Nozione di probabilità

Esiti ed eventi

Un esperimento aleatorio è una prova il cui risultato dipende dal caso: lanciare un dado, estrarre una carta, lanciare una moneta. Ogni possibile risultato è un esito. L'insieme di tutti gli esiti è lo spazio degli esiti $\Omega$.

Un evento è un sottoinsieme di $\Omega$: l'insieme degli esiti che ci interessano.

Esempio: lancio un dado a sei facce. $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. L'evento «esce un numero pari» è $A = \{2; 4; 6\}$.

La probabilità classica

Se tutti gli esiti sono ugualmente possibili (dado equilibrato, moneta non truccata, pallina estratta «a caso»), la probabilità di un evento è la quota di esiti favorevoli.

Perché funziona? Se i casi possibili sono $n$ e hanno tutti la stessa «chance», ognuno pesa $\frac{1}{n}$; un evento con $k$ esiti favorevoli pesa $k \cdot \frac1n$.

Contare tutti gli esiti

Quando l'esperimento ha più passi (due dadi, tre lanci di moneta, due estrazioni) bisogna elencare gli esiti in modo ordinato: con una tabella o con un diagramma ad albero.

Per i due dadi la tabella ha $6 \cdot 6 = 36$ caselle, ciascuna una coppia (primo; secondo).

La somma $7$ compare $6$ volte su $36$: $p = \frac{6}{36} = \frac16$.

Regola utile: se un primo passo ha $m$ esiti e un secondo passo ha $n$ esiti, in tutto ci sono $m \cdot n$ esiti. Per tre lanci di moneta: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Evento contrario e unione di eventi

L'evento contrario (o complementare) di $A$, indicato con $\overline{A}$, accade quando $A$ non accade. Ogni esito sta in $A$ oppure in $\overline{A}$, quindi:

Spesso conviene: «almeno una croce in tre lanci» è il contrario di «nessuna croce» (solo $TTT$), perciò $p = 1 - \frac18 = \frac78$.

Per l'unione $A \cup B$ (accade $A$ oppure $B$) e l'intersezione $A \cap B$ (accadono entrambi) vale:

Perché si sottrae? Gli esiti di $A \cap B$ sono contati due volte, una in $A$ e una in $B$: vanno tolti una volta. È la stessa idea delle operazioni tra insiemi: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$; dividendo per $|\Omega|$ si ottiene la formula.

Estrazioni e giochi equi

Quando si estraggono più palline da un'urna conta se la pallina viene rimessa dentro:

• con reinserimento: l'urna non cambia, ad ogni estrazione gli esiti possibili sono gli stessi;

• senza reinserimento: dopo la prima estrazione l'urna ha una pallina in meno.

Un gioco è equo se i due giocatori hanno la stessa probabilità di vincere, cioè $\frac12$ ciascuno.

Riprendi il problema iniziale: con il prodotto il risultato cambia. Il prodotto è dispari solo se entrambi i punteggi sono dispari ($3 \cdot 3 = 9$ esiti su $36$), quindi il prodotto è pari in $27$ casi su $36$: $\frac{27}{36}=\frac34$. Il gioco non è equo: Giulia ha probabilità $\frac34$ di lavare i piatti (prodotto pari), Marco solo $\frac14$ (prodotto dispari).

In sintesi

• Spazio degli esiti $\Omega$ ed evento (sottoinsieme di $\Omega$): se gli esiti sono equiprobabili, $p(A)=\dfrac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$, con $0\le p\le1$.

• Per contare gli esiti usa tabelle e diagrammi ad albero; con più passi gli esiti si moltiplicano.

• Evento contrario: $p(\overline A)=1-p(A)$.

• Unione: $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$; se incompatibili, basta la somma.

• Con reinserimento l'urna non cambia, senza reinserimento sì: ricalcola gli esiti.

• Un gioco è equo se i due giocatori hanno probabilità $\frac12$ di vincere.