Esercizi: Angoli, lunghezze e aree

Un designer sta creando un mosaico per la pavimentazione di una piazza utilizzando piastrelle a forma di esagono regolare. Calcola quanto misura la somma di tutti gli angoli interni dell'esagono e qual è il valore di ciascuno dei suoi angoli interni.

Il comune vuole recintare un parco rettangolare lungo $40$ metri e largo $30$ metri. Inoltre vuole costruire un sentiero in linea retta che attraversi il parco da un angolo a quello opposto (la diagonale). Usa il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza di tale sentiero.

Un'azienda di segnaletica sta producendo un cartello di "Attenzione" a forma di rombo. Se le diagonali del rombo misurano rispettivamente $16$ cm e $12$ cm, calcola l'area della lastra di metallo necessaria per realizzarlo.

In una pizzeria, una pizza familiare ha un diametro di $40$ cm. Se tagliamo una porzione che forma un settore circolare con un angolo al centro di $60^\circ$, calcola l'area di quella fetta di pizza. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Osserva la seguente circonferenza di centro $O$. Se l'angolo al centro $\angle AOB$ misura $80^\circ$, calcola il valore dell'angolo alla circonferenza $\angle ACB$ che insiste sullo stesso arco.

Un centro sportivo ha una piscina dalla forma particolare: un rettangolo di $20$ m per $10$ m, con una zona semicircolare per bambini aggiunta su uno dei lati corti. Calcola il perimetro totale della piscina. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Calcola l'area di un pentagono regolare sapendo che il suo lato misura $10$ cm e il suo apotema misura circa $6,88$ cm.

Per misurare l'altezza a cui si trova un lampione rotto in una zona industriale di Monza, Marco appoggia una scala a pioli lunga $5\text{ m}$ alla sommità del palo, con il piede della scala a $3\text{ m}$ dalla base del palo sul terreno orizzontale. Per calcolare l'altezza $h$ del lampione, Marco scrive sul quaderno:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Spiega, senza eseguire ulteriori operazioni, perché il risultato numerico ottenuto da Marco è fisicamente impossibile in questo contesto.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Marco nell'applicare il teorema di Pitagora.
3. c) Correggi il procedimento e calcola l'altezza reale del lampione.

Nei lavori di ristrutturazione di una piazza pedonale a Lucca verranno posate lastre di pietra a forma di poligono regolare. L'architetto comunale ha specificato nei disegni che ciascuno degli angoli interni di tali lastre deve misurare esattamente $135^\circ$.

1. a) Imposta un'equazione a partire dalla formula che collega il numero di lati $n$ di un poligono regolare all'ampiezza dei suoi angoli interni e risolvila per scoprire di quale poligono regolare si tratta.
2. b) Gli operai vogliono posare queste lastre sul terreno unendole soltanto lungo i bordi. È possibile pavimentare la piazza usando esclusivamente questo tipo di lastre senza lasciare spazi vuoti né sovrapposizioni? Giustifica la risposta analizzando quanti gradi devono sommare gli angoli che si incontrano in uno stesso vertice.

Un operaio addetto alla manutenzione vuole installare una telecamera di sicurezza nell'angolo di un magazzino rettangolare. Per farlo, appoggia una scala lunga $5$ metri in modo che il piede disti esattamente $1,4$ metri dalla parete. Tuttavia, si accorge che per avere l'angolo di visione corretto, la telecamera deve stare $60$ cm più in alto. Quale lunghezza minima dovrebbe avere la nuova scala se mantiene il piede nello stesso punto?

Un'agenzia di design sta creando un nuovo logo basato su un esagono regolare di lato $6$ cm. All'interno dell'esagono ha tracciato le diagonali che collegano vertici alterni, formando una "stella di Davide" o esagramma. Calcola il valore degli angoli interni dei triangoli che formano la stella e determina l'area della parte ombreggiata (la stella centrale) sapendo che l'apotema dell'esagono originale è approssimativamente $5,2$ cm.

Un architetto ha progettato una finestra per un centro culturale a forma di trapezio isoscele. La base maggiore misura $2,8$ metri, la base minore misura $1,6$ metri e i lati non paralleli misurano $1,2$ metri ciascuno. Per il preventivo, deve calcolare l'area totale del vetro e la somma degli angoli interni della finestra per ordinare il telaio metallico. Qual è l'area della finestra?

Stiamo progettando un parco giochi con un'area giochi circolare. Nella pianta abbiamo disegnato un triangolo inscritto nella circonferenza dell'area giochi in modo che uno dei lati del triangolo coincida esattamente con il diametro della circonferenza, che misura $10$ metri. Se un altro dei lati misura $6$ metri:

1. a) Giustifica di che tipo è il triangolo in base ai suoi angoli.

1. b) Calcola l'area della regione dell'area giochi che resta fuori dal triangolo (la parte ombreggiata della figura).

In una piazza della tua città c'è una piastrella gigante a forma di corona circolare. Il raggio del cerchio esterno è $4$ metri. Si sa che l'area della parte calpestabile (la corona stessa) è $7\pi$ $m^2$. Calcola il raggio del cerchio interno e determina la lunghezza della recinzione circolare che servirebbe per circondare soltanto il vuoto interno.

Un'asta per segnalazioni alta $8$ metri proietta un'ombra di $6$ metri sul suolo alle 11:00 del mattino. Nello stesso istante, l'ombra di una torre di raffreddamento vicina misura $45$ metri.

1. Utilizza la similitudine dei triangoli per calcolare l'altezza della torre.

2. Se il cavo di sicurezza che va dalla punta dell'asta per segnalazioni fino all'estremo della sua ombra fosse teso, quale lunghezza avrebbe?

Calcola l'area di un segmento circolare di ampiezza $90^\circ$ appartenente a una circonferenza di raggio $12$ cm.

Un appezzamento ha la forma di un parallelogramma con una base di $15$ metri e un'altezza di $8$ metri. In uno degli angoli il proprietario ha installato un irrigatore che innaffia in un angolo di $60^\circ$ con una gittata di $6$ metri.

1. Calcola l'area totale dell'appezzamento.

2. Calcola l'area dell'appezzamento che rimane senza irrigazione.

Nel progetto di una nuova rotonda a Bergamo è prevista una zona verde centrale a forma di esagono regolare di lato $10\text{ m}$, inscritta in un cordolo circolare esterno i cui vertici coincidono con quelli dell'esagono.

1. a) Prima di fare calcoli dettagliati, stima mentalmente quale percentuale dell'area totale del cerchio occuperà approssimativamente la zona verde esagonale (circa il $50\,\%$, il $80\,\%$ o più del $95\,\%$?). Giustifica la tua intuizione confrontando visivamente le due figure geometriche.
2. b) Calcola l'area del cerchio circoscritto e l'area dell'esagono regolare (determina prima il suo apotema applicando il teorema di Pitagora in uno dei triangoli equilateri che lo compongono). Considera $\pi \approx 3,14$.
3. c) Ottieni la percentuale reale di superficie occupata dall'esagono rispetto al cerchio e confrontala con la tua stima iniziale per valutare se la tua previsione era ragionevole.

Una torre di avvistamento forestale del servizio di emergenza si trova in cima a un colle nelle Prealpi. La torre ha una visuale diretta di $12\text{ km}$ tutt'intorno in tutte le direzioni ($360^\circ$). Tuttavia, una formazione rocciosa a nord-ovest blocca completamente la vista in un settore angolare di $60^\circ$. Il piano di prevenzione classifica la zona visibile dalla torre in due categorie:

• Zona di intervento rapido: a una distanza minore o uguale a $4\text{ km}$ dalla torre.

• Zona di allerta comprensoriale: a una distanza maggiore di $4\text{ km}$ e fino alla portata massima di $12\text{ km}$.

1. a) Modella la situazione calcolando la superficie totale di bosco (in $\text{km}^2$) che i sorveglianti possono effettivamente controllare dalla torre (considera $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcola l'area corrispondente alla «zona di allerta comprensoriale» visibile.
3. c) Se i servizi di emergenza rilevano una colonna di fumo nella zona visibile, è più probabile che il focolaio si trovi nella zona di intervento rapido o in quella di allerta comprensoriale, supponendo che il rischio sia distribuito in modo omogeneo sul terreno? Giustifica la risposta confrontando quantitativamente le due aree.

Un architetto sta progettando una vetrata per un museo con una forma geometrica particolare. Il progetto consiste in un triangolo isoscele i cui lati uguali misurano $10\text{ m}$ e la cui base misura $12\text{ m}$. All'interno, vuole collocare un pannello solare rettangolare la cui base poggi sulla base del triangolo e i cui due vertici superiori tocchino i lati uguali del triangolo. Se l'architetto vuole che l'altezza del rettangolo sia esattamente la metà della sua base, calcola le dimensioni del rettangolo e l'area della regione del triangolo che resta scoperta dal pannello solare.

In un parco tecnologico hanno costruito una piazza a forma di esagono regolare di lato $20\text{ m}$. Al centro della piazza è stata installata una fontana circolare il cui bordo è tangente a tutti i lati dell'esagono. Il comune vuole pavimentare con piastrelle speciali solo la superficie compresa tra la fontana e il perimetro dell'esagono. Calcola l'area da pavimentare utilizzando $\pi \approx 3,1416$ e arrotondando il risultato a due decimali.

Un'agenzia di grafica sta creando un nuovo logo basato sulle proprietà della circonferenza. Ha disegnato una circonferenza di raggio $R = 8\text{ cm}$. Al suo interno ha tracciato due corde parallele poste ai due lati del centro, una lunga $10\text{ cm}$ e l'altra lunga $14\text{ cm}$. L'area del logo è il trapezio isoscele che si forma unendo gli estremi di queste due corde. Calcola l'area di tale trapezio e la distanza esatta che separa le due corde.

Un drone di sorveglianza ha un angolo di visione di $90^\circ$. Se il drone si trova a un'altezza di $90\text{ m}$ sopra il punto centrale di un terreno rettangolare, la distanza dal drone a qualsiasi vertice del terreno è $150\text{ m}$ e dalla sua posizione i vertici di uno dei lati maggiori del terreno si vedono sotto quell'angolo di $90^\circ$, calcola la lunghezza del terreno. Inoltre, determina l'area totale del terreno rettangolare.

Si vuole costruire un lucernario nel soffitto di un salone a forma di triangolo scaleno. I lati del triangolo misurano $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ e $15\text{ dm}$. Il vetro utilizzato costa $45\text{ €}$ per ogni decimetro quadrato. Calcola l'altezza del triangolo relativa al lato di $14\text{ dm}$ (utilizzando un sistema di equazioni derivato dal teorema di Pitagora) e il costo totale del vetro necessario per il lucernario.

Il "Rosone della Cattedrale" di una città è formato da una circonferenza esterna di diametro $6\text{ m}$. Al suo interno vengono tracciate quattro circonferenze uguali i cui diametri coincidono con quattro raggi perpendicolari della circonferenza esterna, formando un fiore a quattro petali. Calcola l'area dei quattro petali delimitati dall'incrocio di queste quattro circonferenze.

Un segnale stradale ha forma di ottagono regolare. Sappiamo che la distanza massima tra due vertici opposti (il diametro della circonferenza circoscritta) è $80\text{ cm}$. Un operaio deve dipingere il segnale di rosso, tranne un quadrato centrale i cui vertici coincidono con i punti medi di quattro dei lati dell'ottagono (formando una croce interna). Calcola l'area che deve essere dipinta di rosso e l'angolo interno di tale ottagono.

Per fabbricare una tramoggia di scarico agricola, un'officina deve tagliare una lamiera d'acciaio a forma di trapezio isoscele le cui basi misurano $30\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, e i cui lati obliqui misurano $17\text{ cm}$ ciascuno. Due studenti di terza media propongono modi diversi per trovare l'area:

• Strategia di Lucia: Tracciare le due altezze dagli estremi della base minore per scomporre il trapezio in un rettangolo centrale e due triangoli rettangoli uguali agli estremi; calcolare l'altezza con il teorema di Pitagora e sommare le tre aree parziali.

• Strategia di Matteo: Prolungare i lati obliqui verso l'alto finché si incontrano in un punto esterno, formando un grande triangolo isoscele che comprende il trapezio e un piccolo triangolo isoscele superiore; calcolare le altezze di entrambi i triangoli mediante la similitudine, calcolare le loro aree e sottrarle.

1. a) Sviluppa completamente la strategia di Lucia e trova l'area del trapezio.
2. b) Analizza la proposta di Matteo: è geometricamente valida? Quali conoscenze aggiuntive richiede, che la rendono un percorso inutilmente complesso rispetto a quello di Lucia?
3. c) Dimostra come il ragionamento di scomposizione di Lucia permetta di giustificare in generale la formula classica dell'area di un qualsiasi trapezio in cui i piedi di tali altezze cadano sulla base maggiore, $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$, raggruppando algebricamente il rettangolo e i due triangoli.

Un laboratorio di restauro di Napoli deve riabilitare un rosone circolare di vetro di $2\text{ m}$ di diametro ($1\text{ m}$ di raggio). Nel progetto originale, una modanatura metallica rettilinea unisce due punti $A$ e $B$ della circonferenza in modo che l'angolo al centro che sottende tale arco misuri esattamente $120^\circ$. Per garantire la struttura, si deve collocare un'asta da un punto qualsiasi $P$, situato sull'arco maggiore $AB$, verso gli estremi $A$ e $B$, formando il triangolo inscritto $APB$.

1. a) Utilizza la proprietà che mette in relazione l'angolo alla circonferenza con l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco per dimostrare quale valore esatto abbia l'angolo $\widehat{APB}$. Questo angolo varia se spostiamo il punto $P$ lungo tale arco maggiore? Giustifica il tuo ragionamento.
2. b) Traccia mentalmente i raggi $OA$ e $OB$ che vanno dal centro $O$ agli estremi della corda. Scomponi il triangolo isoscele $OAB$ in due triangoli rettangoli tracciando l'altezza dal centro alla corda e applica il teorema di Pitagora (sfruttando il fatto che gli angoli acuti misurano $30^\circ$ e $60^\circ$) per calcolare la distanza del centro $O$ dalla corda e la lunghezza esatta della corda $AB$.
3. c) Calcola l'area del segmento circolare minore delimitato dalla corda $AB$ e dall'arco minore $AB$ (prendi $\pi \approx 3,14$). Spiega dettagliatamente la sottrazione di aree che permette di ottenere tale superficie.

Sfida del tema. Come ottimizzeresti lo spazio di una piazza del tuo comune? Immagina che il comune ti incarichi di progettare la riqualificazione geometrica di un parco vicino.

1. Scala e similitudine: Cattura il parco su Google Maps o sul Geoportale del Catasto. Con lo strumento di misurazione, ottieni una distanza reale di riferimento e trasferisci la pianta in GeoGebra applicando un adeguato rapporto di similitudine $k$.

2. Luoghi geometrici: Colloca tre accessi principali non allineati e trova il punto equidistante da essi (circocentro mediante gli assi dei segmenti) per installare un lampione centrale; verifica che cada all'interno del parco e, in caso contrario, giustifica un'altra posizione. Inoltre, traccia la bisettrice dell'angolo formato da due viali per collocare una fila di alberi.

3. Angoli, lunghezze e aree: Misura gli angoli del poligono del parco. Scomponi il recinto in figure piane elementari (triangoli, trapezi o settori circolari) e calcola il suo perimetro e la sua area reale totale in $\text{m}^2$.

Prodotto finale: Una breve relazione (una pagina) con la schermata di GeoGebra, lo svolgimento dei calcoli e il preventivo stimato se seminare il prato costa $7,50$ €/m$^2$.

Si valuteranno:

• Precisione nell'uso delle scale e della proporzionalità geometrica con dati reali.

• Corretta costruzione e giustificazione dei luoghi geometrici (assi dei segmenti e bisettrice).

• Esattezza nel calcolo di angoli, lunghezze e aree composte.