Mouvement et interactions

Lors d'un entraînement de handball à Rennes, Camille lance un ballon horizontalement depuis le point O situé à une hauteur $h = 1{,}80~\text{m}$ au-dessus du sol. Le vecteur vitesse initiale, horizontal, a pour valeur $v_0 = 6{,}0~\text{m·s}^{-1}$. Le ballon est modélisé par un point matériel G de masse $m$, soumis uniquement à son poids. Le champ de pesanteur est uniforme, de valeur $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.

On choisit le repère $(O ; x, y)$ avec l'axe $Ox$ horizontal dans le sens du lancer et l'axe $Oy$ vertical vers le haut. On prend $t = 0$ à l'instant du lancer.

1. Appliquer la deuxième loi de Newton au ballon dans un référentiel terrestre supposé galiléen, puis établir les coordonnées du vecteur accélération.

2. Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement.

3. Calculer la durée de la chute du ballon jusqu'au sol, puis la distance horizontale parcourue (portée).

4. Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$.

Lors d'un match à Villeurbanne, une joueuse de basket lance le ballon depuis un point O situé à $2{,}00~\text{m}$ du sol. Le vecteur vitesse initiale, de valeur $v_0$, fait un angle $\alpha = 55^\circ$ avec l'horizontale. Le centre C du panier est situé à la hauteur $3{,}05~\text{m}$, à la distance horizontale $D = 4{,}60~\text{m}$ de la verticale passant par O. Le ballon est modélisé par un point matériel soumis uniquement à son poids. On prend $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$. On choisit un repère $(O ; x, y)$ d'origine le point de lancer, $Ox$ horizontal vers le panier et $Oy$ vertical vers le haut.

1. Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du centre de masse du ballon en fonction de $v_0$, $\alpha$ et $g$.

2. Établir l'équation de la trajectoire :

1. Déterminer la valeur de $v_0$ pour que le ballon passe exactement par le centre C du panier.

2. Calculer, pour cette valeur de $v_0$, la durée du trajet entre O et C, puis la valeur de la vitesse du ballon lorsqu'il arrive en C, en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.

3. La joueuse lance en réalité avec $v_0 = 7{,}40~\text{m·s}^{-1}$ (même angle). Déterminer, en justifiant, si le ballon passe au-dessus ou au-dessous du point C lorsqu'il atteint l'abscisse $x = D$.

Dans un tube cathodique de laboratoire, un faisceau d'électrons est dévié par un condensateur plan. Un électron de masse $m = 9{,}11\times10^{-31}~\text{kg}$ et de charge $-e$ avec $e = 1{,}60\times10^{-19}~\text{C}$ pénètre en O, à égale distance de deux plaques horizontales, avec une vitesse $\vec{v}_0$ horizontale de valeur $v_0 = 2{,}0\times10^{7}~\text{m·s}^{-1}$.

Les deux plaques, de longueur $L = 6{,}0~\text{cm}$, sont séparées de $d = 4{,}0~\text{cm}$. Elles sont soumises à une tension $U = 200~\text{V}$ : la plaque supérieure est reliée à la borne négative du générateur, la plaque inférieure à la borne positive. Entre les plaques, le champ électrique $\vec{E}$ est supposé uniforme, vertical, de valeur $E = U/d$. On choisit le repère $(O ; x, y)$ avec $Ox$ horizontal dans le sens de $\vec{v}_0$ et $Oy$ vertical vers le haut. On prend $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.

1. Représenter, sur un schéma, les plaques, le champ $\vec{E}$ et la force électrique $\vec{F}$ subie par l'électron. Justifier le sens de $\vec{F}$.

2. Calculer les valeurs de la force électrique et du poids de l'électron. Justifier que le poids soit négligé.

3. Établir les coordonnées du vecteur accélération, puis montrer que le mouvement est plan.

4. Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$, puis l'équation de la trajectoire $y(x)$.

5. Calculer la durée de traversée des plaques, puis la valeur absolue de la déviation verticale $|y_S|$ à la sortie des plaques. Vérifier que l'électron ne heurte pas une plaque.

6. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée et la sortie, calculer la valeur de la vitesse de l'électron à la sortie des plaques.

Un satellite d'observation de masse $m$ décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude $h = 800~\text{km}$. On étudie son mouvement dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Le satellite est soumis uniquement à la force de gravitation exercée par la Terre.

Données :

• constante de gravitation : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ;

• masse de la Terre : $M_T = 5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$ ;

• rayon de la Terre : $R_T = 6{,}37\times10^{6}~\text{m}$.

• Donner l'expression vectorielle de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite, en utilisant le vecteur unitaire $\vec{u}_n$ orienté vers le centre de la Terre.

• En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que le mouvement est uniforme et que la valeur de la vitesse est $v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{R_T + h}}$.

• Calculer la valeur de la vitesse du satellite.

• Établir l'expression de la période de révolution $T$ du satellite, puis calculer sa valeur en minutes.

On souhaite déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites galiléens, supposés en orbite circulaire autour de Jupiter. Le mouvement est étudié dans un référentiel « jovicentrique » supposé galiléen. Les données sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

Données : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ; 1 jour $= 86\,400~\text{s}$.

1. Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton à un satellite de masse $m$ en mouvement circulaire uniforme autour de Jupiter de masse $M_J$, que $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M_J}$.

2. Calculer le rapport $T^2/r^3$ pour chaque satellite, en jours$^2$ par $(10^{5}~\text{km})^3$, et conclure quant à la validité de la troisième loi de Kepler.

3. Le programme Python suivant doit calculer la masse de Jupiter à partir des données de Ganymède. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER.

import numpy as np

G = 6.67e-11

T = 7.155 * 86400          # période en secondes

r = 10.704e5 * 1e3         # rayon en mètres

rapport = ...              # À COMPLÉTER : calcul de T**2 / r**3

M_J = ...                  # À COMPLÉTER : calcul de la masse de Jupiter

print(f"M_J = {M_J:.2e} kg")

1. Calculer la masse de Jupiter et commenter le résultat en le comparant à la masse de la Terre, $5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$.

Un opérateur de télécommunications exploite un satellite géostationnaire de masse $m$ pour retransmettre des émissions télévisées à destination de la France.

Données :

• constante de gravitation : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ;

• masse de la Terre : $M_T = 5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$ ;

• rayon de la Terre : $R_T = 6{,}37\times10^{6}~\text{m}$ ;

• période de rotation sidérale de la Terre : $T_S = 86\,164~\text{s}$ ;

• célérité de la lumière dans le vide : $c = 3{,}00\times10^{8}~\text{m·s}^{-1}$.

• Définir un satellite géostationnaire. Justifier qualitativement que son orbite est circulaire, située dans le plan équatorial, et que sa période de révolution est égale à $T_S$.

• Établir, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, l'expression de la vitesse $v$ d'un satellite en orbite circulaire de rayon $r$, puis celle de $r^3$ en fonction de $T$.

• Calculer l'altitude $h$ du satellite géostationnaire et la valeur de sa vitesse.

• Un récepteur est situé à la verticale du satellite. Calculer la durée minimale d'un aller-retour d'un signal radio entre ce récepteur et le satellite.

• Un satellite d'observation en orbite circulaire basse, à l'altitude de $400~\text{km}$, survole régulièrement la même région de l'équateur. Déterminer, en justifiant, le rapport entre sa période de révolution et celle du satellite géostationnaire. Commenter.

Un ballon sonde de la station météorologique de Trappes est gonflé avec de l'hélium. Son enveloppe, de volume $V = 10~\text{m}^3$ une fois gonflée, a une masse $m_e = 2{,}0~\text{kg}$. On étudie le ballon à proximité du sol, dans l'air immobile.

Données :

• masse volumique de l'air : $\rho_{\text{air}} = 1{,}20~\text{kg·m}^{-3}$ ;

• masse volumique de l'hélium dans le ballon : $\rho_{\text{He}} = 0{,}17~\text{kg·m}^{-3}$ ;

• intensité de la pesanteur : $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.

• Expliquer qualitativement l'origine de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le ballon.

• Donner l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède $\vec{\Pi}$ et calculer sa valeur.

• Calculer la masse d'hélium contenue dans le ballon, puis la valeur du poids de l'ensemble {enveloppe + hélium}.

• Le ballon doit emporter une sonde de masse $m_s$. Déterminer la masse maximale $m_{s,\max}$ pour que le ballon puisse décoller, en justifiant le critère utilisé.

Une conduite horizontale transporte de l'eau en écoulement permanent. L'eau est assimilée à un fluide incompressible de masse volumique $\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$. La conduite présente un rétrécissement (effet Venturi) : sa section passe de $S_1 = 12~\text{cm}^2$ à $S_2 = 3{,}0~\text{cm}^2$. Le débit volumique est $D_v = 0{,}60~\text{L·s}^{-1}$.

Relation de Bernoulli entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

1. Rappeler la relation entre le débit volumique, la section et la vitesse d'écoulement, puis calculer les vitesses $v_1$ et $v_2$ de l'eau dans chacune des deux sections.

2. En utilisant la relation de Bernoulli, calculer la différence de pression $P_1 - P_2$ entre les deux sections.

3. Indiquer, en justifiant, dans quelle section la pression est la plus faible.

Un réservoir cylindrique ouvert à l'air libre, de diamètre $D = 1{,}0~\text{m}$, contient de l'eau (fluide incompressible, de masse volumique $\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$) sur une hauteur initiale $h_0 = 1{,}5~\text{m}$. Un orifice circulaire de diamètre $d = 2{,}0~\text{cm}$ percé à la base du réservoir permet l'écoulement de l'eau vers l'extérieur, à l'air libre. On note $S$ la section du réservoir, $s$ celle de l'orifice, $h(t)$ la hauteur d'eau à l'instant $t$ et $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$. On suppose l'écoulement quasi permanent à chaque instant, et la pression égale à la pression atmosphérique à la surface libre et à la sortie de l'orifice.

Relation de Bernoulli entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

1. En appliquant la relation de Bernoulli entre la surface libre (point A) et la sortie de l'orifice (point B), et la conservation du débit volumique, établir l'expression de la vitesse $v_B$ d'éjection en fonction de $g$, $h$, $S$ et $s$.

2. Calculer le rapport $S/s$. Justifier que l'on puisse écrire $v_B \approx \sqrt{2gh}$, puis calculer $v_B$ et le débit volumique pour $h = h_0$.

3. En exprimant la conservation du volume d'eau, montrer que la hauteur vérifie $\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{s}{S}\sqrt{2gh}$.

4. On résout cette équation par la méthode d'Euler avec un pas $\Delta t = 1{,}0~\text{s}$. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER du programme suivant, qui détermine la durée de vidange.

import numpy as np

g = 9.81

S = np.pi * (1.0 / 2) ** 2

s = np.pi * (0.020 / 2) ** 2

dt = 1.0

t = 0.0

h = 1.5

while h > 0:

    dhdt = ...             # À COMPLÉTER : dérivée de h

    h = ...                # À COMPLÉTER : nouvelle valeur de h (Euler)

    t = t + dt

print(f"Durée de vidange : {t:.0f} s")

1. On admet que la solution exacte est $h(t) = \left(\sqrt{h_0} - \dfrac{s}{S}\sqrt{\dfrac{g}{2}}\,t\right)^2$. En déduire la durée théorique de vidange et la comparer à la valeur attendue du programme.