Insiemi e operazioni tra insiemi
Nella tua classe di 28 studenti c'è chi studia spagnolo, chi tedesco, chi entrambe le lingue e chi nessuna. Se sommi gli studenti di spagnolo e quelli di tedesco, ottieni più di 28? E se sì, perché? Per rispondere servono gli insiemi: un linguaggio semplice con cui la matematica descrive «gruppi di oggetti» e li confronta.
Che cos'è un insieme
Un insieme è una collezione di oggetti ben determinati, detti elementi: dato un oggetto, deve essere sempre chiaro se appartiene o no all'insieme. «I ragazzi simpatici della classe» non è un insieme (dipende dai gusti); «i ragazzi della classe nati a marzo» sì.
Ci sono tre modi per rappresentare un insieme.
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Elencazione: si scrivono gli elementi tra graffe, separati da virgole (o da punto e virgola): $A=\{2,4,6,8\}$. L'ordine non conta e un elemento non si ripete.
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Proprietà caratteristica: $A=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è pari e } x<10, x\neq 0\}$, da leggere «l'insieme degli $x$ naturali tali che…».
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Diagramma di Venn: una linea chiusa che racchiude gli elementi, rappresentati da punti.
Un insieme $B$ è sottoinsieme di $A$ ($B\subseteq A$) se ogni elemento di $B$ appartiene anche ad $A$. L'insieme vuoto e l'insieme stesso sono sempre sottoinsiemi di $A$. Ogni sottoinsieme diverso da $A$ è detto sottoinsieme proprio di $A$ (quindi anche $\varnothing$ è proprio, se $A\neq\varnothing$); $A$ stesso non lo è. Un insieme con $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi: per ogni elemento scegli «dentro» o «fuori», due possibilità, e le scelte si moltiplicano.
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi: a) $A=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è multiplo di } 4 \text{ e } x<30\}$ b)…
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:
- a) $A=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è multiplo di } 4 \text{ e } x<30\}$
- b) $B=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è divisore di } 36\}$
- c) $C=\{x\in\mathbb{Z} : -3 < x \le 2\}$
Dato $A=\{a,b,c\}$, scrivi tutti i sottoinsiemi di $A$ e indica quanti sono. Quanti sono i sottoinsiemi propri?
Dato $A=\{a,b,c\}$, scrivi tutti i sottoinsiemi di $A$ e indica quanti sono. Quanti sono i sottoinsiemi propri?
Unione, intersezione, differenza
Con due insiemi $A$ e $B$ si costruiscono nuovi insiemi.
Un esempio utile: i divisori di 12 sono $\{1,2,3,4,6,12\}$ e quelli di 18 sono $\{1,2,3,6,9,18\}$. L'intersezione è $\{1,2,3,6\}$ e il suo massimo, $6$, è il MCD. Le operazioni tra insiemi sono dunque legate a concetti che già conosci.
Le leggi di De Morgan collegano complementare, unione e intersezione: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ e $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. Non essere nell'unione significa non essere né in $A$ né in $B$.
Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{2,4,6,8,10\}$, determina: a) $A\cup B$ b) $A\cap B$ c) $A\setminus B$ d) $B\setminus A$
Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{2,4,6,8,10\}$, determina:
- a) $A\cup B$
- b) $A\cap B$
- c) $A\setminus B$
- d) $B\setminus A$
Siano $A$ l'insieme dei divisori di $24$ e $B$ l'insieme dei divisori di $36$. a) Scrivi $A$ e $B$ per elencazione. b) Determina $A\cap B$ e osserva quale numero è il…
Siano $A$ l'insieme dei divisori di $24$ e $B$ l'insieme dei divisori di $36$.
- a) Scrivi $A$ e $B$ per elencazione.
- b) Determina $A\cap B$ e osserva quale numero è il suo massimo elemento. A quale concetto è collegato?
- c) Determina $A\cup B$ e il numero dei suoi elementi.
Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$ l'insieme universo, $A$ l'insieme dei numeri pari e $B$ l'insieme dei multipli di $3$ in $U$. Determina: a) $\overline{A}$ (complementare di $A$…
Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$ l'insieme universo, $A$ l'insieme dei numeri pari e $B$ l'insieme dei multipli di $3$ in $U$. Determina:
- a) $\overline{A}$ (complementare di $A$ in $U$)
- b) $A\cap B$
- c) $\overline{A\cup B}$
- d) $\overline{A}\cap\overline{B}$ e confrontalo con il punto c). Cosa osservi?
Contare con i diagrammi di Venn
Torniamo alla classe di 28 studenti. Se sommi $|A|+|B|$ (con $|A|$ numero di elementi di $A$), chi sta in entrambi gli insiemi viene contato due volte. Per correggere si sottrae una volta l'intersezione.
Perché per tre insiemi si somma di nuovo l'ultimo termine? Chi sta in tutti e tre viene contato $3$ volte, tolto $3$ volte nelle intersezioni a due, quindi $0$: va rimesso una volta.
Per i problemi, parti sempre dal disegno e riempi dal centro verso l'esterno: prima l'intersezione di tutti, poi le intersezioni a due (togliendo la parte già scritta), infine le parti con un solo insieme e l'esterno.
In una classe di $28$ studenti del liceo di Siena, $17$ studiano spagnolo, $14$ studiano tedesco e $5$ non studiano nessuna delle due lingue. a) Quanti studenti studiano…
In una classe di $28$ studenti del liceo di Siena, $17$ studiano spagnolo, $14$ studiano tedesco e $5$ non studiano nessuna delle due lingue.
- a) Quanti studenti studiano entrambe le lingue?
- b) Quanti studiano solo spagnolo?
Un sondaggio su $120$ turisti a Venezia rileva: $70$ hanno visitato Palazzo Ducale (D), $60$ le isole della laguna (L), $50$ il Ponte di Rialto (R); $30$ hanno visitato…
Un sondaggio su $120$ turisti a Venezia rileva: $70$ hanno visitato Palazzo Ducale (D), $60$ le isole della laguna (L), $50$ il Ponte di Rialto (R); $30$ hanno visitato D e L, $25$ D e R, $20$ L e R; $10$ tutti e tre i luoghi.
- a) Quanti turisti hanno visitato almeno un luogo?
- b) Quanti non ne hanno visitato nessuno?
- c) Quanti hanno visitato esattamente un luogo?
Dimostra, con un diagramma di Venn e con un ragionamento sugli elementi, che per ogni coppia di insiemi finiti vale $|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$. Usa poi la…
Dimostra, con un diagramma di Venn e con un ragionamento sugli elementi, che per ogni coppia di insiemi finiti vale $|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$. Usa poi la formula per trovare $|A\cap B|$ sapendo che $|A|=23$, $|B|=19$ e $|A\cup B|=35$.
Dimostrare con gli insiemi
Per mostrare che due insiemi sono uguali si prova la doppia inclusione: $X=Y$ se $X\subseteq Y$ e $Y\subseteq X$. Per mostrare che un'affermazione è falsa basta un controesempio.
Siano $A$ e $B$ sottoinsiemi di un universo $U$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando con una dimostrazione o con un controesempio: a)…
Siano $A$ e $B$ sottoinsiemi di un universo $U$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando con una dimostrazione o con un controesempio:
- a) Se $A\subseteq B$, allora $A\cup B=B$.
- b) Se $A\cap B=\varnothing$, allora $A\subseteq\overline{B}$.
- c) $A\setminus B = B\setminus A$ per ogni $A$, $B$.
In sintesi
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Un insieme si rappresenta per elencazione, con proprietà caratteristica o con un diagramma di Venn; $\varnothing$ è l'insieme vuoto e un insieme di $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi.
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$\in$ lega elemento e insieme; $\subseteq$ lega due insiemi.
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$A\cup B$: «o»; $A\cap B$: «e»; $A\setminus B$: in $A$ ma non in $B$; $\overline{A}=U\setminus A$.
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De Morgan: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$, $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$.
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Conteggio: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$; con tre insiemi si aggiunge $|A\cap B\cap C|$.
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Per dimostrare un'uguaglianza: doppia inclusione; per negare: un controesempio.
Torniamo all'inizio: nella classe di 28 studenti, $17+14=31>28$ proprio perché chi studia entrambe le lingue è contato due volte; con $5$ studenti senza lingue, $|A\cup B|=23$ e $|A\cap B|=17+14-23=8$.