Esercizi: Divisibilità e potenze in ℕ e ℤ

Senza eseguire la divisione, stabilisci quali dei numeri $2.340$, $1.575$, $4.128$ e $911$ sono divisibili per $2$, $3$, $5$, $9$ e $11$. Organizza la risposta in una tabella.

Calcola applicando le proprietà delle potenze:

1. a) $2^5 \cdot 2^3 : 2^6$
2. b) $(3^2)^3 : 3^4$
3. c) $(-2)^3 \cdot (-2)^2$
4. d) $15^4 : 5^4$

Calcola il valore delle espressioni in $\mathbb{Z}$:

1. a) $-8 + 5 \cdot (-3) - (-4)$
2. b) $[(-12) + 20] : (-2) + 3 \cdot (-1)^5$

Determina le cifre $a$ e $b$ in modo che il numero di quattro cifre $\overline{3a2b}$ sia divisibile contemporaneamente per $5$ e per $9$. Trova tutte le soluzioni.

Semplifica l'espressione, esprimendo il risultato come unica potenza:

La temperatura a Cortina d'Ampezzo alle $6{:}00$ è $-7\,°\text{C}$. Nelle successive $4$ ore sale di $2\,°\text{C}$ ogni ora, poi nelle $3$ ore seguenti scende di $3\,°\text{C}$ ogni ora. Scrivi un'espressione in $\mathbb{Z}$ che descrive la situazione e calcola la temperatura finale.

Dimostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per $3$. Vale la stessa proprietà per la somma di quattro numeri consecutivi rispetto a $4$? Giustifica con una dimostrazione o un controesempio.

Dimostra che $2^{n+2} - 2^n$ è divisibile per $3$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Determina poi per quali $n$ il quoziente $\dfrac{2^{n+2}-2^n}{3}$ è un numero pari.

Qual è la cifra delle unità di $7^{2025}$? Individua la periodicità delle cifre delle unità delle potenze di $7$ e giustifica la risposta.