials de 4 ramals que sostenen la càrrega: un polispast factorial (dues politges fixes i dues de mòbils) i un polispast potencial (una politja fixa i dues de mòbils independents). En tots dos casos, cada politja mòbil té una massa de $2\ \text{kg}$ ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$) i el rendiment mecànic per fregament als eixos és del $85\,\%$. (a) Dedueix analíticament l'avantatge mecànic teòric i la longitud de corda que s'ha de recollir en cada sistema. (b) Calcula la força real requerida en cada opció tenint en compte el pes de les politges mòbils i les pèrdues per fricció. (c) Justifica tècnicament quin dels dos sistemes és viable davant les restriccions de força i longitud de corda disponible, i descarta el no viable.

Per pujar un piano de $250\ \text{kg}$ a un primer pis situat a $4\ \text{m}$ d'alçària ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$), es comparen dues opcions tècniques: una rampa de fusta de $8\ \text{m}$ de longitud amb un coeficient de fregament dinàmic $\mu = 0{,}20$, o bé un polispast factorial de 4 ramals instal·lat al balcó amb un rendiment mecànic del $80\,\%$ per fregament. Disposes de dos operaris que poden exercir, com a màxim, una força sostinguda de $350\ \text{N}$ cadascun. (a) Calcula la força total requerida per pujar el piano a velocitat constant en cada sistema. (b) Determina si els dos operaris poden realitzar la maniobra directament per si mateixos en cada opció. (c) Analitza la viabilitat geomètrica i de seguretat de la rampa (espai ocupat a la vorera i angle) enfront del risc mecànic de sobrecàrrega a l'ancoratge del balcó, i defensa de manera justificada quina solució seleccionaries.

Per desencofrar un bloc de formigó que exerceix una resistència vertical cap avall de $900\ \text{N}$, disposes d'una palanca d'acer indeformable de $3\ \text{m}$ de longitud. Dos operaris discuteixen com col·locar-la: l'operari A proposa utilitzar-la com a palanca de 1r gènere situant un punt de suport a terra a $0{,}5\ \text{m}$ del bloc i empenyent cap avall a l'extrem oposat; l'operari B proposa utilitzar-la com a palanca de 2n gènere recolzant un extrem a terra, situant l'enganxall del bloc a $0{,}5\ \text{m}$ del suport i estirant cap amunt des de l'extrem oposat. (a) Calcula la força necessària a l'extrem lliure i la reacció vertical sobre el punt de suport en cadascuna de les dues configuracions. (b) Si el terra és de terra tova i cedeix si la força concentrada al suport supera els $1000\ \text{N}$, determina quina configuració resulta inviable i per què. (c) Prediu com variaria l'avantatge mecànic de cada sistema si la barra treballa amb una inclinació de $25^\circ$ respecte a l'horitzontal.

En un polispast potencial real, cada politja mòbil addicional afegeix una massa de $3\ \text{kg}$ ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$) i presenta un rendiment per fricció a l'eix del $90\,\%$, de manera que la tensió d'entrada a cada esglaó es relaciona amb l'anterior mitjançant $T_k = \frac{T_{k-1} + P_{\text{politja}}}{2 \cdot 0{,}90}$. Es necessita elevar una càrrega $R = 800\ \text{N}$. (a) Planteja les equacions d'equilibri successives i dedueix analíticament la força motriu $F$ requerida amb $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ i $n = 4$ politges mòbils. (b) Calcula numèricament aquesta força per a cada valor de $n$. (c) Interpreta l'evolució dels resultats i prediu a partir de quin nombre de politges mòbils el sistema deixa d'aportar avantatge i esdevé contraproduent, justificant el límit físic del disseny.

Un vehicle de $1200\ \text{kg}$ ha quedat encallat al fang i es calcula que oposa una força de resistència a l'avanç de $4800\ \text{N}$. Un socorrista disposa d'una corda indeformable, una politja i un arbre situat a $15\ \text{m}$ davant del cotxe, però només pot exercir una força de tracció màxima de $400\ \text{N}$. (a) Analitza dos muntatges possibles amb la politja (Muntatge A: politja fixa ancorada a l'arbre; Muntatge B: politja mòbil ancorada al para-xocs del cotxe) i calcula la força motriu necessària i la tensió màxima que suportaria la corda en cada cas. (b) En comprovar que la tracció directa no és suficient, el socorrista tensa fermament la corda entre el cotxe i l'arbre i empeny lateralment al punt mitjà amb els seus $400\ \text{N}$, desviant el centre $y = 0{,}4\ \text{m}$ respecte a l'alineació original. Calcula mitjançant descomposició de forces la tensió transmesa a l'enganxall del cotxe i determina si aconsegueix moure'l. (c) Justifica quin inconvenient cinemàtic presenta aquest mètode a mesura que el vehicle avança i com s'ha d'operar.

Una micropinça quirúrgica robotitzada utilitza una palanca de 3r gènere per manipular teixits delicats que pateixen necrosi si la força de pressió supera $0{,}8\ \text{N}$. La pinça fa $10\ \text{cm}$ des de l'eix de gir fins a la punta d'agafada. L'actuador piezoelèctric empeny perpendicularment a només $1\ \text{cm}$ de l'eix de gir, amb una resolució d'avanç lineal de $\pm 0{,}02\ \text{mm}$ i una tolerància en força de $\pm 0{,}1\ \text{N}$. (a) Calcula la força que ha d'aplicar l'actuador quan la pinça exerceix exactament el límit segur de $0{,}8\ \text{N}$ al teixit. (b) Determina la relació de transmissió de desplaçaments (avantatge cinemàtic) i calcula l'avanç mínim que experimenta l'extrem de la pinça amb cada pas de l'actuador. (c) Un dissenyador novell suggereix canviar la micropinça a una palanca de 2n gènere per «estalviar potència del motor». Justifica per què la seva proposta arruïnaria la seguretat del procediment quirúrgic analitzant la sensibilitat del control de força i la precisió cinemàtica.

El sistema biomecànic de l'avantbraç humà actua com una palanca de 3r gènere: l'articulació del colze és el fulcre, el tendó del bíceps s'insereix a $4\ \text{cm}$ de l'eix articular amb un angle de tracció de $90^\circ$ quan l'avantbraç està horitzontal, i el centre de gravetat de l'avantbraç i la mà ($m_a = 1{,}5\ \text{kg}$) es troba a $14\ \text{cm}$ del colze. Una persona sosté a la mà una càrrega de $8\ \text{kg}$ situada a $34\ \text{cm}$ del colze ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). (a) Modela l'equilibri rotacional i calcula la força de contracció que ha d'exercir el bíceps, així com la força de compressió articular que suporta el cartílag del colze. (b) Si el bíceps s'escurça a una velocitat constant de $4\ \text{cm/s}$, determina la velocitat lineal ascendent de la càrrega a la mà i la potència mecànica instantània que lliura el múscul. (c) Rebat biomecànicament l'afirmació que «el cos humà estaria més ben dissenyat si el bíceps s'ancoratgés a prop del canell per no haver de fer forces musculars tan desproporcionades», analitzant el rang angular, la velocitat distal i el volum corporal requerit.