Exercicis: Engranatges, corretges i cadenes

Explica què és la relació de transmissió $i$ en un sistema de dos engranatges i escriu la seva fórmula $i = \frac{Z_1}{Z_2}$, indicant què representa $Z_1$ i què representa $Z_2$.

En una bicicleta, els plats estan units als pedals i els pinyons a la roda del darrere, connectats per la cadena. Explica quina combinació tries (plat gran o petit, pinyó gran o petit) si vols avançar molt amb cada volta de pedal, i quina combinació tries per pujar una pujada costeruda, raonant les teves respostes.

La figura mostra dos engranatges dentats en contacte: el d'entrada té $Z_1 = 12$ dents i el de sortida $Z_2 = 36$ dents, i el d'entrada gira en el sentit de la fletxa, tal com es mostra a la figura.

Sense fer càlculs, raona: (a) gira l'engranatge de sortida més de pressa o més a poc a poc que el d'entrada? (b) En el mateix sentit o en sentit contrari? (c) Quantes voltes fa l'engranatge de sortida per cada volta completa del d'entrada?

Explica què és un pinyó i en què es distingeix de la roda dentada amb la qual engrana (mida, nombre de dents i paper en la transmissió).

Dos engranatges en contacte giren en sentits contraris. Explica per què passa això i què podries afegir al sistema si necessites que la sortida giri en el mateix sentit que l'entrada (una roda intermèdia).

Anomena les peces que formen la transmissió per cadena d'una bicicleta (plat, cadena, pinyons, desviadors) i explica la funció de cadascuna en una frase.

Explica una diferència pràctica entre transmetre amb corretja i amb cadena (lliscament, soroll, manteniment) i raona per què la distribució d'un motor de cotxe es fa amb cadena o amb corretja dentada, mai amb una corretja llisa.

Un trepant porta un reductor d'engranatges entre el motor i el portabroques. Explica què fa aquest reductor amb la velocitat i amb el parell de gir, i per què el trepant no porta el motor connectat directament a la broca.

Un motor porta un pinyó de $Z_1 = 20$ dents que engrana amb una roda de $Z_2 = 60$ dents. (a) Calcula la relació de transmissió $i = \frac{Z_1}{Z_2}$. (b) Si el motor gira a $120\ \text{rpm}$, calcula la velocitat de gir de la roda de sortida, sabent que $n_2 = n_1 \cdot i$. (c) Indica si es tracta d'un sistema reductor o multiplicador i justifica-ho.

Una politja de $D_1 = 10\ \text{cm}$ de diàmetre, unida a un motor que gira a $900\ \text{rpm}$, mou mitjançant una corretja una politja de $D_2 = 30\ \text{cm}$. Sabent que en politges $i = \frac{D_1}{D_2}$ i que $n_2 = n_1 \cdot i$, calcula la relació de transmissió i la velocitat de la politja conduïda, amb les seves unitats.

Compara engranatges, corretja amb politges i cadena amb plat i pinyó: indica un avantatge i un inconvenient de cada sistema (precisió, lliscament, manteniment, soroll, distància entre eixos...) i posa una aplicació real on destaqui cadascun.

En un sistema reductor, el que es perd en velocitat es guanya en parell (idealment, el parell de sortida és el parell d'entrada dividit entre la relació de transmissió). Un motor dona un parell de $2\ \text{N} \cdot \text{m}$ a $900\ \text{rpm}$ i mou un reductor de $i = \frac{1}{3}$. (a) Calcula la velocitat de sortida. (b) Calcula el parell disponible a la sortida. (c) Utilitzant aquest resultat, explica per què un cargol molt collat s'afluixa millor amb la marxa lenta del trepant que amb la ràpida.

Es necessita que un eix giri a $200\ \text{rpm}$ disposant d'un motor de $1200\ \text{rpm}$. Calcula la relació de transmissió necessària i proposa un parell d'engranatges concret (amb nombres de dents enters) que l'aconsegueixi, comprovant numèricament la teva proposta.

Una politja de $D_1 = 8\ \text{cm}$ mou mitjançant una corretja una altra de $D_2 = 24\ \text{cm}$, amb el motor girant a $600\ \text{rpm}$. Calcula la relació de transmissió i la velocitat de la politja conduïda, i raona què passaria amb aquesta velocitat si la corretja patinés una mica (diferència respecte a un engranatge).

Un ventilador industrial necessita girar més ràpid que el seu motor, així que es munta un multiplicador: l'entrada porta $Z_1 = 60$ dents i la sortida $Z_2 = 20$ dents. Calcula la relació de transmissió i la velocitat de sortida si el motor gira a $50\ \text{rpm}$, i esmenta un altre aparell que utilitzi un multiplicador de velocitat.

Una bicicleta porta un plat de 50 dents i un pinyó de 25 dents. (a) Calcula quantes voltes fa la roda del darrere per cada volta completa de pedal. (b) Si la roda té una circumferència de $2\ \text{m}$, calcula quants metres avança la bicicleta per volta de pedal. (c) Raona què canvia en passar a un pinyó de 20 dents, mantenint el plat.

El mecanisme reductor de la figura forma part d'un cabestrant d'elevació accionat per un motor que gira a $2000\ \text{rpm}$ i lliura un parell útil de $1,8\ \text{Nm}$.

(a) Dedueix la relació de transmissió total $i_\text{total}$ i calcula justificadament la velocitat de gir (en $\text{rpm}$) i el parell torsor disponible a l'eix de sortida ($Z_4$), considerant un rendiment mecànic del reductor $\eta = 85\,\%$.

(b) Un tècnic sosté que seria més econòmic i senzill substituir aquest tren compost per un reductor simple d'una sola etapa (un pinyó i una roda) mantenint el pinyó motor $Z_1 = 10$. Si tots els engranatges empren un mòdul normalitzat $m = 2,5\ \text{mm}$, calcula el diàmetre primitiu que hauria de tenir aquesta roda conduïda única i rebat tècnicament la proposta del tècnic aportant almenys dos inconvenients constructius o cinemàtics enfront del muntatge actual.

(c) Determina raonadament el sentit de gir de la roda de sortida respecte al pinyó motor. Quina modificació cinemàtica mínima (sense alterar les velocitats ni desplaçar els eixos d'entrada i sortida) permetria invertir el sentit de rotació de la sortida?

Has de dissenyar el reductor de dues etapes d'engranatges cilíndrics per accionar el tambor d'una formigonera a $50\ \text{rpm}$ a partir d'un motor que gira a $1500\ \text{rpm}$.

Per limitacions de disseny del xassís i de fabricació, s'imposen les restriccions següents:

• Cap pinyó motor pot tenir menys de $14$ dents (per evitar interferència en el tallat) ni més de $22$ dents.

• Cap roda conduïda pot tenir més de $90$ dents per restriccions de volum de la carcassa.

• La relació de reducció per etapa ($i_k = Z_\text{conduïda} / Z_\text{conductora}$) no ha de superar $6:1$ per equilibrar les dimensions i els esforços entre etapes.

(a) Determina els nombres de dents enters ($Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$) que compleixin estrictament totes les restriccions anteriors i verifiquin la velocitat requerida al tambor (admet un error màxim de $\pm 2\,\%$, justificant-ho amb el càlcul de la velocitat real obtinguda).

(b) Si el motor subministra una potència d'$1,5\ \text{kW}$ i cada etapa d'engranatges té un rendiment mecànic $\eta_1 = 0,94$ i $\eta_2 = 0,96$, calcula el parell de torsió efectiu que el reductor lliura al tambor de la formigonera.

(c) Justifica tècnicament què passaria amb els esforços mecànics (parell de torsió i desgast) si un operari decidís intercanviar l'ordre de les etapes col·locant la de major reducció al principi en lloc de col·locar-la al final.

Un vehicle de massa $1200\ \text{kg}$ munta rodes de radi efectiu $R = 0,30\ \text{m}$. El seu motor lliura una potència útil màxima constant en règim de $3000$ a $4500\ \text{rpm}$, però el seu parell decau notablement a baixes revolucions.

(a) Per arrencar en un pendent pronunciat, es calcula que les rodes motrius requereixen una força de tracció tangencial de $3600\ \text{N}$. Determina el parell torsor necessari a l'eix de les rodes i dedueix la relació de transmissió total mínima requerida en 1a marxa ($i_1 = \omega_\text{roda} / \omega_\text{motor}$) si el motor inicia l'arrencada a $2000\ \text{rpm}$ lliurant un parell motor de $180\ \text{Nm}$, considerant un rendiment global de la transmissió $\eta = 88\,\%$.

(b) Si es mantingués fixa aquesta mateixa relació de transmissió calculada a (a) en circular per una autopista plana a $120\ \text{km/h}$, a quantes $\text{rpm}$ es veuria forçat a girar el motor? Interpreta el resultat i justifica tècnicament i termodinàmicament per què és imprescindible una caixa amb múltiples relacions de canvi (incloent-hi marxes llargues com la 5a) en comptes d'una transmissió de relació fixa.

Un tren compost està format per $Z_1 = 12$ a l'entrada, que engrana amb $Z_2 = 48$; solidària a l'eix intermedi gira la roda $Z_3 = 12$, que engrana amb la roda final $Z_4 = 36$. Tots els engranatges són de mòdul $m = 2\ \text{mm}$ i el motor gira a $1800\ \text{rpm}$.

(a) Després d'una avaria a l'eix intermedi, un tècnic suggereix intercanviar la posició de les rodes $Z_2$ i $Z_3$ en aquest eix (de manera que $Z_1$ engrani amb $Z_3$ i $Z_2$ engrani amb $Z_4$) mantenint invariables les posicions dels eixos. Demostra quantitativament, calculant les distàncies entre centres teòriques d'ambdues etapes, si la proposta del tècnic és geomètricament viable o si causarà joc/bloqueig mecànic.

(b) Si en lloc d'intercanviar-les es decideix desacoblar completament l'eix intermedi i connectar directament el pinyó motor $Z_1$ amb la roda de sortida $Z_4$ ajustant la distància entre eixos, calcula la nova relació de transmissió total i raona com es veurien afectats el parell útil de sortida i el sentit de rotació respecte al muntatge original.

L'eix d'un motor de $6000\ \text{rpm}$ i $450\ \text{W}$ de potència ha d'accionar les fulles d'un processador industrial d'aliments a $600\ \text{rpm}$.

(a) Dissenya un tren reductor de dues etapes amb rodes dentades cilíndriques de mòdul $m = 1,5\ \text{mm}$ que compleixi exactament aquesta relació de transmissió sota les següents especificacions constructives:

• Cap pinyó conductor ($Z_1, Z_3$) pot tenir menys de $15$ dents (per evitar interferència).

• El diàmetre primitiu de cap de les rodes conduïdes ($Z_2, Z_4$) no pot superar els $80\ \text{mm}$.

• Comprova numèricament la teva combinació de dents ($Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$) i la velocitat resultant.

(b) Calcula el parell torsor teòric disponible a les fulles (assumint pèrdues menyspreables) i justifica numèricament per què un disseny d'una sola etapa amb el mateix pinyó d'entrada $Z_1$ resultaria inadmissible per a la carcassa cilíndrica de l'aparell.

Una bicicleta disposa de dos plats ($P_1 = 50\ \text{dents}$ i $P_2 = 34\ \text{dents}$) i un casset de pinyons posteriors amb $Z = [11, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32]$ dents. El diàmetre exterior de la roda amb pneumàtic és $D = 680\ \text{mm}$.

(a) Calcula el desenvolupament mètric (metres avançats per cada pedalada completa) per a les dues combinacions de màxima «cadena creuada»: plat gran amb pinyó gran ($50 \times 32$) i plat petit amb pinyó petit ($34 \times 11$).

(b) Troba a la transmissió una combinació alternativa «no creuada» per a cadascun dels dos casos anteriors que proporcioni un desenvolupament equivalent amb una discrepància inferior al $5\,\%$. Justifica la teva resposta mitjançant els càlculs comparatius.

(c) Explica, mitjançant l'anàlisi de forces i de contacte entre baula i dent, per què el desalineament angular sever propi de l'encreuament de cadena provoca una caiguda del rendiment energètic del ciclista i un increment dràstic del desgast als flancs de les dents i als passadors de la cadena.

Per accionar el tambor d'un muntacàrregues de taller a $29\ \text{rpm}$ a partir d'un motor elèctric de $1450\ \text{rpm}$ i parell útil de $20\ \text{Nm}$, l'equip tècnic valora dues alternatives de reducció:

• Opció A: Un reductor de dues etapes amb engranatges helicoidals (rendiment total $\eta_A = 0,94$).

• Opció B: Un reductor de caragol sense fi d'un filet ($z_1 = 1$) i corona de $z_2 = 50$ dents (rendiment mecànic $\eta_B = 0,45$).

(a) Analitza críticament què passarà en cada cas si, estant la càrrega suspesa a mitja alçada, es produeix un tall elèctric imprevist al motor sense que actuï un fre secundari. Justifica en quina condició geomètrica o tribològica es fonamenta el comportament de l'opció autoblocant.

(b) Calcula el parell torsor disponible a l'eix del tambor en ambdues opcions i raona el compromís (trade-off) entre seguretat operativa i eficiència energètica que ha de sospesar el projectista en triar entre A i B.

(c) Pel que fa a l'Opció A, justifica per què els engranatges helicoidals són més silenciosos que els rectes per a aquesta aplicació i explica quin esforç paràsit sobre els suports de l'eix introdueixen i com se soluciona habitualment sense perdre els seus avantatges acústics.

Un tren simple d'engranatges sobre un bastidor fix consta de tres rodes engranades en línia recta: pinyó motor $Z_1 = 14$, roda intermèdia boja $Z_2 = 42$ i roda conduïda de sortida $Z_3 = 28$, totes de mòdul $m = 2\text{ mm}$.

(a) Un operari afirma que si es canvia la roda intermèdia per una altra de $Z'_2 = 21$ dents, la roda de sortida girarà al doble de velocitat i lliurarà la meitat de parell. Rebat rigorosament aquesta afirmació deduint l'expressió algebraica de la relació de transmissió total i justificant el paper de la roda intermèdia en la cinemàtica i en el parell del sistema.

(b) Si els eixos del motor ($Z_1$) i de la sortida ($Z_3$) estan rígidament fixats al bastidor a una distància entre centres de $126\text{ mm}$, demostra quantitativament si és físicament possible substituir $Z_2$ per $Z'_2$ sense recol·locar els eixos, calculant les distàncies entre centres que exigiria la nova roda.

(c) Determina la relació entre el sentit de gir de l'entrada i la sortida en aquest tren. Generalitza deduint quina condició matemàtica ha de complir el nombre total de rodes $N$ en un tren simple perquè l'eix de sortida giri en sentit contrari a l'eix motor.

Repte del tema. Com optimitzaries la transmissió mecànica d'una bicicleta per millorar el teu esforç en els trajectes diaris? En aquest repte analitzaràs i milloraràs el sistema cinemàtic d'una bicicleta domèstica o de lloguer urbà.

1. Presa de dades reals: Compta les dents del plat gran i petit ($Z_1$), així com del pinyó més gran i més petit ($Z_2$). Mesura amb un regle o cinta mètrica la longitud de la biela (palanca) i el radi de la roda del darrere ($R$, en metres).

2. Anàlisi cinemàtica: A LibreOffice Calc, tabula i calcula les relacions de transmissió ($i = Z_1 / Z_2$), l'avantatge mecànic de la palanca biela-pedal i l'avanç lineal per pedalada ($d = 2\pi R \cdot i$, emprant $\pi \approx 3,14$). Representa gràficament l'avanç segons la combinació de marxes.

3. Proposta tècnica raonada: Imagina que has d'afrontar una rampa urbana del $7,5\,\%$. Proposa un redisseny del sistema (variació de dents en plats/pinyons o inclusió d'una politja tensora/reductora) que augmenti l'avantatge mecànic un $25\,\%$ mantenint una cadència còmoda.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades empíriques i càlcul de paràmetres ($i$, moments i avanços).

• Ús adequat de LibreOffice Calc per modelitzar i graficar el mecanisme.

• Coherència tècnica i justificació cinemàtica en la proposta de redisseny.