Congruenza dei triangoli e criteri
Hai due cartoncini a forma di triangolo e vuoi sapere se sono "lo stesso triangolo", cioè se sovrapponendoli coincidono perfettamente. Devi misurare tutti e sei gli elementi (tre lati e tre angoli)? Per fortuna no: ne bastano tre, scelti bene. Alla fine della pagina vedrai quali.
Ipotesi, tesi e dimostrazione
In geometria euclidea un teorema è un'affermazione che si può dimostrare a partire da definizioni, postulati e teoremi già noti. Ogni teorema si può scrivere nella forma «se… allora…».
Esempio: «Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti». Ipotesi: $\alpha$ e $\beta$ sono opposti al vertice. Tesi: $\alpha \cong \beta$.
Una buona dimostrazione inizia sempre da una figura, dalla scrittura di ipotesi e tesi con le lettere della figura, e poi procede per passi, ciascuno giustificato.
Distingui, in ciascuna proposizione, ipotesi e tesi: a) «Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.» b) «Se due angoli sono opposti al…
Distingui, in ciascuna proposizione, ipotesi e tesi:
- a) «Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.»
- b) «Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.»
Triangoli congruenti e i tre criteri
Due figure sono congruenti ($\cong$) se si possono sovrapporre con un movimento rigido (traslazione, rotazione, simmetria): hanno la stessa forma e le stesse dimensioni. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli. Gli elementi che coincidono nella sovrapposizione si dicono corrispondenti: a lati congruenti si oppongono angoli congruenti.
I criteri dicono che bastano tre elementi.
Perché proprio così? Nel primo criterio, fissati due lati e l'angolo tra loro, il terzo lato è obbligato a chiudere il triangolo: non c'è libertà. Lo stesso accade negli altri casi.
Enuncia i tre criteri di congruenza dei triangoli (primo, secondo e terzo criterio).
Enuncia i tre criteri di congruenza dei triangoli (primo, secondo e terzo criterio).
I triangoli $ABC$ e $DEF$ hanno $AB=DE=7\text{ cm}$, $AC=DF=5\text{ cm}$ e $\hat{A}=\hat{D}=50^\circ$. Sono congruenti? Indica il criterio applicato e scrivi quali sono…
I triangoli $ABC$ e $DEF$ hanno $AB=DE=7\text{ cm}$, $AC=DF=5\text{ cm}$ e $\hat{A}=\hat{D}=50^\circ$. Sono congruenti? Indica il criterio applicato e scrivi quali sono gli elementi corrispondenti rimanenti.
Dimostrare con i criteri
Il metodo tipico: per provare che due segmenti o due angoli sono congruenti, si cercano due triangoli congruenti che li contengano come elementi corrispondenti. Poi si applica un criterio.
Nel triangolo $ABC$ il punto $M$ è il punto medio di $BC$. Si prolunga la mediana $AM$ oltre $M$ di un segmento $MD$ congruente ad $AM$. a) Dimostra che i triangoli…
Nel triangolo $ABC$ il punto $M$ è il punto medio di $BC$. Si prolunga la mediana $AM$ oltre $M$ di un segmento $MD$ congruente ad $AM$.
- a) Dimostra che i triangoli $ABM$ e $DCM$ sono congruenti.
- b) Deduci che $AB=CD$.
Sia $ABC$ un triangolo isoscele sulla base $BC$ e siano $M$ il punto medio di $BC$. Dimostra che $AM$ è anche altezza e bisettrice dell'angolo al vertice $A$.
Sia $ABC$ un triangolo isoscele sulla base $BC$ e siano $M$ il punto medio di $BC$. Dimostra che $AM$ è anche altezza e bisettrice dell'angolo al vertice $A$.
Triangoli isosceli e quadrilateri
Dai criteri discendono proprietà importanti.
La prima parte segue dall'esempio sopra: $ABM\cong ACM$ implica $\hat B=\hat C$. Per un triangolo con angoli $\hat B=\hat C$, il criterio ALA applicato a se stesso "rovesciato" mostra che $AB=AC$.
Dimostra che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti.
Dimostra che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti.
Sia $ABCD$ un quadrilatero con $AB=CD$ e $AD=BC$. a) Dimostra che $\hat{A}=\hat{C}$ e $\hat{B}=\hat{D}$ tracciando la diagonale $BD$ e la diagonale $AC$. b) Spiega,…
Sia $ABCD$ un quadrilatero con $AB=CD$ e $AD=BC$.
- a) Dimostra che $\hat{A}=\hat{C}$ e $\hat{B}=\hat{D}$ tracciando la diagonale $BD$ e la diagonale $AC$.
- b) Spiega, usando gli angoli alterni interni, perché $ABCD$ è un parallelogramma.
Altezze, distanza punto-retta e triangoli rettangoli
L'altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta di quel lato. Il piede della perpendicolare è la proiezione ortogonale del vertice sul lato. La lunghezza di questo segmento è la distanza del punto dalla retta: è la più breve tra quelle che uniscono il punto ai punti della retta.
Sia $P$ un punto della bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$. Siano $H$ e $K$ le proiezioni ortogonali di $P$ sui lati $Ox$ e $Oy$. Dimostra che $PH=PK$.
Sia $P$ un punto della bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$. Siano $H$ e $K$ le proiezioni ortogonali di $P$ sui lati $Ox$ e $Oy$. Dimostra che $PH=PK$.
Sia $ABC$ un triangolo e siano $BD$ e $CE$ le altezze relative ai lati $AC$ e $AB$. Dimostra che, se $BD=CE$, allora il triangolo $ABC$ è isoscele sulla base $BC$.
Sia $ABC$ un triangolo e siano $BD$ e $CE$ le altezze relative ai lati $AC$ e $AB$. Dimostra che, se $BD=CE$, allora il triangolo $ABC$ è isoscele sulla base $BC$.
Torna all'inizio: per sapere se due cartoncini triangolari coincidono bastano tre misure, purché siano quelle giuste (LAL, ALA, LLL).
In sintesi
-
Due triangoli sono congruenti se si sovrappongono perfettamente; gli elementi che coincidono sono corrispondenti.
-
Primo criterio (LAL): due lati e l'angolo compreso. Secondo (ALA): un lato e i due angoli adiacenti. Terzo (LLL): tre lati.
-
Tre angoli congruenti, o due lati e un angolo non compreso, non bastano.
-
Una dimostrazione parte da figura, ipotesi e tesi; si cercano due triangoli congruenti (aiutati da costruzioni ausiliarie) e si deducono gli elementi corrispondenti.
-
Conseguenze: angoli alla base di un isoscele congruenti, mediana dell'isoscele anche altezza e bisettrice, quadrilatero con lati opposti congruenti = parallelogramma.