Esercizi: Congruenza dei triangoli e criteri

Enuncia i tre criteri di congruenza dei triangoli (primo, secondo e terzo criterio).

I triangoli $ABC$ e $DEF$ hanno $AB=DE=7\text{ cm}$, $AC=DF=5\text{ cm}$ e $\hat{A}=\hat{D}=50^\circ$. Sono congruenti? Indica il criterio applicato e scrivi quali sono gli elementi corrispondenti rimanenti.

Distingui, in ciascuna proposizione, ipotesi e tesi:

1. a) «Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.»
2. b) «Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.»

Nel triangolo $ABC$ il punto $M$ è il punto medio di $BC$. Si prolunga la mediana $AM$ oltre $M$ di un segmento $MD$ congruente ad $AM$.

1. a) Dimostra che i triangoli $ABM$ e $DCM$ sono congruenti.
2. b) Deduci che $AB=CD$.

Sia $ABC$ un triangolo isoscele sulla base $BC$ e siano $M$ il punto medio di $BC$. Dimostra che $AM$ è anche altezza e bisettrice dell'angolo al vertice $A$.

Sia $P$ un punto della bisettrice di un angolo $x\hat{O}y$. Siano $H$ e $K$ le proiezioni ortogonali di $P$ sui lati $Ox$ e $Oy$. Dimostra che $PH=PK$.

Dimostra che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti.

Sia $ABCD$ un quadrilatero con $AB=CD$ e $AD=BC$.

1. a) Dimostra che $\hat{A}=\hat{C}$ e $\hat{B}=\hat{D}$ tracciando la diagonale $BD$ e la diagonale $AC$.
2. b) Spiega, usando gli angoli alterni interni, perché $ABCD$ è un parallelogramma.

Sia $ABC$ un triangolo e siano $BD$ e $CE$ le altezze relative ai lati $AC$ e $AB$. Dimostra che, se $BD=CE$, allora il triangolo $ABC$ è isoscele sulla base $BC$.