Divisione di polinomi

Dividi il seguente polinomio per il monomio dato, semplificando ciascuno dei termini ottenuti:

L'area di uno studio di registrazione rettangolare è data dal polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Se sappiamo che la larghezza dello studio misura $3x$ metri, qual è l'espressione algebrica che rappresenta la lunghezza dello studio?

Data la divisione tra polinomi $(6x^4 - x^3 - 2x^2 + 8x - 1) : (2x^2 - x + 1)$:

1. a) Prima di eseguire l'algoritmo, stima e ragiona:

1. Quale grado esatto avrà il polinomio quoziente?

2. Qual è il grado massimo che può avere il resto? Potrebbe il resto essere un polinomio di secondo grado come $x^2 - 3$? Giustificalo in base alla definizione di divisione tra polinomi.

3. Qual sarà il monomio di testa (il termine di grado maggiore) del quoziente?

1. b) Esegui la divisione tradizionale con l'algoritmo e verifica se le tue stime sui gradi e sul monomio di testa coincidono con il risultato ottenuto.

Utilizza l'algoritmo della divisione per trovare il quoziente $C(x)$ e il resto $R(x)$ della seguente operazione tra polinomi. Ricorda di ordinare e completare i termini del dividendo prima di iniziare:

$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$

L'area di un campo da padel rettangolare è data dal polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Se sappiamo che la larghezza del campo misura $(x + 4)$ metri, determina l'espressione algebrica che rappresenta la sua lunghezza.

In ogni divisione tra polinomi vale la relazione $P(x) = d(x) \cdot c(x) + r(x)$. Se dividendo un polinomio per $d(x) = x + 3$ abbiamo ottenuto un quoziente $c(x) = x - 1$ e un resto $r(x) = 5$, qual è il polinomio dividendo $P(x)$?

Ricostruisci il polinomio dividendo $D(x)$ sapendo che, dividendolo per $d(x) = x^2 - 1$, si ottiene come quoziente $C(x) = x + 5$ e come resto $R(x) = 3x - 2$. Utilizza la proprietà fondamentale della divisione: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$.

Dividendo un polinomio $P(x)$ per $Q(x) = x^2 - 4$, otteniamo come quoziente $C(x) = x^2 + 2x - 3$ e come resto $R(x) = 5x + 1$. Ricostruisci il polinomio originale $P(x)$ ed esprimilo in forma standard (ordinato dal grado maggiore al minore).

Applica la regola di Ruffini per calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione:

Utilizza la regola di Ruffini per eseguire la divisione del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ per il binomio $d(x) = x + 1$. Indica chiaramente qual è il quoziente $C(x)$ e il resto $R$.

Elena vuole calcolare il quoziente e il resto della divisione $(2x^3 - 7x + 5) : (x - 3)$ applicando la regola di Ruffini. Sul suo quaderno ha preparato la tabella scrivendo nella riga superiore i numeri $2$, $-7$, $5$ e a sinistra, come valore associato al divisore, il numero $-3$.

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Elena prima di mettersi a calcolare: uno relativo al segno del divisore e uno ai coefficienti del dividendo.
2. b) Correggi entrambi gli errori rifacendo in modo corretto la tabella di Ruffini, e scrivi esplicitamente il polinomio quoziente $C(x)$ e il resto $R$ ottenuti.

Applica la regola di Ruffini per calcolare il quoziente e il resto della divisione del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ per il binomio $(x + 3)$.

Ricorda che, per applicare la regola, il polinomio deve essere completo e ordinato (se manca qualche termine, si scrive il suo coefficiente $0$) e che il valore che si pone a sinistra è la radice del divisore.

1. a) Scrivi i coefficienti del dividendo e il valore di $a$ che usi nella regola di Ruffini.

1. b) Esegui la regola di Ruffini passo passo.

1. c) Scrivi il polinomio quoziente $C(x)$ e indica chiaramente qual è il valore del resto $R$.

Calcola il quoziente e il resto della seguente divisione utilizzando la regola di Ruffini. Fai attenzione, perché il divisore non ha coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1:

Ricorda che per usare Ruffini il divisore deve essere del tipo $(x - a)$. Come potresti trasformare $2x - 1$ affinché abbia quella forma?

Senza eseguire la divisione lunga né usare Ruffini, calcola il valore del resto della seguente operazione utilizzando il teorema del resto:

Calcola il valore della lettera $k$ affinché la divisione sia esatta (cioè il resto sia $0$):

Verifica se il numero $a = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ eseguendo la divisione con Ruffini e osservando il resto ottenuto. Giustifica la tua risposta basandoti sul risultato dell'operazione.

Senza eseguire la divisione, utilizza il teorema del resto per stabilire se il numero $x = 2$ è radice del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Giustifica la risposta indicando se la divisione di $P(x)$ per $(x - 2)$ è esatta o no.

Trova il valore del parametro $k$ affinché la divisione del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ per il binomio $(x - 2)$ abbia resto uguale a $10$.

Verifica se il binomio $(x + 1)$ è un fattore del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Per farlo, puoi usare la divisione in colonna, Ruffini oppure il teorema del fattore (di Ruffini). Spiega che cosa significa che un binomio sia "fattore" di un altro polinomio in relazione al resto della divisione.

Si considera il polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 15$ e si vuole studiare la sua divisione per $(x - 3)$.

1. a) Se l'unico scopo di un esercizio fosse stabilire se la divisione è esatta (cioè se il resto vale zero), confronta due percorsi possibili: la regola di Ruffini e il teorema del resto. Giustifica quale dei due procedimenti è più rapido ed efficiente per rispondere a quella domanda.
2. b) Applica il metodo che hai scelto come più efficiente nel punto precedente, calcola il resto e deduci in modo giustificato se $(x - 3)$ è o non è un fattore di $P(x)$.
3. c) Se ora ti chiedessero obbligatoriamente di trovare il polinomio quoziente $C(x)$, stabilisci se il teorema del resto ti sarebbe ancora utile e ottieni tale quoziente utilizzando il metodo adeguato.

Vogliamo determinare un polinomio di terzo grado $P(x)$ il cui coefficiente del termine di grado massimo sia $1$. Si conoscono i seguenti dati sulle sue divisioni:

1. Dividendolo per $(x - 2)$, la divisione è esatta.

2. Dividendolo per $(x + 1)$, il resto è $0$.

3. Il suo termine noto vale $-8$.

1. a) Utilizzando le prime due condizioni, determina due radici di $P(x)$ e scrivi la sua espressione in forma scomposta: $P(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - a)$, dove $a$ è una radice incognita.
2. b) A partire dal termine noto, imposta una semplice equazione per calcolare il valore esatto della radice $a$ e sviluppa il polinomio per esprimerlo nella forma usuale $P(x) = x^3 + Bx^2 + Cx + D$.
3. c) Utilizza il teorema del resto (senza fare la divisione in colonna né Ruffini) per verificare se il binomio $(x + 4)$ è anch'esso un fattore di $P(x)$.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 + x - 6$ sia divisibile contemporaneamente per $(x - 1)$ e per $(x + 2)$. Suggerimento: utilizza il teorema del resto per impostare un sistema di equazioni.

Determina il valore di $k$ affinché il resto della divisione $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sia uguale al resto della divisione $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.

Considera il polinomio $P(x) = 3x^3 - kx^2 + 12x - 4$.

1. Calcola il valore di $k$ affinché $x = 2$ sia una radice del polinomio.

2. Una volta trovato $k$, utilizza la regola di Ruffini per dividere $P(x)$ per $(x - 2)$ e verifica che il resto è zero.

3. Il quoziente ottenuto è un polinomio monico di secondo grado? (Un polinomio è monico se il coefficiente del termine di grado massimo è 1).

Considera un polinomio $P(x)$ di cui non conosciamo l'espressione completa, ma sappiamo il risultato di due sue divisioni: dividendo $P(x)$ per $(x - 2)$ il resto ottenuto è $7$, e dividendo $P(x)$ per $(x + 1)$ il resto ottenuto è $-2$.

1. a) Se dividiamo $P(x)$ per il polinomio di secondo grado $d(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) = x^2 - x - 2$, spiega in dettaglio, a partire dalla relazione tra i gradi, perché il resto $R(x)$ deve avere al massimo grado $1$ e può sempre scriversi come $R(x) = mx + n$.
2. b) Imposta l'uguaglianza fondamentale della divisione: $P(x) = (x^2 - x - 2) \cdot C(x) + (mx + n)$. Senza conoscere il quoziente $C(x)$, sostituisci i valori opportuni di $x$ in tale uguaglianza per formulare un sistema di due equazioni lineari nelle incognite $m$ e $n$.
3. c) Risolvi il sistema e scrivi l'espressione algebrica definitiva del resto $R(x)$.

Un gruppo di giovani programmatori sta progettando un livello di un videogioco in cui il volume di una cassa di rifornimenti è $V(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Se la base della cassa ha un'area di $A(x) = x^2 - 4x + 4$, qual è l'espressione dell'altezza della cassa? Quale valore assume l'altezza se $x = 5$ unità?

Un'azienda di logistica utilizza scatole di cartone il cui volume in centimetri cubi è dato dal polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Se sappiamo che l'area della base della scatola è $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcola il polinomio che rappresenta l'altezza $H(x)$ della scatola.

L'utile totale di un negozio di videogiochi per la vendita di una nuova uscita è espresso dal polinomio $B(x) = x^3 + 15x^2 + 54x$. Se l'utile per ogni videogioco venduto è rappresentato dal binomio $(x + 6)$, esegui la divisione per trovare il polinomio che rappresenta il numero totale di videogiochi venduti.

Si vuole progettare un cartellone pubblicitario rettangolare la cui superficie totale è definita da $S(x) = x^4 - 16$. Se sappiamo che uno dei suoi lati misura $L(x) = x^2 + 4$, calcola il polinomio che rappresenta l'altro lato. Poi indica se l'area è divisibile per $(x - 2)$ e giustifica la risposta senza eseguire la divisione in colonna.

Un'azienda di spedizioni e logistica con sede a Bologna progetta scatole modulari per ottimizzare il trasporto sui furgoni. Il volume totale di carico (in decimetri cubi, equivalenti a litri) di una spedizione è modellizzato dal polinomio:

dove $x$ è una quota di progetto in decimetri con $x > 1$. La superficie della base del furgone su cui si impilano le scatole, misurata in decimetri quadrati, è data dal polinomio:

1. a) Modella l'altezza $H(x)$ raggiunta dalla pila dividendo il volume $V(x)$ per la superficie della base $S(x)$. Esegui la divisione e interpreta il significato del resto ottenuto: le scatole si incastrano occupando tutta la base senza lasciare vuoti o volumi avanzati che impediscano di chiudere il portellone?
2. b) Se per una certa consegna si fissa $x = 3\text{ dm}$, calcola il valore numerico della superficie della base, dell'altezza e del volume totale, e verifica che valga la prova della divisione: $V(3) = S(3) \cdot H(3) + R$.

Sfida del tema. Come ottimizzare l'imballaggio delle spedizioni? Ridisegnerai una scatola di cartone per spedizioni sostenibili partendo da un oggetto di uso quotidiano.

1. Raccolta dei dati e espressioni: Misura in centimetri la lunghezza, la larghezza e l'altezza di una scatola reale che hai in casa. Supponi di aumentare la lunghezza di $x\text{ cm}$, la larghezza di $(x - 1)\text{ cm}$ e di lasciare fissa l'altezza al suo valore misurato $h$. Scrivi le espressioni algebriche dei nuovi spigoli.

2. Prodotto e somma: Determina il polinomio del volume totale $V(x)$ moltiplicando le tre dimensioni e il polinomio della superficie totale $A(x)$ sommando le aree delle sue sei facce per stimare il cartone necessario.

3. Divisione: Se la scatola trasporterà pezzi modulari il cui volume unitario è $(x + 2)\text{ cm}^3$, dividi $V(x)$ per $(x + 2)$ applicando la divisione tra polinomi per ottenere il quoziente $C(x)$ e il resto $R$, in modo che $V(x)=(x+2)C(x)+R$. Per $x = 2,5$, verifica che il numero massimo di unità complete che ci stanno in base al volume è la parte intera di $V/(x+2)$ e spiega perché, in generale, non coincide con il valore del quoziente, né il resto con il volume non sfruttato.

4. Relazione finale: Utilizza un foglio di calcolo o GeoGebra per valutare il volume utile e il cartone utilizzato se si amplia $x = 2,5\text{ cm}$, redigendo una proposta motivata sulla fattibilità dell'imballaggio.

Verranno valutati:

• Precisione nell'impostazione delle espressioni algebriche e nel calcolo del prodotto e della somma.

• Padronanza dell'algoritmo della divisione tra polinomi e interpretazione critica di quoziente e resto.

• Uso adeguato dello strumento digitale e giustificazione delle conclusioni a partire dai dati misurati.