Divisibilità e potenze in ℕ e ℤ
Alla gita scolastica a Firenze siete in 24 e il bus ha posti a gruppi di 4: riuscite a formare squadre uguali senza lasciare nessuno fuori? Se fossero 25 no. Come capire al volo, senza fare la divisione, se un numero è divisibile per un altro? E come si calcola con numeri molto grandi, come $2^{40}$? In questa pagina trovi gli strumenti.
Multipli, divisori e criteri di divisibilità
Un numero naturale $a$ è divisibile per $b$ (con $b \neq 0$) se esiste un numero naturale $k$ tale che $a = b \cdot k$. Allora $b$ è un divisore di $a$ e $a$ è un multiplo di $b$. Per esempio $24 = 4 \cdot 6$: 4 e 6 sono divisori di 24.
Dividere per tentativi è lungo: per questo esistono i criteri di divisibilità.
| Per | Un numero è divisibile se… |
|---|---|
| 2 | l'ultima cifra è pari (0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | la somma delle cifre è multipla di 3 |
| 5 | l'ultima cifra è 0 o 5 |
| 9 | la somma delle cifre è multipla di 9 |
| 11 | la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari è 0 o multipla di 11 |
Perché funzionano? Prendi 3 e 9: $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, … ogni potenza di 10 supera di 1 un multiplo di 9. Quindi $4\,128 = 4 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8$ differisce da $4+1+2+8$ per un multiplo di 9: conta solo la somma delle cifre.
Senza eseguire la divisione, stabilisci quali dei numeri $2.340$, $1.575$, $4.128$ e $911$ sono divisibili per $2$, $3$, $5$, $9$ e $11$. Organizza la risposta in una…
Senza eseguire la divisione, stabilisci quali dei numeri $2.340$, $1.575$, $4.128$ e $911$ sono divisibili per $2$, $3$, $5$, $9$ e $11$. Organizza la risposta in una tabella.
Determina le cifre $a$ e $b$ in modo che il numero di quattro cifre $\overline{3a2b}$ sia divisibile contemporaneamente per $5$ e per $9$. Trova tutte le soluzioni.
Determina le cifre $a$ e $b$ in modo che il numero di quattro cifre $\overline{3a2b}$ sia divisibile contemporaneamente per $5$ e per $9$. Trova tutte le soluzioni.
Operazioni in ℤ
I numeri interi relativi ($\mathbb{Z}$) estendono $\mathbb{N}$ con i numeri negativi. Per le temperature in montagna, per esempio, servono eccome: a Cortina d'Ampezzo d'inverno si scende sotto zero.
Regole essenziali:
-
sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto: $a - b = a + (-b)$, quindi $5 - (-4) = 5 + 4 = 9$;
-
nel prodotto e nel quoziente, segni uguali danno $+$, segni diversi danno $-$;
-
priorità: prima potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, poi somme e sottrazioni; si risolvono prima le parentesi più interne (tonde, poi quadre, poi graffe).
Perché «meno per meno fa più»? Perché $(-1)\cdot(-1)$ deve essere l'opposto di $(-1) \cdot 1 = -1$, cioè $+1$: così vale ancora la proprietà distributiva.
Calcola il valore delle espressioni in $\mathbb{Z}$: a) $-8 + 5 \cdot (-3) - (-4)$ b) $[(-12) + 20] : (-2) + 3 \cdot (-1)^5$
Calcola il valore delle espressioni in $\mathbb{Z}$:
- a) $-8 + 5 \cdot (-3) - (-4)$
- b) $[(-12) + 20] : (-2) + 3 \cdot (-1)^5$
La temperatura a Cortina d'Ampezzo alle $6{:}00$ è $-7\,°\text{C}$. Nelle successive $4$ ore sale di $2\,°\text{C}$ ogni ora, poi nelle $3$ ore seguenti scende di…
La temperatura a Cortina d'Ampezzo alle $6{:}00$ è $-7\,°\text{C}$. Nelle successive $4$ ore sale di $2\,°\text{C}$ ogni ora, poi nelle $3$ ore seguenti scende di $3\,°\text{C}$ ogni ora. Scrivi un'espressione in $\mathbb{Z}$ che descrive la situazione e calcola la temperatura finale.
Potenze e loro proprietà
La potenza $a^n$ (con $n$ naturale) è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$: $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$. Si pone $a^0 = 1$ per $a \neq 0$.
Proprietà (con basi non nulle):
| Proprietà | Regola |
|---|---|
| prodotto, stessa base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| quoziente, stessa base | $a^m : a^n = a^{m-n}$ (con $m \ge n$) |
| potenza di potenza | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ |
| prodotto, stesso esponente | $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ |
| quoziente, stesso esponente | $a^n : b^n = (a : b)^n$ |
Il perché è nel conteggio dei fattori: moltiplicando $m$ fattori per altri $n$ ne hai $m+n$. Il segno: una potenza con base negativa è positiva se l'esponente è pari, negativa se è dispari.
Calcola applicando le proprietà delle potenze: a) $2^5 \cdot 2^3 : 2^6$ b) $(3^2)^3 : 3^4$ c) $(-2)^3 \cdot (-2)^2$ d) $15^4 : 5^4$
Calcola applicando le proprietà delle potenze:
- a) $2^5 \cdot 2^3 : 2^6$
- b) $(3^2)^3 : 3^4$
- c) $(-2)^3 \cdot (-2)^2$
- d) $15^4 : 5^4$
Semplifica l'espressione, esprimendo il risultato come unica potenza: $$\frac{(2^3)^4 \cdot 4^5}{8^3 \cdot 2^2}$$
Semplifica l'espressione, esprimendo il risultato come unica potenza:
$$\frac{(2^3)^4 \cdot 4^5}{8^3 \cdot 2^2}$$Dimostrare con le lettere
Provare che una proprietà vale per qualche numero non basta: serve una lettera che rappresenti ogni numero. Un numero pari si scrive $2k$, un multiplo di 3 si scrive $3k$, un numero dispari $2k+1$, con $k \in \mathbb{N}$.
Anche le potenze si prestano: $2^{n+2} - 2^n = 2^n \cdot 2^2 - 2^n = 2^n(4 - 1) = 3 \cdot 2^n$, quindi è sempre multiplo di 3, e il quoziente per 3 vale $2^n$.
Cifra delle unità e periodicità
Per le unità delle potenze di 7 calcola le prime: $7^1 \to 7$, $7^2 = 49 \to 9$, $7^3 = 343 \to 3$, $7^4 = 2401 \to 1$, $7^5 \to 7$ … Le cifre si ripetono ogni 4: 7, 9, 3, 1. Per un esponente $n$ basta il resto di $n : 4$ (resto 1 → 7, 2 → 9, 3 → 3, 0 → 1).
Dimostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per $3$. Vale la stessa proprietà per la somma di quattro numeri consecutivi rispetto a $4$?…
Dimostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per $3$. Vale la stessa proprietà per la somma di quattro numeri consecutivi rispetto a $4$? Giustifica con una dimostrazione o un controesempio.
Dimostra che $2^{n+2} - 2^n$ è divisibile per $3$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Determina poi per quali $n$ il quoziente $\dfrac{2^{n+2}-2^n}{3}$ è un numero pari.
Dimostra che $2^{n+2} - 2^n$ è divisibile per $3$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Determina poi per quali $n$ il quoziente $\dfrac{2^{n+2}-2^n}{3}$ è un numero pari.
Qual è la cifra delle unità di $7^{2025}$? Individua la periodicità delle cifre delle unità delle potenze di $7$ e giustifica la risposta.
Qual è la cifra delle unità di $7^{2025}$? Individua la periodicità delle cifre delle unità delle potenze di $7$ e giustifica la risposta.
Torna all'inizio: 24 persone si dividono in gruppi di 4 perché $24 = 4 \cdot 6$; 25 no, perché non è multiplo di 4.