Esercizi: Insiemi e operazioni tra insiemi

Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{2,4,6,8,10\}$, determina:

1. a) $A\cup B$
2. b) $A\cap B$
3. c) $A\setminus B$
4. d) $B\setminus A$

Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:

1. a) $A=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è multiplo di } 4 \text{ e } x<30\}$
2. b) $B=\{x\in\mathbb{N} : x \text{ è divisore di } 36\}$
3. c) $C=\{x\in\mathbb{Z} : -3 < x \le 2\}$

Dato $A=\{a,b,c\}$, scrivi tutti i sottoinsiemi di $A$ e indica quanti sono. Quanti sono i sottoinsiemi propri?

In una classe di $28$ studenti del liceo di Siena, $17$ studiano spagnolo, $14$ studiano tedesco e $5$ non studiano nessuna delle due lingue.

1. a) Quanti studenti studiano entrambe le lingue?
2. b) Quanti studiano solo spagnolo?

Siano $A$ l'insieme dei divisori di $24$ e $B$ l'insieme dei divisori di $36$.

1. a) Scrivi $A$ e $B$ per elencazione.
2. b) Determina $A\cap B$ e osserva quale numero è il suo massimo elemento. A quale concetto è collegato?
3. c) Determina $A\cup B$ e il numero dei suoi elementi.

Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$ l'insieme universo, $A$ l'insieme dei numeri pari e $B$ l'insieme dei multipli di $3$ in $U$. Determina:

1. a) $\overline{A}$ (complementare di $A$ in $U$)
2. b) $A\cap B$
3. c) $\overline{A\cup B}$
4. d) $\overline{A}\cap\overline{B}$ e confrontalo con il punto c). Cosa osservi?

Un sondaggio su $120$ turisti a Venezia rileva: $70$ hanno visitato Palazzo Ducale (D), $60$ le isole della laguna (L), $50$ il Ponte di Rialto (R); $30$ hanno visitato D e L, $25$ D e R, $20$ L e R; $10$ tutti e tre i luoghi.

1. a) Quanti turisti hanno visitato almeno un luogo?
2. b) Quanti non ne hanno visitato nessuno?
3. c) Quanti hanno visitato esattamente un luogo?

Dimostra, con un diagramma di Venn e con un ragionamento sugli elementi, che per ogni coppia di insiemi finiti vale $|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$. Usa poi la formula per trovare $|A\cap B|$ sapendo che $|A|=23$, $|B|=19$ e $|A\cup B|=35$.

Siano $A$ e $B$ sottoinsiemi di un universo $U$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando con una dimostrazione o con un controesempio:

1. a) Se $A\subseteq B$, allora $A\cup B=B$.
2. b) Se $A\cap B=\varnothing$, allora $A\subseteq\overline{B}$.
3. c) $A\setminus B = B\setminus A$ per ogni $A$, $B$.