Perpendicolari e quadrilateri
Una porta ben montata ha gli stipiti perpendicolari al pavimento, e il telaio di una finestra deve essere un rettangolo: se le diagonali non fossero uguali, il telaio sarebbe storto. Come si controlla che una figura sia davvero un rettangolo, senza misurare tutti gli angoli? In questa pagina vediamo le proprietà dei quadrilateri e come dimostrarle.
Rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli retti (di $90^\circ$). Si scrive $r \perp s$.
Per un punto $P$, sia che appartenga alla retta $r$ sia che non le appartenga, passa una sola retta perpendicolare a $r$. La distanza di $P$ da $r$ è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto da $P$ a $r$: è il cammino più corto tra $P$ e la retta.
In un triangolo il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto (o al suo prolungamento) è l'altezza. In un trapezio la distanza tra le basi è l'altezza.
Completa con le proprietà corrette: in un parallelogramma a) i lati opposti sono ... b) gli angoli opposti sono ... c) le diagonali ... d) gli angoli adiacenti a ciascun…
Completa con le proprietà corrette: in un parallelogramma
- a) i lati opposti sono ...
- b) gli angoli opposti sono ...
- c) le diagonali ...
- d) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono ...
Parallelogrammi e loro proprietà
Un quadrilatero ha quattro lati e quattro angoli; la somma degli angoli interni è $360^\circ$ (lo si vede dividendolo con una diagonale in due triangoli).
Da questa definizione si dimostrano le proprietà:
Perché? Nel parallelogramma $ABCD$ traccia la diagonale $AC$. Gli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{ACD}$ sono alterni interni rispetto alle parallele $AB$ e $CD$, quindi congruenti; lo stesso vale per $\widehat{BCA}$ e $\widehat{CAD}$ rispetto alle parallele $BC$ e $AD$. I triangoli $ABC$ e $CDA$ hanno poi il lato $AC$ in comune: sono congruenti per il secondo criterio (ALA, angolo-lato-angolo). Quindi $AB \cong CD$ e $BC \cong DA$, e anche gli angoli opposti sono congruenti.
In un parallelogramma $ABCD$ l'angolo $\hat{A}$ misura $64^\circ$. Determina le ampiezze degli altri tre angoli.
In un parallelogramma $ABCD$ l'angolo $\hat{A}$ misura $64^\circ$. Determina le ampiezze degli altri tre angoli.
In un parallelogramma $ABCD$ la bisettrice dell'angolo $\hat{A}$ incontra il lato $CD$ nel punto $E$. Dimostra che il triangolo $ADE$ è isoscele. Se $AD=6\text{ cm}$ e…
In un parallelogramma $ABCD$ la bisettrice dell'angolo $\hat{A}$ incontra il lato $CD$ nel punto $E$. Dimostra che il triangolo $ADE$ è isoscele. Se $AD=6\text{ cm}$ e $AB=10\text{ cm}$, calcola $EC$.
Rettangolo, rombo, quadrato
Sono parallelogrammi con una proprietà in più.
| Figura | Definizione | Proprietà delle diagonali |
|---|---|---|
| Rettangolo | parallelogramma con quattro angoli retti | congruenti |
| Rombo | parallelogramma con quattro lati congruenti | perpendicolari e bisettrici degli angoli |
| Quadrato | rettangolo e rombo insieme | congruenti, perpendicolari, si dimezzano |
Il quadrato è quindi un caso particolare sia di rettangolo sia di rombo, e ogni rettangolo e ogni rombo sono parallelogrammi.
Associa a ciascun quadrilatero la proprietà caratteristica sulle diagonali: rettangolo, rombo, quadrato. a) diagonali congruenti b) diagonali perpendicolari c) diagonali…
Associa a ciascun quadrilatero la proprietà caratteristica sulle diagonali: rettangolo, rombo, quadrato.
- a) diagonali congruenti
- b) diagonali perpendicolari
- c) diagonali congruenti, perpendicolari e che si dimezzano
Dimostra che le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
Dimostra che le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
Dimostra che un parallelogramma con le diagonali congruenti è un rettangolo.
Dimostra che un parallelogramma con le diagonali congruenti è un rettangolo.
Dimostra che un parallelogramma in cui una diagonale è anche bisettrice di un angolo è un rombo.
Dimostra che un parallelogramma in cui una diagonale è anche bisettrice di un angolo è un rombo.
Trapezi e teorema di Varignon
Un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli, le basi; gli altri due sono i lati obliqui. L'altezza è la distanza tra le basi. Se i lati obliqui sono congruenti il trapezio è isoscele: ha gli angoli alla base congruenti e le diagonali congruenti.
In un trapezio isoscele, tracciando le altezze dagli estremi della base minore si ottengono un rettangolo e due triangoli rettangoli congruenti. La proiezione di un lato obliquo sulla base maggiore è il cateto di questi triangoli.
In un trapezio isoscele la base minore misura $8\text{ cm}$, i lati obliqui $5\text{ cm}$ e l'angolo acuto alla base maggiore è tale che la proiezione di ciascun lato…
In un trapezio isoscele la base minore misura $8\text{ cm}$, i lati obliqui $5\text{ cm}$ e l'angolo acuto alla base maggiore è tale che la proiezione di ciascun lato obliquo sulla base maggiore è $3\text{ cm}$.
- a) Calcola la base maggiore e il perimetro.
- b) Calcola l'altezza.
Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi sono i vertici di un parallelogramma (teorema di Varignon). Suggerimento non richiesto: indica quale…
Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi sono i vertici di un parallelogramma (teorema di Varignon). Suggerimento non richiesto: indica quale proprietà deve avere il quadrilatero iniziale affinché il parallelogramma ottenuto sia un rettangolo, giustificando.