Exercices: Charge et décharge d'un condensateur

Un condensateur de capacité $C = 470\ \mu\text{F}$ est soumis à une tension $u_C = 12\ \text{V}$.

1. a) Rappeler la relation entre la charge $q$, la capacité $C$ et la tension $u_C$.
2. b) Calculer la charge $q$ portée par l'armature positive.
3. c) Calculer l'énergie emmagasinée $E = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$.

Un circuit comporte un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2\ \text{k}\Omega$ en série avec un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$.

1. a) Donner l'expression du temps caractéristique $\tau$ du circuit.
2. b) Calculer $\tau$ en secondes.
3. c) Donner la durée approximative au bout de laquelle le condensateur est considéré comme chargé (environ $5\tau$).

Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers une résistance par un générateur de tension constante $E = 6,0\ \text{V}$. La tension à ses bornes vaut $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau = 0,50\ \text{s}$.

1. a) Calculer $u_C$ à $t = \tau$.
2. b) Calculer $u_C$ à $t = 5\tau$.

Un condensateur de capacité $C$ est chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t = 0$, $u_C = 0$.

1. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
2. b) Vérifier que $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ est solution et exprimer $\tau$.
3. c) Calculer $\tau$ pour $R = 10\ \text{k}\Omega$ et $C = 47\ \mu\text{F}$.

Un condensateur de $2,2\ \text{mF}$ chargé sous $9,0\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $R = 1,5\ \text{k}\Omega$. À $t = 0$, $u_C = 9,0\ \text{V}$.

1. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ pendant la décharge et donner sa solution.
2. b) Calculer $\tau$.
3. c) Calculer la tension à $t = 5,0\ \text{s}$.
4. d) Calculer l'instant où $u_C = 1,0\ \text{V}$.

Le flash d'un appareil photo est alimenté par un condensateur de $C = 150\ \mu\text{F}$ chargé sous $300\ \text{V}$. Le flash décharge le condensateur à travers la lampe en $1,0\ \text{ms}$ environ, assimilée à un conducteur ohmique de résistance $R$, avec $5\tau \approx 1,0\ \text{ms}$.

1. a) Calculer l'énergie stockée dans le condensateur.
2. b) Estimer la résistance équivalente $R$ de la lampe.
3. c) Calculer la puissance moyenne délivrée pendant le flash.

On étudie la charge d'un condensateur par un générateur de $E = 5,0\ \text{V}$ à travers $R = 4,7\ \text{k}\Omega$. On relève $u_C = 3,16\ \text{V}$ à $t = 0,10\ \text{s}$.

1. a) Établir l'expression de $u_C(t)$ puis celle de $i(t)$.
2. b) Déterminer $\tau$ à partir de la mesure, puis la capacité $C$.
3. c) Calculer l'intensité du courant à $t = 0,10\ \text{s}$.
4. d) Montrer que la tangente à l'origine de $u_C(t)$ coupe l'asymptote $u_C = E$ en $t = \tau$.

Un capteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité varie avec l'humidité : $C = 180\ \text{pF}$ à $30\ \%$ et $C = 220\ \text{pF}$ à $70\ \%$. Il est monté en série avec $R = 1,0\ \text{M}\Omega$ et alimenté par un échelon de tension de $E = 3,3\ \text{V}$.

1. a) Calculer le temps caractéristique pour chaque humidité.
2. b) Calculer, pour chacun des deux cas, la durée $t_{90}$ nécessaire pour que $u_C$ atteigne $90\ \%$ de $E$.
3. c) Expliquer comment un microcontrôleur peut en déduire l'humidité.
4. d) Discuter l'influence de la résistance $R$ sur la précision de la mesure.

Un condensateur de capacité $C = 1,0\ \text{mF}$ est chargé sous $E = 10\ \text{V}$ puis déconnecté du générateur et relié à un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$.

1. a) Établir l'expression de l'énergie $E_C(t)$ stockée dans le condensateur au cours de la décharge.
2. b) Montrer que l'énergie dissipée par effet Joule entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est égale à l'énergie initialement stockée.
3. c) Calculer la durée au bout de laquelle l'énergie stockée est divisée par $10$.
4. d) Écrire un programme Python simple qui trace $u_C(t)$ pour $t$ de $0$ à $5\tau$.