Angoli, lunghezze e aree

Un designer sta creando un mosaico per la pavimentazione di una piazza utilizzando piastrelle a forma di esagono regolare. Calcola quanto misura la somma di tutti gli angoli interni dell'esagono e qual è il valore di ciascuno dei suoi angoli interni.

Nei lavori di ristrutturazione di una piazza pedonale a Lucca verranno posate lastre di pietra a forma di poligono regolare. L'architetto comunale ha specificato nei disegni che ciascuno degli angoli interni di tali lastre deve misurare esattamente $135^\circ$.

1. a) Imposta un'equazione a partire dalla formula che collega il numero di lati $n$ di un poligono regolare all'ampiezza dei suoi angoli interni e risolvila per scoprire di quale poligono regolare si tratta.
2. b) Gli operai vogliono posare queste lastre sul terreno unendole soltanto lungo i bordi. È possibile pavimentare la piazza usando esclusivamente questo tipo di lastre senza lasciare spazi vuoti né sovrapposizioni? Giustifica la risposta analizzando quanti gradi devono sommare gli angoli che si incontrano in uno stesso vertice.

Un'agenzia di design sta creando un nuovo logo basato su un esagono regolare di lato $6$ cm. All'interno dell'esagono ha tracciato le diagonali che collegano vertici alterni, formando una "stella di Davide" o esagramma. Calcola il valore degli angoli interni dei triangoli che formano la stella e determina l'area della parte ombreggiata (la stella centrale) sapendo che l'apotema dell'esagono originale è approssimativamente $5,2$ cm.

Un'asta per segnalazioni alta $8$ metri proietta un'ombra di $6$ metri sul suolo alle 11:00 del mattino. Nello stesso istante, l'ombra di una torre di raffreddamento vicina misura $45$ metri.

1. Utilizza la similitudine dei triangoli per calcolare l'altezza della torre.

2. Se il cavo di sicurezza che va dalla punta dell'asta per segnalazioni fino all'estremo della sua ombra fosse teso, quale lunghezza avrebbe?

Osserva la seguente circonferenza di centro $O$. Se l'angolo al centro $\angle AOB$ misura $80^\circ$, calcola il valore dell'angolo alla circonferenza $\angle ACB$ che insiste sullo stesso arco.

Un laboratorio di restauro di Napoli deve riabilitare un rosone circolare di vetro di $2\text{ m}$ di diametro ($1\text{ m}$ di raggio). Nel progetto originale, una modanatura metallica rettilinea unisce due punti $A$ e $B$ della circonferenza in modo che l'angolo al centro che sottende tale arco misuri esattamente $120^\circ$. Per garantire la struttura, si deve collocare un'asta da un punto qualsiasi $P$, situato sull'arco maggiore $AB$, verso gli estremi $A$ e $B$, formando il triangolo inscritto $APB$.

1. a) Utilizza la proprietà che mette in relazione l'angolo alla circonferenza con l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco per dimostrare quale valore esatto abbia l'angolo $\widehat{APB}$. Questo angolo varia se spostiamo il punto $P$ lungo tale arco maggiore? Giustifica il tuo ragionamento.
2. b) Traccia mentalmente i raggi $OA$ e $OB$ che vanno dal centro $O$ agli estremi della corda. Scomponi il triangolo isoscele $OAB$ in due triangoli rettangoli tracciando l'altezza dal centro alla corda e applica il teorema di Pitagora (sfruttando il fatto che gli angoli acuti misurano $30^\circ$ e $60^\circ$) per calcolare la distanza del centro $O$ dalla corda e la lunghezza esatta della corda $AB$.
3. c) Calcola l'area del segmento circolare minore delimitato dalla corda $AB$ e dall'arco minore $AB$ (prendi $\pi \approx 3,14$). Spiega dettagliatamente la sottrazione di aree che permette di ottenere tale superficie.

Il comune vuole recintare un parco rettangolare lungo $40$ metri e largo $30$ metri. Inoltre vuole costruire un sentiero in linea retta che attraversi il parco da un angolo a quello opposto (la diagonale). Usa il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza di tale sentiero.

Per misurare l'altezza a cui si trova un lampione rotto in una zona industriale di Monza, Marco appoggia una scala a pioli lunga $5\text{ m}$ alla sommità del palo, con il piede della scala a $3\text{ m}$ dalla base del palo sul terreno orizzontale. Per calcolare l'altezza $h$ del lampione, Marco scrive sul quaderno:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Spiega, senza eseguire ulteriori operazioni, perché il risultato numerico ottenuto da Marco è fisicamente impossibile in questo contesto.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Marco nell'applicare il teorema di Pitagora.
3. c) Correggi il procedimento e calcola l'altezza reale del lampione.

Un operaio addetto alla manutenzione vuole installare una telecamera di sicurezza nell'angolo di un magazzino rettangolare. Per farlo, appoggia una scala lunga $5$ metri in modo che il piede disti esattamente $1,4$ metri dalla parete. Tuttavia, si accorge che per avere l'angolo di visione corretto, la telecamera deve stare $60$ cm più in alto. Quale lunghezza minima dovrebbe avere la nuova scala se mantiene il piede nello stesso punto?

Un architetto sta progettando una vetrata per un museo con una forma geometrica particolare. Il progetto consiste in un triangolo isoscele i cui lati uguali misurano $10\text{ m}$ e la cui base misura $12\text{ m}$. All'interno, vuole collocare un pannello solare rettangolare la cui base poggi sulla base del triangolo e i cui due vertici superiori tocchino i lati uguali del triangolo. Se l'architetto vuole che l'altezza del rettangolo sia esattamente la metà della sua base, calcola le dimensioni del rettangolo e l'area della regione del triangolo che resta scoperta dal pannello solare.

Si vuole costruire un lucernario nel soffitto di un salone a forma di triangolo scaleno. I lati del triangolo misurano $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ e $15\text{ dm}$. Il vetro utilizzato costa $45\text{ €}$ per ogni decimetro quadrato. Calcola l'altezza del triangolo relativa al lato di $14\text{ dm}$ (utilizzando un sistema di equazioni derivato dal teorema di Pitagora) e il costo totale del vetro necessario per il lucernario.

Un'azienda di segnaletica sta producendo un cartello di "Attenzione" a forma di rombo. Se le diagonali del rombo misurano rispettivamente $16$ cm e $12$ cm, calcola l'area della lastra di metallo necessaria per realizzarlo.

Calcola l'area di un pentagono regolare sapendo che il suo lato misura $10$ cm e il suo apotema misura circa $6,88$ cm.

Un architetto ha progettato una finestra per un centro culturale a forma di trapezio isoscele. La base maggiore misura $2,8$ metri, la base minore misura $1,6$ metri e i lati non paralleli misurano $1,2$ metri ciascuno. Per il preventivo, deve calcolare l'area totale del vetro e la somma degli angoli interni della finestra per ordinare il telaio metallico. Qual è l'area della finestra?

Un appezzamento ha la forma di un parallelogramma con una base di $15$ metri e un'altezza di $8$ metri. In uno degli angoli il proprietario ha installato un irrigatore che innaffia in un angolo di $60^\circ$ con una gittata di $6$ metri.

1. Calcola l'area totale dell'appezzamento.

2. Calcola l'area dell'appezzamento che rimane senza irrigazione.

Per fabbricare una tramoggia di scarico agricola, un'officina deve tagliare una lamiera d'acciaio a forma di trapezio isoscele le cui basi misurano $30\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, e i cui lati obliqui misurano $17\text{ cm}$ ciascuno. Due studenti di terza media propongono modi diversi per trovare l'area:

• Strategia di Lucia: Tracciare le due altezze dagli estremi della base minore per scomporre il trapezio in un rettangolo centrale e due triangoli rettangoli uguali agli estremi; calcolare l'altezza con il teorema di Pitagora e sommare le tre aree parziali.

• Strategia di Matteo: Prolungare i lati obliqui verso l'alto finché si incontrano in un punto esterno, formando un grande triangolo isoscele che comprende il trapezio e un piccolo triangolo isoscele superiore; calcolare le altezze di entrambi i triangoli mediante la similitudine, calcolare le loro aree e sottrarle.

1. a) Sviluppa completamente la strategia di Lucia e trova l'area del trapezio.
2. b) Analizza la proposta di Matteo: è geometricamente valida? Quali conoscenze aggiuntive richiede, che la rendono un percorso inutilmente complesso rispetto a quello di Lucia?
3. c) Dimostra come il ragionamento di scomposizione di Lucia permetta di giustificare in generale la formula classica dell'area di un qualsiasi trapezio in cui i piedi di tali altezze cadano sulla base maggiore, $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$, raggruppando algebricamente il rettangolo e i due triangoli.

In una pizzeria, una pizza familiare ha un diametro di $40$ cm. Se tagliamo una porzione che forma un settore circolare con un angolo al centro di $60^\circ$, calcola l'area di quella fetta di pizza. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Un centro sportivo ha una piscina dalla forma particolare: un rettangolo di $20$ m per $10$ m, con una zona semicircolare per bambini aggiunta su uno dei lati corti. Calcola il perimetro totale della piscina. (Usa $\pi \approx 3,14$).

In una piazza della tua città c'è una piastrella gigante a forma di corona circolare. Il raggio del cerchio esterno è $4$ metri. Si sa che l'area della parte calpestabile (la corona stessa) è $7\pi$ $m^2$. Calcola il raggio del cerchio interno e determina la lunghezza della recinzione circolare che servirebbe per circondare soltanto il vuoto interno.

Calcola l'area di un segmento circolare di ampiezza $90^\circ$ appartenente a una circonferenza di raggio $12$ cm.

In un parco tecnologico hanno costruito una piazza a forma di esagono regolare di lato $20\text{ m}$. Al centro della piazza è stata installata una fontana circolare il cui bordo è tangente a tutti i lati dell'esagono. Il comune vuole pavimentare con piastrelle speciali solo la superficie compresa tra la fontana e il perimetro dell'esagono. Calcola l'area da pavimentare utilizzando $\pi \approx 3,1416$ e arrotondando il risultato a due decimali.