Charge et décharge d'un condensateur

Le condensateur : charge, capacité, énergie

Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Lorsqu'on le soumet à une tension $u_C$, l'armature reliée à la borne positive porte une charge $+q$ et l'autre une charge $-q$.

Pourquoi proportionnelle ? Plus la tension appliquée est grande, plus elle « pousse » de charges sur les armatures. La capacité $C$ mesure la facilité avec laquelle le condensateur se charge. Les capacités usuelles sont en $\mu\text{F}$ ($10^{-6}\ \text{F}$), nF ou pF.

Le courant est le débit de charge : $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ (en convention récepteur, $i$ orienté vers l'armature positive).

Charge à travers un conducteur ohmique

On place en série un générateur idéal de tension continue $E$, un conducteur ohmique $R$ et un condensateur initialement déchargé. À $t = 0$, on ferme l'interrupteur.

La loi des mailles donne $E = u_R + u_C$, avec $u_R = R\,i$ et $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ :

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Avec $u_C(0) = 0$, sa solution est :

Pourquoi le courant décroît-il ? Au début, $u_C = 0$ donc toute la tension $E$ est aux bornes de $R$ : $i = E/R$. Au fur et à mesure que le condensateur se charge, $u_R = E - u_C$ diminue, donc $i$ aussi.

Temps caractéristique $\tau$

La grandeur $\tau = RC$ s'exprime en secondes ($\Omega \times \text{F} = \text{s}$). Elle fixe la rapidité du phénomène.

À $t = \tau$, $u_C = E(1 - e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$. On considère le condensateur chargé après environ $5\tau$.

La tangente à l'origine a pour pente $\dfrac{E}{\tau}$ ; elle coupe l'asymptote $u_C = E$ en $t = \tau$. C'est une méthode graphique pour lire $\tau$.

Décharge et bilan d'énergie

Le condensateur chargé sous $E$ est maintenant relié au seul conducteur ohmique $R$. La loi des mailles donne $u_R + u_C = 0$, soit :

La solution avec $u_C(0) = E$ est :

Le courant de décharge est de signe opposé à celui de la charge : $i = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

Énergie

L'énergie stockée est $E_C(t) = \dfrac{1}{2}C\,u_C^2 = \dfrac{1}{2}CE^2\,e^{-2t/\tau}$. Elle décroît deux fois plus vite que la tension. La puissance dissipée dans $R$ est $P = R i^2$ et son intégrale entre $0$ et l'infini vaut $\dfrac{1}{2}CE^2$ : toute l'énergie stockée est dissipée par effet Joule.

Voici un court programme Python pour tracer la décharge :

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

R, C, E = 100, 1e-3, 10

tau = R * C

t = np.linspace(0, 5 * tau, 200)

uC = E * np.exp(-t / tau)

plt.plot(t, uC)

plt.xlabel("t (s)")

plt.ylabel("u_C (V)")

plt.show()

Applications : flash et capteurs capacitifs

Le flash d'un appareil photo se charge lentement à travers une grande résistance (les piles fournissent peu de puissance), puis se décharge très vite dans une lampe de très faible résistance. Il s'agit de deux circuits différents : la charge se fait à travers une grande résistance $R_\text{charge}$, donc $\tau_\text{charge} = R_\text{charge}C$ est grand ; la décharge se fait à travers la lampe, de très faible résistance $R_\text{lampe}$, donc $\tau_\text{décharge} = R_\text{lampe}C$ est petit. Dans un même circuit RC, la charge et la décharge ont le même $\tau$. Retour au début : voilà pourquoi le flash est lent à charger et quasi instantané à décharger.

Le temps pour atteindre $90\ \%$ de $E$ se calcule par $1 - e^{-t/\tau} = 0{,}90$, soit $t_{90} = \tau\ln 10 \approx 2{,}3\,\tau$.

À $t=0$ le condensateur déchargé se comporte comme un fil, puis, une fois chargé, comme un interrupteur ouvert : il ne se comporte pas comme un simple interrupteur.

À partir de mesures $(t_i ; u_i)$, on peut déterminer $\tau$ avec Python : comme $\ln(1 - u_C/E) = -t/\tau$, la pente d'une droite donne $-1/\tau$.

import numpy as np

E = 5

t = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) / 10        # en s

u = np.array([0, 197, 316, 389, 434]) / 100  # en V

y = np.log(1 - u / E)

pente = np.polyfit(t, y, 1)[0]

tau = -1 / pente

print(tau)

L'essentiel

• Un condensateur vérifie $q = C\,u_C$ et stocke l'énergie $E_C = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$ ; son courant est $i = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$.

• Charge : $RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$, soit $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$, avec $\tau = RC$.

• Décharge : $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$.

• À $t = \tau$ : $63\ \%$ de la charge (ou $37\ \%$ restants) ; le régime permanent est atteint vers $5\tau$.

• La tangente à l'origine coupe l'asymptote en $t = \tau$.

• L'énergie stockée est entièrement dissipée par effet Joule lors de la décharge.