Incertitudes-types, écriture du résultat et écart normalisé

Variabilité de la mesure et moyenne

Quand on répète une mesure dans les mêmes conditions, on n'obtient presque jamais deux fois la même valeur. Cette variabilité de la mesure vient de l'instrument (résolution limitée), de l'opérateur (temps de réaction, lecture) et du protocole (conditions qui fluctuent).

On exploite alors une série de $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$ :

Pourquoi la moyenne ? Les écarts par excès et par défaut se compensent en partie : la moyenne est donc moins affectée par le hasard que chaque mesure prise seule. Plus les mesures sont dispersées, plus $\sigma_{n-1}$ est grand.

Pourquoi $n-1$ et non $n$ ? Avec peu de mesures, la moyenne $\bar{x}$ est elle-même calculée à partir des données : les écarts à $\bar{x}$ sont un peu trop petits. Diviser par $n-1$ corrige cela. Sur la calculatrice, on utilise la touche notée $\sigma_{n-1}$ (ou $s$).

Incertitude-type de type A

L'incertitude-type $u(x)$ est un nombre positif qui traduit, de manière qualitative et quantitative, le doute sur le résultat d'une mesure. Quand on dispose d'une série de mesures, on l'évalue par une méthode statistique : c'est l'évaluation de type A.

Le facteur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ montre que répéter les mesures améliore la précision de la moyenne, mais lentement : pour diviser $u$ par 2, il faut quatre fois plus de mesures.

Incertitude-type de type B

Parfois, on ne fait qu'une seule mesure : on lit une graduation, on utilise un instrument avec une notice. L'incertitude est alors évaluée par une autre approche que la statistique : c'est le type B.

On estime la demi-étendue $\Delta$ de l'intervalle dans lequel la valeur a de bonnes chances de se trouver (lecture à une demi-graduation près, tolérance du fabricant, …). Si toutes les valeurs de l'intervalle $[x - \Delta\ ; x + \Delta]$ sont également probables (loi de probabilité rectangulaire) :

Le facteur $\sqrt{3}$ vient du calcul de l'écart-type d'une loi rectangulaire : l'incertitude-type est plus petite que la demi-étendue, car il est rare d'être exactement aux extrémités de l'intervalle.

Incertitudes composées

Souvent, on ne mesure pas directement la grandeur cherchée : on la calcule à partir d'autres grandeurs mesurées, chacune avec son incertitude (masse volumique $\rho = m/V$, célérité $v = d/\Delta t$…). Il faut alors composer les incertitudes.

Le sujet fournit en général la formule. Pour une grandeur qui est un produit ou un quotient de grandeurs indépendantes, par exemple $y = \dfrac{a}{b}$ :

Remarque : dans cet exemple, l'incertitude relative sur $\Delta t$ ($1{,}25\ \%$) est bien plus grande que celle sur $d$ ($0{,}5\ \%$). C'est elle qui domine. Pour améliorer le résultat, il faut d'abord réduire la plus grande incertitude relative (chronomètre plus précis, plus de mesures).

Écart normalisé et compatibilité

Un résultat n'est utile que si on peut le comparer à une valeur de référence (donnée du fabricant, table, autre groupe). Comparer seulement les valeurs ne suffit pas : $9{,}76$ et $9{,}80$ sont différents, mais est-ce significatif au regard de l'incertitude ?

Pour comparer deux mesures $a$ et $b$ ayant chacune une incertitude-type :

Simuler une série de mesures en Python

Le programme de terminale demande de simuler un processus aléatoire pour observer le rôle de l'incertitude. Avec la bibliothèque numpy, on tire des « mesures » autour d'une valeur vraie :

import numpy as np

mesures = np.random.normal(10, 2/10, 50)    # 50 mesures, valeur vraie 10, dispersion 0,2

moy = np.mean(mesures)                       # moyenne

s = np.std(mesures, ddof=1)                  # écart-type expérimental (division par n-1)

u = s/np.sqrt(50)                            # incertitude-type de type A

• np.random.normal(m, sigma, n) simule $n$ mesures dispersées autour de $m$. Attention : en Python, le séparateur décimal est le point et non la virgule (c'est pourquoi on a écrit la dispersion $0{,}2$ sous la forme 2/10).

• np.std(..., ddof=1) : par défaut, numpy divise par $n$ ; l'option ddof=1 fait diviser par $n-1$, ce qui donne $\sigma_{n-1}$.

• Le résultat $\bar{x} \pm u$ varie d'une exécution à l'autre, mais $s$ reste voisin de la dispersion choisie (ici $0{,}2$) et $u$ de $s/\sqrt{n}$.

L'intervalle $[\bar{x} - 2u\ ;\ \bar{x} + 2u]$ contient la valeur vraie dans environ $95\ \%$ des exécutions : c'est la signification pratique du critère $z < 2$.

import numpy as np

mesures = np.random.normal(10.0, 0.2, 50)

moy = np.mean(mesures)

s = np.std(mesures, ddof=1)

u = s/np.sqrt(50)

Retour au début : pour Lina, on garde la moyenne de ses cinq chronométrages, on lui associe l'incertitude-type $u = \sigma_{n-1}/\sqrt{n}$, puis on calcule $z$ pour savoir si son résultat est compatible avec la valeur de référence.

L'essentiel

• Une mesure est toujours entachée d'incertitude : on exploite une série avec la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.

• Type A (série de mesures) : $u(x) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$. Type B (une lecture, loi rectangulaire) : $u(x) = \dfrac{\Delta}{\sqrt{3}}$.

• Grandeur calculée (produit ou quotient) : $\dfrac{u(y)}{y} = \sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2}$ ; l'incertitude relative la plus grande domine.

• Écriture du résultat : $u$ à un chiffre significatif, la valeur avec le même nombre de décimales, et l'unité.

• Écart normalisé : $z = \dfrac{|m_{mes} - m_{ref}|}{u(m)}$ ; compatible si $z < 2$. Entre deux mesures : $z = \dfrac{|a-b|}{\sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}}$.

• En Python, np.std(..., ddof=1) donne $\sigma_{n-1}$ ; $u$ décroît en $1/\sqrt{n}$.