Approssimazione ed errori
Un video con 3.894.215 visualizzazioni compare nell'app come «3,9 M». La tua bilancia segna 58,4 kg, anche se il tuo peso vero ha più cifre decimali. E nessuno paga 2,3456 € al distributore. Usiamo di continuo numeri approssimati. La domanda importante è: di quanto stiamo sbagliando?
Troncamento e arrotondamento
Ci sono due modi per tenere meno cifre:
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Troncare: si taglia e basta. $\pi = 3{,}14159\ldots$ troncato ai centesimi è $3{,}14$. È un'approssimazione per difetto.
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Arrotondare: si prende il valore più vicino. Guarda la prima cifra che elimini: se è 5 o più, aggiungi 1 all'ultima cifra che conservi (approssimazione per eccesso); se è minore di 5, la lasci uguale (per difetto).
Muovi il cursore e confronta troncamento e arrotondamento. Nota che l'errore di arrotondamento è al massimo mezza unità dell'ordine a cui arrotondi: passando da 2,35 a 2,4, l'errore è esattamente 0,05.
Sul display della tua calcolatrice compare il numero irrazionale $\sqrt{10} = 3,16227766...$ Copia la seguente tabella sul tuo quaderno e completala eseguendo le…
Sul display della tua calcolatrice compare il numero irrazionale $\sqrt{10} = 3,16227766...$
Copia la seguente tabella sul tuo quaderno e completala eseguendo le approssimazioni indicate per quel numero:
| Tipo di approssimazione | Alle unità | Ai decimi | Ai centesimi | Ai millesimi |
|---|---|---|---|---|
| Per troncamento | ||||
| Per arrotondamento |
Sei andato al supermercato a comprare gli ingredienti per una cena. I prezzi reali dei prodotti sono: Pasta: 1,85 € Passata di pomodoro: 2,15 € Formaggio grattugiato:…
Sei andato al supermercato a comprare gli ingredienti per una cena. I prezzi reali dei prodotti sono:
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Pasta: 1,85 €
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Passata di pomodoro: 2,15 €
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Formaggio grattugiato: 3,48 €
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Bibita: 1,25 €
- a) Fai una stima rapida del costo totale arrotondando ogni prezzo alle unità prima di sommare.
- b) Calcola la somma esatta dei prezzi.
- c) Calcola la differenza (errore assoluto) tra la tua stima e il prezzo reale. Pensi che sia stata una buona stima per sapere se avevi 10 € in tasca?
Cifre significative
Le cifre significative sono quelle che danno informazione sulla precisione. Scrivendo 3.894.215 come «3,9 milioni» usiamo 2 cifre significative.
Un famoso streamer* ha pubblicato un video che ha esattamente 3.894.215 visualizzazioni. a) Scrivi questa quantità arrotondata ai milioni. b) Scrivi la quantità…
Un famoso streamer ha pubblicato un video che ha esattamente 3.894.215 visualizzazioni.
- a) Scrivi questa quantità arrotondata ai milioni.
- b) Scrivi la quantità arrotondata alle centinaia di migliaia.
- c) Quante cifre significative hai utilizzato nel punto b?
Marco afferma in classe di matematica che le quantità $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ hanno esattamente lo stesso numero di cifre significative perché «gli zeri non…
Marco afferma in classe di matematica che le quantità $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ hanno esattamente lo stesso numero di cifre significative perché «gli zeri non danno valore ed entrambi i numeri si riducono a 35». Inoltre, sostiene che in $0,0350\text{ m}$ lo strumento ha misurato con precisione alle unità perché non conta i decimali.
- a) Spiega con ragionamenti i due errori concettuali che commette Marco sulla funzione degli zeri.
- b) Indica il numero corretto di cifre significative di ciascuna delle due misure, giustificando il ruolo di ogni zero.
- c) Se la misura $0,0350\text{ m}$ è stata ottenuta con uno strumento la cui ultima cifra indica la sensibilità della lettura, qual è il limite dell'errore assoluto (la metà dell'unità dell'ultima cifra) commesso nella misurazione?
In ambito scientifico e tecnologico è fondamentale sapere con quale precisione stiamo lavorando. Arrotonda i seguenti numeri a tre cifre significative: a) Il numero di…
In ambito scientifico e tecnologico è fondamentale sapere con quale precisione stiamo lavorando. Arrotonda i seguenti numeri a tre cifre significative:
- a) Il numero di visualizzazioni di un video virale: $14\,592\,301$.
- b) La massa di una particella di polvere: $0,00040961$ grammi.
- c) Il numero $\pi$: $3,141592...$
- d) La capacità di un disco rigido in byte: $1\,024\,576\,000$.
Poi esprimi ogni risultato usando la notazione scientifica.
Errore assoluto e errore relativo
Sbagli di 1 cm misurando il tuo banco e di 1 cm misurando lo spessore di una moneta. L'errore è lo stesso… o no? Sul banco è una sciocchezza; sulla moneta è un disastro. Per questo esistono due tipi di errore.
Limite dell'errore
Spesso non conosci il valore esatto, ma conosci la precisione dello strumento. Se una bilancia arrotonda ai 100 grammi e segna 58,4 kg, il valore prima dell'arrotondamento sta tra 58,35 e 58,45 kg. L'errore assoluto è al massimo mezza unità dell'ultima cifra: $E_a \le 0{,}05$ kg. Questo è un limite dell'errore (errore massimo). Vale solo per l'arrotondamento: uno strumento reale può avere anche altri errori.
Allo stesso modo, un numero arrotondato alle migliaia, come 25.000, sta nell'intervallo $[24.500; 25.500[$.
Puoi anche usare il limite dell'errore al contrario: se vuoi che l'errore assoluto sia minore di un valore dato, scegli l'ordine di approssimazione in modo che mezza unità dell'ultima cifra sia minore di quel valore. Non serve scrivere tutte le cifre.
Limite dell'errore in un calcolo
Se usi numeri approssimati in un'operazione, anche il risultato è approssimato. Per trovare il suo limite dell'errore, calcola il valore minimo e il valore massimo che il risultato può assumere, usando i limiti di ciascun dato. Poi guarda quanto il risultato si allontana dal valore calcolato. Per una media di due numeri, i limiti dell'errore dei dati si combinano e poi si dividono per 2. L'errore relativo si ottiene dividendo il limite dell'errore assoluto per il risultato.
Limite dell'errore in un prodotto
Nel prodotto di misure positive conviene calcolare il valore minimo e il valore massimo usando gli estremi dei dati: il risultato sta tra il prodotto dei minimi e il prodotto dei massimi. Nel quoziente $\frac{A}{B}$, invece, il minimo è $\frac{A_{min}}{B_{max}}$ e il massimo è $\frac{A_{max}}{B_{min}}$. Il limite dell'errore assoluto è il massimo scarto di questi due valori dal risultato calcolato; quello relativo si ottiene dividendo per il risultato.
Se un dato è un numero irrazionale come una radice quadrata, calcola il valore esatto con la regola $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (per $a, b \ge 0$) e poi confrontalo con il valore ottenuto dai dati approssimati.
Nelle operazioni combinate, come $\frac{A+B}{2}$, procedi per passi: prima il limite della somma (i limiti si sommano), poi la divisione per $2$ divide anche il limite dell'errore assoluto.
Misurando la lunghezza della tua scrivania, il valore reale di fabbrica è di 120 cm. Tu usi un metro a nastro e ottieni una misura di 119 cm. a) Calcola l'errore…
Misurando la lunghezza della tua scrivania, il valore reale di fabbrica è di 120 cm. Tu usi un metro a nastro e ottieni una misura di 119 cm.
- a) Calcola l'errore assoluto ($E_a$) commesso nella tua misurazione. Ricorda che l'errore assoluto è la differenza in valore positivo tra il valore reale e quello approssimato: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
- b) Se il tuo compagno misura il corridoio della scuola, che misura realmente 5000 cm, e ottiene 4999 cm, il suo errore assoluto è di 1 cm, uguale al tuo. Significa questo che entrambe le misurazioni hanno la stessa precisione? Motiva la tua risposta (puoi basarti sul concetto di errore relativo).
Calcola l'errore relativo commesso nelle seguenti approssimazioni e indica quale di esse è la peggiore (quella con il maggiore errore relativo): a) Approssimare la…
Calcola l'errore relativo commesso nelle seguenti approssimazioni e indica quale di esse è la peggiore (quella con il maggiore errore relativo):
- a) Approssimare la frazione $\frac{1}{3}$ con $0,33$.
- b) Approssimare il numero $\sqrt{2}$ con $1,41$.
- c) Approssimare un preventivo di $150.000$ € con $140.000$ €.
Le bilance pesapersone digitali hanno di solito una precisione di $100$ grammi ($0,1$ kg). Questo significa che se la bilancia indica $54,2$ kg, il peso reale potrebbe…
Le bilance pesapersone digitali hanno di solito una precisione di $100$ grammi ($0,1$ kg). Questo significa che se la bilancia indica $54,2$ kg, il peso reale potrebbe essere un po' superiore o un po' inferiore, ma arrotondato a quel decimale.
- a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali per un peso misurato di $54,2$ kg.
- b) Qual è il limite dell'errore assoluto di questa bilancia?
Il tachimetro digitale di una bicicletta indica la velocità con un solo decimale. In un dato momento indica $24,5 \text{ km/h}$. Sappiamo che questo apparecchio…
Il tachimetro digitale di una bicicletta indica la velocità con un solo decimale. In un dato momento indica $24,5 \text{ km/h}$.
Sappiamo che questo apparecchio approssima per arrotondamento al decimo più vicino.
- a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali in cui si trova la velocità esatta della bicicletta. Cioè, qual è la velocità minima e massima che potrebbe avere il ciclista perché l'apparecchio indichi 24,5?
- b) Se il ciclista mantiene quella velocità per esattamente 2 ore, qual è la differenza massima in chilometri (limite dell'errore assoluto) tra la distanza calcolata con il valore 24,5 e la distanza reale possibile?
Torniamo all'inizio: nel video con 3.894.215 visualizzazioni mostrato come 3,9 M (3.900.000), l'errore assoluto è di soli 5.785 visualizzazioni e l'errore relativo è $E_r = \frac{5.785}{3.894.215} \approx 0{,}0015 = 0{,}15\%$: un errore trascurabile che rende molto più semplice leggere i dati.