Costruzioni geometriche fondamentali con riga e compasso
Devi appendere una cornice esattamente al centro di una parete, ma hai solo una cordicella non graduata e un chiodo con uno spago. Come trovi il punto di mezzo senza misurare? I geometri greci risolvevano problemi così con due soli strumenti: la riga e il compasso. In questa pagina impari le costruzioni di base e, soprattutto, perché funzionano.
Gli strumenti e le regole del gioco
Nelle costruzioni euclidee si usano solo due strumenti.
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La riga non graduata: serve a tracciare la retta (o il segmento) che passa per due punti dati. Non si usa per misurare.
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Il compasso: serve a tracciare una circonferenza (o un arco) di centro dato e raggio dato, riportando anche una distanza da un punto a un altro.
Ogni costruzione è una successione di passi. La dimostrazione spiega perché la figura ottenuta ha la proprietà richiesta: di solito si usano la definizione di circonferenza (tutti i suoi punti hanno la stessa distanza dal centro) e i criteri di congruenza dei triangoli.
Descrivi la costruzione con riga e compasso di un triangolo equilatero di lato assegnato $AB$.
Descrivi la costruzione con riga e compasso di un triangolo equilatero di lato assegnato $AB$.
Asse di un segmento e bisettrice
Ecco la risposta alla cornice: il punto di mezzo si trova con l'asse del segmento, la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
Perché funziona. Per costruzione $AP = BP = AQ = BQ$ (raggi uguali). I triangoli $APQ$ e $BPQ$ hanno i tre lati congruenti ($PQ$ in comune), quindi sono congruenti per il terzo criterio. Allora $\widehat{APM}\cong\widehat{BPM}$, e nel triangolo isoscele $APB$ la bisettrice dell'angolo al vertice è anche mediana e altezza: $PQ$ taglia $AB$ a metà ed è perpendicolare.
La bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$ è la semiretta che lo divide in due angoli congruenti.
Perché funziona. I triangoli $OAC$ e $OBC$ hanno $OA = OB$ (raggio del primo arco), $AC = BC$ (stessa apertura) e $OC$ in comune: sono congruenti per il terzo criterio, quindi gli angoli in $O$ sono congruenti.
Descrivi, passo per passo, come costruire con riga e compasso l'asse di un segmento $AB$ e spiega quale proprietà hanno i punti dell'asse.
Descrivi, passo per passo, come costruire con riga e compasso l'asse di un segmento $AB$ e spiega quale proprietà hanno i punti dell'asse.
Descrivi la costruzione con riga e compasso della bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$.
Descrivi la costruzione con riga e compasso della bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$.
Perpendicolare e parallela
Perpendicolare per un punto esterno. Sia $r$ una retta e $P\notin r$.
È la costruzione dell'asse: $P$ e $Q$ sono equidistanti da $A$ e da $B$, quindi $PQ$ è l'asse di $AB$ e dunque perpendicolare a $r$.
Parallela per un punto esterno. Una via semplice usa il rombo.
Perché funziona. $AP = AB = BQ = PQ$ (stesso raggio): $APQB$ ha i quattro lati congruenti, è un rombo. I lati opposti di un rombo sono paralleli, quindi $PQ \parallel AB$, cioè $PQ \parallel r$.
Descrivi come costruire con riga e compasso la perpendicolare a una retta $r$ passante per un punto $P$ non appartenente a $r$.
Descrivi come costruire con riga e compasso la perpendicolare a una retta $r$ passante per un punto $P$ non appartenente a $r$.
Descrivi la costruzione della retta parallela a una retta $r$ data passante per un punto $P$ esterno, usando solo riga e compasso, e dimostra la correttezza della…
Descrivi la costruzione della retta parallela a una retta $r$ data passante per un punto $P$ esterno, usando solo riga e compasso, e dimostra la correttezza della costruzione con i criteri di congruenza o con le proprietà del rombo.
Angoli notevoli, triangoli e quadrato
Triangolo equilatero e angolo di $60^\circ$. Dato $AB$, traccia la circonferenza di centro $A$ e raggio $AB$ e quella di centro $B$ e raggio $AB$: si incontrano in $C$. Poiché $AC = AB = BC$, il triangolo $ABC$ è equilatero e i suoi angoli misurano $60^\circ$.
Altri angoli. Dall'angolo di $60^\circ$:
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la sua bisettrice dà $30^\circ$;
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per $90^\circ$ costruisci la perpendicolare a una retta in un suo punto (come prima, con il punto sulla retta: archi di centro il punto che tagliano la retta in $A$ e $B$, poi asse di $AB$); oppure, con gli angoli: $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.
Triangolo dati i tre lati. Costruisci $AB = 6\text{ cm}$. Traccia un arco di centro $A$ e raggio $4\text{ cm}$ (lato $CA$) e uno di centro $B$ e raggio $5\text{ cm}$ (lato $BC$): si incontrano in $C$. (Qui usi la misura per fissare l'apertura, ma la costruzione resta la stessa.)
Con lati $2, 3, 7$ gli archi di raggio $2$ e $3$ non si incontrano mai: $7 > 2+3$.
Quadrato di lato $AB$.
Perché funziona. $AD = AB = BC$ per costruzione, e $AD \parallel BC$ (perpendicolari alla stessa retta $AB$). Quindi $ABCD$ è un parallelogramma con $AB = AD$: un rombo; ha un angolo retto in $A$, quindi tutti gli angoli sono retti. Un rombo con angoli retti è un quadrato.
Descrivi come costruire con riga e compasso un angolo di $60^\circ$ e poi, a partire da questo, uno di $30^\circ$ e uno di $90^\circ$.
Descrivi come costruire con riga e compasso un angolo di $60^\circ$ e poi, a partire da questo, uno di $30^\circ$ e uno di $90^\circ$.
Descrivi la costruzione di un triangolo $ABC$ noti i tre lati $AB=6\text{ cm}$, $BC=5\text{ cm}$, $CA=4\text{ cm}$. Indica anche a quale condizione tre segmenti possono…
Descrivi la costruzione di un triangolo $ABC$ noti i tre lati $AB=6\text{ cm}$, $BC=5\text{ cm}$, $CA=4\text{ cm}$. Indica anche a quale condizione tre segmenti possono essere lati di un triangolo.
Descrivi la costruzione di un quadrato di lato $AB$ assegnato e dimostra che la figura ottenuta è effettivamente un quadrato.
Descrivi la costruzione di un quadrato di lato $AB$ assegnato e dimostra che la figura ottenuta è effettivamente un quadrato.
Circonferenza circoscritta a un triangolo
Torniamo all'asse: i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento. Se un punto $O$ sta sugli assi di $AB$ e di $BC$, allora $OA = OB$ e $OB = OC$, quindi $OA = OB = OC$: è equidistante dai tre vertici ed è il centro della circonferenza passante per $A$, $B$, $C$.
Anche l'asse di $AC$ passa per $O$: bastano due assi per trovare il punto, il terzo serve da verifica.
Descrivi la costruzione con riga e compasso della circonferenza circoscritta a un triangolo $ABC$ e dimostra perché il punto trovato è equidistante dai tre vertici.
Descrivi la costruzione con riga e compasso della circonferenza circoscritta a un triangolo $ABC$ e dimostra perché il punto trovato è equidistante dai tre vertici.
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In sintesi
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Si usano solo riga non graduata (rette per due punti) e compasso (circonferenze di centro e raggio dati).
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Asse di $AB$: archi di uguale raggio (maggiore di $\frac{AB}{2}$) da $A$ e da $B$; i punti dell'asse sono equidistanti da $A$ e $B$.
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Bisettrice: arco di centro $O$ che taglia i lati, poi due archi uguali dai punti trovati.
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Perpendicolare da un punto: stessa idea dell'asse. Parallela: rombo con quattro lati uguali.
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Triangolo equilatero su $AB$: archi di raggio $AB$ da $A$ e da $B$; dà l'angolo di $60^\circ$, da cui $30^\circ$ e $90^\circ$.
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Tre lati formano un triangolo se ciascuno è minore della somma degli altri due.
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Circonferenza circoscritta: il centro è l'intersezione degli assi dei lati.