Similitudine

Un grafico sta lavorando al logo di una nuova applicazione. Il disegno originale è un rettangolo largo $8\text{ cm}$ e alto $12\text{ cm}$. Per la schermata di caricamento, deve creare una versione più grande simile all'originale. Se la larghezza della versione ingrandita deve essere $20\text{ cm}$, quale sarà l'altezza del logo in quella schermata?

Nella pianta di un'abitazione, la scala utilizzata è $1:50$. Se il salone ha una lunghezza di $12\text{ cm}$ nel disegno, calcola quanti metri misura la lunghezza reale di quella stanza.

Un grafico sta lavorando al logo di un nuovo marchio di abbigliamento. Il disegno originale è un quadrilatero con lati che misurano $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Il cliente gli chiede una versione più grande per un cartellone pubblicitario, in cui il lato che prima misurava $9\text{ cm}$ ora deve misurare $45\text{ cm}$.

1. a) Calcola il rapporto di similitudine $k$ tra il logo del cartellone e l'originale.
2. b) Determina la misura degli altri tre lati nel logo del cartellone.
3. c) Se il perimetro del logo originale è $35\text{ cm}$, quale sarà il perimetro del logo del cartellone senza sommare i suoi lati uno a uno?

Due triangoli sono posti in posizione di Talete. Sapendo che i segmenti orizzontali sono paralleli e misurano $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e che il segmento verticale del triangolo minore misura $9\text{ cm}$, calcola il valore del segmento verticale incognito indicato con $x$ del triangolo maggiore.

Nella figura seguente, le rette $r$, $s$ e $t$ sono parallele. Sapendo che $y = x + 1$, usa il teorema di Talete per calcolare le lunghezze incognite $x$ e $y$ espresse in centimetri.

Un proiettore cinematografico si trova a $6\text{ metri}$ da uno schermo. Il fascio di luce proietta un'immagine che sullo schermo ha un'altezza di $2,4\text{ metri}$.

1. a) Se collochiamo un ostacolo di altezza $40\text{ cm}$ parallelo allo schermo per creare un'ombra cinese, a quale distanza dal proiettore dobbiamo posizionarlo affinché la sua ombra occupi esattamente tutta l'altezza dello schermo?
2. b) Se allontaniamo il proiettore fino a $9\text{ metri}$ dallo schermo, qual sarà la nuova altezza dell'immagine proiettata?

Indica se le seguenti coppie di triangoli sono simili e giustifica quale criterio hai utilizzato (AAA, LLL o LAL):

• Triangolo 1: Angoli di $40^\circ$ e $70^\circ$.

• Triangolo 2: Angoli di $70^\circ$ e $70^\circ$.

Osserva il triangolo rettangolo della figura. L'altezza $h$ relativa all'ipotenusa divide il triangolo originale in due triangoli più piccoli.

1. a) Giustifica perché i tre triangoli (quello originale e i due piccoli) sono simili tra loro.
2. b) Se i segmenti in cui resta divisa l'ipotenusa misurano $m = 4\text{ cm}$ e $n = 9\text{ cm}$, calcola l'altezza $h$ utilizzando la similitudine dei due triangoli piccoli.
3. c) Calcola l'area del triangolo originale.

Un architetto sta progettando la facciata di un moderno auditorium. Ha disegnato un triangolo rettangolo principale e, per migliorare l'acustica, deve tracciare l'altezza relativa all'ipotenusa. Questa altezza divide il triangolo originale in altri due triangoli più piccoli. Sapendo che i cateti del triangolo originale misurano $18\text{ m}$ e $24\text{ m}$, usa la similitudine dei triangoli per calcolare:

1. a) La lunghezza dell'altezza tracciata relativa all'ipotenusa.
2. b) Le lunghezze dei due segmenti in cui resta divisa l'ipotenusa.

Uno studente di terza media è alto $1,60\text{ m}$. In un momento della giornata, proietta sul suolo un'ombra di $2\text{ m}$. Se proprio accanto un lampione proietta un'ombra di $5\text{ m}$, qual è l'altezza del lampione?

In una piazza di Siena, alle undici del mattino, un segnale stradale verticale alto $2\text{ m}$ proietta sul pavimento un'ombra di $1,6\text{ m}$. Nello stesso istante, la torre di una chiesa vicina proietta un'ombra rettilinea di $28\text{ m}$.

1. a) Prima di calcolare con precisione, fai una stima ragionata: osservando la relazione tra l'altezza del segnale e la sua ombra, ti aspetti che l'altezza della torre sia maggiore o minore della lunghezza della sua ombra? Sarà più vicina a $20\text{ m}$, a $35\text{ m}$ o a $50\text{ m}$?
2. b) Imposta la proporzione corrispondente (mediante i triangoli simili formati dai raggi solari) e calcola con esattezza l'altezza della torre.
3. c) Confronta il valore numerico ottenuto con la tua stima precedente e valuta se il risultato ha senso dal punto di vista fisico e architettonico per un campanile storico.

Per calcolare l'altezza di una torre di comunicazione che proietta un'ombra molto lunga, Marco, alto $1,70\text{ m}$, si mette in piedi in modo che l'estremo della propria ombra coincida con l'estremo dell'ombra della torre. Se Marco si trova a $25\text{ m}$ dalla base della torre e la sua ombra misura $2,5\text{ m}$, rispondi:

1. a) Perché possiamo affermare che i triangoli formati da Marco e dalla torre con le rispettive ombre sono simili? Indica il criterio di similitudine utilizzato.
2. b) Calcola l'altezza della torre.

Per misurare l'altezza di una torre di raffreddamento di una centrale elettrica, una squadra di ingegneri usa uno specchio posto a terra. L'ingegnere si colloca in modo che, guardando lo specchio, veda riflessa la sommità della torre. Lo specchio dista $45\text{ m}$ dalla base della torre. L'ingegnere, i cui occhi sono a un'altezza di $1,75\text{ m}$, si trova a $1,5\text{ m}$ dallo specchio. Tra lo specchio e la torre c'è una recinzione di sicurezza alta $5\text{ m}$.

A quale distanza minima dallo specchio deve trovarsi la recinzione perché non nasconda agli occhi dell'ingegnere il riflesso della sommità della torre?

Una pizzeria offre due dimensioni di pizza rotonda che sono simili. La pizza "Piccola" ha un raggio di $10\text{ cm}$ e un'area di circa $314\text{ cm}^2$. Se la pizza "Famiglia" ha un raggio di $20\text{ cm}$, qual sarà la sua area? (Ricorda la relazione tra il rapporto di similitudine $k$ e le aree).

Marco vuole fare una copia ingrandita di una stampa artistica rettangolare di $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. In copisteria gli offrono di ingrandirla proporzionalmente in modo che la nuova larghezza sia $45\text{ cm}$. Marco calcola a mente: «Siccome la larghezza passa da $15\text{ cm}$ a $45\text{ cm}$, la figura si triplica. La stampa originale costava $2\text{ €}$, quindi la nuova stampa, avendo dimensioni triple, mi costerà esattamente $6\text{ €}$».

1. a) Individua l'errore nel ragionamento di Marco sul costo della carta. Quale grandezza geometrica determina la spesa di materiale: la lunghezza lineare o l'area?
2. b) Trova il rapporto di similitudine lineare $k$ e calcola le dimensioni (larghezza e lunghezza) e l'area della stampa ingrandita.
3. c) Se il prezzo della carta speciale da stampa è proporzionale alla superficie stampata, qual è il prezzo reale e giusto che dovrebbe pagare Marco per la stampa grande?

Due rettangoli sono simili. Il primo ha una base di $12\text{ cm}$ e un'area di $96\text{ cm}^2$. Il secondo rettangolo ha un'area di $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcola il rapporto di similitudine tra il secondo e il primo rettangolo. (Suggerimento: usa la relazione tra le aree).
2. b) Calcola le dimensioni (base e altezza) del secondo rettangolo.
3. c) Qual è il rapporto tra i loro perimetri?

Su una carta dell'Istituto Geografico Militare (IGM) in scala $1:50\,000$, una squadra di vigili del fuoco forestali analizza un appezzamento triangolare di bosco. Sulla carta, i tre lati del triangolo misurano esattamente $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$.

1. a) Verifica numericamente che il triangolo della carta è rettangolo e calcola il suo perimetro (in $\text{cm}$) e la sua area (in $\text{cm}^2$).
2. b) Utilizzando la scala come rapporto di similitudine lineare, calcola le lunghezze reali dei tre lati del terreno forestale in chilometri e ottieni il suo perimetro reale.
3. c) Calcola la superficie reale dell'appezzamento in due modi indipendenti: prima, calcolando l'area a partire dalle lunghezze reali in chilometri del punto precedente; poi, moltiplicando l'area della carta per il rapporto tra le aree $k^2$ appropriato. Verifica che i due metodi coincidano ed esprimi il risultato finale in ettari ($1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}$).

Un laboratorio di ceramica artigianale di Vietri sul Mare (Salerno) produce piastrelle decorative simili a forma di parallelogramma. Lo stampo base ha una base di $12\text{ cm}$, un'altezza di $5\text{ cm}$ e lati obliqui di $6,5\text{ cm}$. Per un murale in un edificio pubblico, riceve l'incarico di produrre pezzi simili la cui superficie individuale sia esattamente $1\,500\text{ cm}^2$.

1. a) Calcola l'area e il perimetro della piastrella base.
2. b) Imposta la relazione matematica tra le aree di due figure simili per ricavare il rapporto di similitudine lineare $k$ che trasforma la piastrella base nella piastrella grande del murale.
3. c) A partire da tale rapporto $k$, calcola le dimensioni complete (base, altezza e lati obliqui) della piastrella grande, nonché i metri di nastro protettivo necessari per imballare il contorno di ciascuno dei pezzi grandi.

Un'azienda di stampa 3D ha realizzato un plastico in scala di una piazza circolare. Nel plastico, l'area della piazza è $450\text{ cm}^2$. Il cliente richiede un secondo plastico in cui il perimetro sia maggiore del $20\%$ rispetto a quello del primo plastico.

1. a) Qual è l'area della piazza in questo secondo plastico?
2. b) Se la piazza reale ha un raggio di $30\text{ m}$, qual è la scala utilizzata nel primo plastico? (Esprimi la scala nel formato $1:n$).

Due città, A e B, sono separate da un fiume con rive parallele. Per calcolare la distanza tra un punto $P$ sulla riva della città A e un punto $Q$ sulla riva della città B (situato proprio di fronte), un topografo percorre $60\text{ m}$ lungo la riva della città A fino a un punto $R$. Da $R$ cammina per altri $20\text{ m}$ nella stessa direzione fino a un punto $S$. In $S$ gira di $90^\circ$ e si allontana dal fiume finché i punti $Q$ e $R$ risultano allineati con la sua posizione attuale ($T$). Se la distanza $ST$ è $15\text{ m}$:

1. a) Calcola la larghezza del fiume ($PQ$).
2. b) Calcola la distanza in linea retta tra il topografo nel punto $T$ e il punto $Q$ sull'altra riva del fiume.

Un drone proietta un fascio di luce conico su un terreno pianeggiante. A un'altezza di $10\text{ m}$, il fascio illumina un cerchio di raggio $4\text{ m}$. Il drone scende fino a un'altezza in cui l'area illuminata si riduce esattamente a un quarto di quella originale.

Disegna lo schema sul quaderno.

1. a) A che altezza si trova ora il drone?
2. b) Se al centro dell'area illuminata c'è un oggetto cilindrico alto $1,5\text{ m}$ e di raggio $0,85\text{ m}$, quale raggio avrà l'ombra proiettata da tale oggetto quando il drone si trovava a $10\text{ m}$ di altezza?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una mappa di una zona boschiva, un incendio ha interessato una superficie a forma di trapezio. Le basi del trapezio sulla mappa misurano $4\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$, e la sua altezza è $3\text{ cm}$. Si sa che la superficie reale interessata è $16,5\text{ ettari}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Calcola la scala della mappa.
2. b) Se si decide di rimboschire una zona adiacente che sulla mappa è un triangolo simile a quello che si formerebbe prolungando i lati non paralleli del trapezio, e la cui base è la base minore del trapezio, quale superficie reale avrà quella zona di rimboschimento?

Si proietta una diapositiva su uno schermo situato a $6\text{ m}$ di distanza. La dimensione dell'immagine proiettata è $1,8\text{ m}$ di altezza per $2,4\text{ m}$ di larghezza.

1. a) Se la diapositiva originale ha dimensioni $24\text{ mm}$ per $32\text{ mm}$, a quale distanza dalla diapositiva si trova la sorgente luminosa del proiettore?
2. b) Se spostiamo lo schermo in modo che si trovi a $9\text{ m}$ dal proiettore, quante volte aumenterà l'area dell'immagine rispetto alla proiezione precedente?

Considera un triangolo isoscele $ABC$ in cui il lato diverso $BC$ misura $12\text{ cm}$ e i lati uguali misurano $10\text{ cm}$ ciascuno. Al suo interno si inscrive un quadrato la cui base poggia sul lato $BC$ del triangolo e i cui altri due vertici toccano i lati $AB$ e $AC$.

Usa la similitudine tra il triangolo originale e il triangolo piccolo che resta sopra il quadrato per calcolare il lato del quadrato.

Per garantire l'accessibilità in una stazione ferroviaria, si installa una rampa rettilinea continua che supera un dislivello verticale di $1,2\text{ m}$ su una distanza orizzontale al suolo di $9\text{ m}$. Per motivi strutturali, si deve collocare un pilastro verticale di sostegno a $3\text{ m}$ di distanza orizzontale dall'inizio della rampa. Occorre calcolare l'altezza $h$ di tale pilastro e la lunghezza $d$ del tratto inclinato di rampa che va dal suolo all'estremo superiore del pilastro.

Per risolverlo, due tecnici discutono quale strada sia più conveniente:

• Strategia 1 (Similitudine geometrica diretta): Considerare il triangolo grande completo e il triangolo piccolo sotto il pilastro come simili in posizione di Talete; calcolare l'ipotenusa grande con Pitagora e poi ridurla con il rapporto di similitudine orizzontale.

• Strategia 2 (Coefficiente angolare e Pitagora locale): Calcolare il coefficiente angolare costante della rampa come rapporto verticale/orizzontale ($1,2 / 9$), applicare tale coefficiente al tratto di $3\text{ m}$ per ottenere direttamente $h$, e poi applicare il teorema di Pitagora solo sul triangolo minore.

1. a) Risolvi il problema applicando in dettaglio i passaggi della Strategia 1.
2. b) Risolvi il problema applicando in dettaglio i passaggi della Strategia 2.
3. c) Confronta i due procedimenti: analizza quale dei due evita di trascinarsi decimali periodici o approssimazioni intermedie e motiva quale consiglieresti per ridurre al minimo gli errori nei disegni di un cantiere.

Per valutare i danni da siccità in un'azienda agricola di Cuneo, un perito usa una fotocamera con un sensore rettangolare di $36\text{ mm} \times 24\text{ mm}$ e un obiettivo con distanza focale fissa di $50\text{ mm}$. La fotocamera è montata su un drone che punta perpendicolarmente verso il suolo, in modo che l'obiettivo agisca da vertice comune di due piramidi di visione invertite e simili (quella che va dall'obiettivo al sensore interno e quella che va dall'obiettivo al terreno esterno).

1. a) Se il drone vola a un'altezza fissa di $150\text{ m}$ sopra il suolo dell'azienda, dimostra perché il terreno inquadrato dalla foto è simile al sensore della fotocamera e determina il rapporto di similitudine lineare $k$ tra il terreno reale e l'immagine catturata sul sensore (attenzione alla coerenza delle unità).
2. b) Calcola le dimensioni reali in metri (lunghezza e larghezza) del rettangolo di coltivazione che appare in una fotografia e calcola l'area di terreno inquadrata in ogni scatto (in metri quadrati e in ettari).
3. c) Problema inverso: Supponi che, per un'ispezione più dettagliata, la normativa richieda che ogni fotografia inquadri un'area di terreno di esattamente $2\,160\text{ m}^2$. Utilizzando la relazione matematica tra il rapporto tra le aree e il rapporto tra le lunghezze, deduci a quale altezza esatta dal suolo deve volare il drone per soddisfare tale requisito.