Problemi con le equazioni
Marco ha 13 anni e suo padre ne ha 45. Fra quanti anni il padre avrà il doppio dell'età di Marco? Risolvere un'equazione è la parte meccanica. La parte difficile, e quella che conta davvero, è impostarla: trasformare un testo in un'uguaglianza con le lettere. Con un metodo preciso e qualche modello, la maggior parte dei problemi diventa routine.
Il metodo in quattro passi
-
Scegli l'incognita e scrivi che cosa rappresenta: «$x$ = età di Marco oggi». Se ci sono più quantità, esprimile tutte con la stessa lettera.
-
Traduci ogni dato in linguaggio algebrico (il modello matematico del problema).
-
Imposta l'equazione con la condizione che rimane e risolvila.
-
Verifica la soluzione sul testo (non sull'equazione, che potrebbe essere sbagliata) e rispondi con una frase, con le unità di misura.
In un torneo di eSports, la squadra di Alex ha ottenuto il triplo dei punti della squadra di Salma. Se le due squadre insieme hanno totalizzato $152$ punti, quanti punti…
In un torneo di eSports, la squadra di Alex ha ottenuto il triplo dei punti della squadra di Salma. Se le due squadre insieme hanno totalizzato $152$ punti, quanti punti ha ottenuto ciascuna squadra?
Un fattorino di un'app di consegna di cibo a domicilio porta nello zaino il doppio di pizze rispetto agli hamburger. Se in totale trasporta $12$ ordini tra pizze e…
Un fattorino di un'app di consegna di cibo a domicilio porta nello zaino il doppio di pizze rispetto agli hamburger. Se in totale trasporta $12$ ordini tra pizze e hamburger, quanti ce ne sono di ciascun tipo?
Per risolvere il problema: «Lucia ha $38$ anni e suo figlio Ugo ha $10$ anni. Fra quanti anni l'età di Lucia sarà esattamente il doppio di quella del figlio?», Matteo ha…
Per risolvere il problema: «Lucia ha $38$ anni e suo figlio Ugo ha $10$ anni. Fra quanti anni l'età di Lucia sarà esattamente il doppio di quella del figlio?», Matteo ha scritto nella sua verifica:
$38 + x = 2 \cdot 10 + x$
- a) Spiega con parole tue i due errori concettuali commessi da Matteo nel tradurre il testo in linguaggio algebrico.
- b) Definisci con precisione cosa rappresenta l'incognita $x$ e imposta l'equazione corretta.
- c) Risolvi l'equazione passo per passo e verifica che la soluzione risponda in modo sensato alla domanda del testo.
Numeri ed età
Numeri consecutivi: $x,\ x + 1,\ x + 2$. Pari (o dispari) consecutivi: $x,\ x + 2,\ x + 4$.
Età: costruisci una tabella con «oggi», «fa» e «fra». Il tempo passa allo stesso modo per tutti:
| Oggi | Fra 5 anni | |
|---|---|---|
| Davide | $x$ | $x + 5$ |
| Sofia | $x + 3$ | $x + 8$ |
Torniamo a Marco. Fra $x$ anni Marco avrà $13 + x$ anni e il padre $45 + x$. Deve valere $45 + x = 2(13 + x)$, cioè $45 + x = 26 + 2x$, quindi $x = 19$. Fra 19 anni Marco avrà 32 anni e suo padre 64 ✓
Aisha ha $4$ anni più di suo fratello minore, Luca. Fra $6$ anni, la somma delle età di entrambi sarà $32$ anni. Calcola l'età attuale di ciascuno impostando…
Aisha ha $4$ anni più di suo fratello minore, Luca. Fra $6$ anni, la somma delle età di entrambi sarà $32$ anni. Calcola l'età attuale di ciascuno impostando un'equazione di primo grado.
La somma di tre pettorali di una gara, che risultano essere tre numeri interi consecutivi, è uguale a $63$. Quali numeri portano quei tre corridori sulla maglietta?
La somma di tre pettorali di una gara, che risultano essere tre numeri interi consecutivi, è uguale a $63$. Quali numeri portano quei tre corridori sulla maglietta?
Attualmente l'età di un padre è il triplo di quella di sua figlia. Fra $12$ anni, l'età del padre sarà solo il doppio di quella della figlia. Quanti anni ha ciascuno…
Attualmente l'età di un padre è il triplo di quella di sua figlia. Fra $12$ anni, l'età del padre sarà solo il doppio di quella della figlia. Quanti anni ha ciascuno attualmente?
Problemi di geometria
Disegna sempre la figura e scrivi le sue misure con $x$. Poi usa la formula adatta: perimetro, area, teorema di Pitagora, area del triangolo $A = \frac{b \cdot h}{2}$…
Si vuole recintare un orto scolastico di forma rettangolare per proteggere le coltivazioni. Sappiamo che la lunghezza dell'orto misura $5$ metri in più della larghezza e…
Si vuole recintare un orto scolastico di forma rettangolare per proteggere le coltivazioni. Sappiamo che la lunghezza dell'orto misura $5$ metri in più della larghezza e che per circondarlo completamente sono serviti $38$ metri di recinzione. Quali sono le dimensioni dell'orto?
Calcola il lato di un pannello pubblicitario di forma quadrata sapendo che, se il suo lato aumentasse di $2$ metri, la sua area aumenterebbe di $16$ metri quadrati.
Calcola il lato di un pannello pubblicitario di forma quadrata sapendo che, se il suo lato aumentasse di $2$ metri, la sua area aumenterebbe di $16$ metri quadrati.
Calcola le dimensioni di un triangolo isoscele sapendo che la base misura $4$ $cm$ in meno di ciascuno dei lati uguali e che il perimetro totale è $26$ $cm$. Una volta…
Calcola le dimensioni di un triangolo isoscele sapendo che la base misura $4$ $cm$ in meno di ciascuno dei lati uguali e che il perimetro totale è $26$ $cm$. Una volta trovati i lati, calcola l'area del triangolo.
Controllare che la soluzione abbia senso
Una soluzione dell'equazione non è sempre una soluzione del problema: va controllata sul testo. Alcuni problemi portano a un'equazione di secondo grado: qui vediamo i casi più semplici.
Equazioni di secondo grado semplici
La forma è $ax^2 + bx + c = 0$. Per risolverla si porta tutto a sinistra, poi si usa la formula con il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$: se $\Delta > 0$ ci sono due soluzioni $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, se $\Delta = 0$ ce n'è una sola, se $\Delta < 0$ nessuna. Il motivo: $\sqrt{\Delta}$ esiste solo se $\Delta \ge 0$. Nei problemi le soluzioni vanno poi verificate sul testo.
Si sta progettando una nuova area giochi rettangolare in un parco comunale. Si sa che la lunghezza dell'area deve essere $5$ metri maggiore della larghezza. Se l'area…
Si sta progettando una nuova area giochi rettangolare in un parco comunale. Si sa che la lunghezza dell'area deve essere $5$ metri maggiore della larghezza. Se l'area totale destinata ai giochi è $150$ $m^2$, calcola le dimensioni (lunghezza e larghezza) di tale area.
Moti, miscugli e ripartizioni
Sono i problemi classici dell'aritmetica, impostati con $x$. Per i moti con velocità costante (moto uniforme) vale $v = \dfrac{s}{t}$, cioè $s = v \cdot t$ e $t = \dfrac{s}{v}$, con $s$ lo spazio, $t$ il tempo e $v$ la velocità. Le unità devono essere coerenti: km, h e km/h, oppure m, s e m/s. Per passare da km/h a m/s si divide per 3,6 (ad esempio $36\text{ km/h} = 10\text{ m/s}$). Ecco i modelli:
| Tipo | Equazione tipica |
|---|---|
| Incontro (partono uno verso l'altro) | $v_1 t + v_2 t = \text{distanza}$ |
| Inseguimento (stesso verso) | $v_1 t = \text{vantaggio} + v_2 t$ |
| Partenza ritardata | chi parte dopo viaggia per $t - \text{ritardo}$ |
| Miscuglio con prezzi | $p_1 x + p_2 (T - x) = p_m \cdot T$ |
| Miscuglio con percentuali | $\dfrac{p_1}{100}x + \dfrac{p_2}{100}(T - x) = \dfrac{p_m}{100}\,T$ |
| Capitale in due parti | $r_1 x + r_2 (C - x) = \text{interesse totale}$ |
| Lavoro (due rubinetti) | $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t}$ |
| Ripartizione tra persone | (quota prima) − (quota dopo) = differenza |
Due ciclisti, Lucia e Marco, si trovano a una distanza di $60$ $km$ e decidono di incontrarsi in un punto intermedio. Lucia parte da $A$ verso Marco a velocità costante…
Due ciclisti, Lucia e Marco, si trovano a una distanza di $60$ $km$ e decidono di incontrarsi in un punto intermedio. Lucia parte da $A$ verso Marco a velocità costante di $20$ $km/h$. Nello stesso momento, Marco parte da $B$ verso Lucia alla velocità di $10$ $km/h$. Quanto tempo impiegheranno a incrociarsi e a che distanza dal punto $A$ avverrà l'incontro?
In un negozio gourmet si vogliono mescolare due tipi di caffè. Il caffè «Arabica» costa $12$ €/kg e il caffè «Robusta» costa $8$ €/kg. Se vogliamo ottenere una miscela…
In un negozio gourmet si vogliono mescolare due tipi di caffè. Il caffè «Arabica» costa $12$ €/kg e il caffè «Robusta» costa $8$ €/kg. Se vogliamo ottenere una miscela di $20$ $kg$ al prezzo di $10,50$ €/kg, quanti chilogrammi di ciascun tipo di caffè dobbiamo usare?
Un gruppo di amici vuole comprare un regalo di compleanno che costa $120$ €. All'inizio erano un certo numero di persone, ma all'ultimo momento si sono aggiunti $2$…
Un gruppo di amici vuole comprare un regalo di compleanno che costa $120$ €. All'inizio erano un certo numero di persone, ma all'ultimo momento si sono aggiunti $2$ amici, per cui ciascuno ha dovuto pagare $5$ € in meno. Quanti amici c'erano inizialmente nel gruppo?