Engranatges, corretges i cadenes

Explica què és la relació de transmissió $i$ en un sistema de dos engranatges i escriu la seva fórmula $i = \frac{Z_1}{Z_2}$, indicant què representa $Z_1$ i què representa $Z_2$.

Dos engranatges en contacte giren en sentits contraris. Explica per què passa això i què podries afegir al sistema si necessites que la sortida giri en el mateix sentit que l'entrada (una roda intermèdia).

Un motor porta un pinyó de $Z_1 = 20$ dents que engrana amb una roda de $Z_2 = 60$ dents. (a) Calcula la relació de transmissió $i = \frac{Z_1}{Z_2}$. (b) Si el motor gira a $120\ \text{rpm}$, calcula la velocitat de gir de la roda de sortida, sabent que $n_2 = n_1 \cdot i$. (c) Indica si es tracta d'un sistema reductor o multiplicador i justifica-ho.

Explica una diferència pràctica entre transmetre amb corretja i amb cadena (lliscament, soroll, manteniment) i raona per què la distribució d'un motor de cotxe es fa amb cadena o amb corretja dentada, mai amb una corretja llisa.

Compara engranatges, corretja amb politges i cadena amb plat i pinyó: indica un avantatge i un inconvenient de cada sistema (precisió, lliscament, manteniment, soroll, distància entre eixos...) i posa una aplicació real on destaqui cadascun.

Una politja de $D_1 = 8\ \text{cm}$ mou mitjançant una corretja una altra de $D_2 = 24\ \text{cm}$, amb el motor girant a $600\ \text{rpm}$. Calcula la relació de transmissió i la velocitat de la politja conduïda, i raona què passaria amb aquesta velocitat si la corretja patinés una mica (diferència respecte a un engranatge).

El mecanisme reductor de la figura forma part d'un cabestrant d'elevació accionat per un motor que gira a $2000\ \text{rpm}$ i lliura un parell útil de $1,8\ \text{Nm}$.

(a) Dedueix la relació de transmissió total $i_\text{total}$ i calcula justificadament la velocitat de gir (en $\text{rpm}$) i el parell torsor disponible a l'eix de sortida ($Z_4$), considerant un rendiment mecànic del reductor $\eta = 85\,\%$.

(b) Un tècnic sosté que seria més econòmic i senzill substituir aquest tren compost per un reductor simple d'una sola etapa (un pinyó i una roda) mantenint el pinyó motor $Z_1 = 10$. Si tots els engranatges empren un mòdul normalitzat $m = 2,5\ \text{mm}$, calcula el diàmetre primitiu que hauria de tenir aquesta roda conduïda única i rebat tècnicament la proposta del tècnic aportant almenys dos inconvenients constructius o cinemàtics enfront del muntatge actual.

(c) Determina raonadament el sentit de gir de la roda de sortida respecte al pinyó motor. Quina modificació cinemàtica mínima (sense alterar les velocitats ni desplaçar els eixos d'entrada i sortida) permetria invertir el sentit de rotació de la sortida?

Has de dissenyar el reductor de dues etapes d'engranatges cilíndrics per accionar el tambor d'una formigonera a $50\ \text{rpm}$ a partir d'un motor que gira a $1500\ \text{rpm}$.

Per limitacions de disseny del xassís i de fabricació, s'imposen les restriccions següents:

• Cap pinyó motor pot tenir menys de $14$ dents (per evitar interferència en el tallat) ni més de $22$ dents.

• Cap roda conduïda pot tenir més de $90$ dents per restriccions de volum de la carcassa.

• La relació de reducció per etapa ($i_k = Z_\text{conduïda} / Z_\text{conductora}$) no ha de superar $6:1$ per equilibrar les dimensions i els esforços entre etapes.

(a) Determina els nombres de dents enters ($Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$) que compleixin estrictament totes les restriccions anteriors i verifiquin la velocitat requerida al tambor (admet un error màxim de $\pm 2\,\%$, justificant-ho amb el càlcul de la velocitat real obtinguda).

(b) Si el motor subministra una potència d'$1,5\ \text{kW}$ i cada etapa d'engranatges té un rendiment mecànic $\eta_1 = 0,94$ i $\eta_2 = 0,96$, calcula el parell de torsió efectiu que el reductor lliura al tambor de la formigonera.

(c) Justifica tècnicament què passaria amb els esforços mecànics (parell de torsió i desgast) si un operari decidís intercanviar l'ordre de les etapes col·locant la de major reducció al principi en lloc de col·locar-la al final.

Un tren compost està format per $Z_1 = 12$ a l'entrada, que engrana amb $Z_2 = 48$; solidària a l'eix intermedi gira la roda $Z_3 = 12$, que engrana amb la roda final $Z_4 = 36$. Tots els engranatges són de mòdul $m = 2\ \text{mm}$ i el motor gira a $1800\ \text{rpm}$.

(a) Després d'una avaria a l'eix intermedi, un tècnic suggereix intercanviar la posició de les rodes $Z_2$ i $Z_3$ en aquest eix (de manera que $Z_1$ engrani amb $Z_3$ i $Z_2$ engrani amb $Z_4$) mantenint invariables les posicions dels eixos. Demostra quantitativament, calculant les distàncies entre centres teòriques d'ambdues etapes, si la proposta del tècnic és geomètricament viable o si causarà joc/bloqueig mecànic.

(b) Si en lloc d'intercanviar-les es decideix desacoblar completament l'eix intermedi i connectar directament el pinyó motor $Z_1$ amb la roda de sortida $Z_4$ ajustant la distància entre eixos, calcula la nova relació de transmissió total i raona com es veurien afectats el parell útil de sortida i el sentit de rotació respecte al muntatge original.

Un tren simple d'engranatges sobre un bastidor fix consta de tres rodes engranades en línia recta: pinyó motor $Z_1 = 14$, roda intermèdia boja $Z_2 = 42$ i roda conduïda de sortida $Z_3 = 28$, totes de mòdul $m = 2\text{ mm}$.

(a) Un operari afirma que si es canvia la roda intermèdia per una altra de $Z'_2 = 21$ dents, la roda de sortida girarà al doble de velocitat i lliurarà la meitat de parell. Rebat rigorosament aquesta afirmació deduint l'expressió algebraica de la relació de transmissió total i justificant el paper de la roda intermèdia en la cinemàtica i en el parell del sistema.

(b) Si els eixos del motor ($Z_1$) i de la sortida ($Z_3$) estan rígidament fixats al bastidor a una distància entre centres de $126\text{ mm}$, demostra quantitativament si és físicament possible substituir $Z_2$ per $Z'_2$ sense recol·locar els eixos, calculant les distàncies entre centres que exigiria la nova roda.

(c) Determina la relació entre el sentit de gir de l'entrada i la sortida en aquest tren. Generalitza deduint quina condició matemàtica ha de complir el nombre total de rodes $N$ en un tren simple perquè l'eix de sortida giri en sentit contrari a l'eix motor.