Loi de décroissance radioactive, demi-vie, activité et datation
Dans un hôpital de Marseille, une dose de technétium 99m est préparée le matin pour une scintigraphie. Le soir, elle est jetée : elle est devenue presque inutilisable. Pourtant, personne ne peut prédire à quel instant précis un noyau donné va se désintégrer. Comment un phénomène imprévisible noyau par noyau peut-il suivre une loi aussi régulière à l'échelle de l'échantillon ? C'est la question de cette page.
Une population de noyaux qui se désintègrent au hasard
Un noyau radioactif (par exemple $^{14}_{6}\mathrm{C}$ ou $^{131}_{53}\mathrm{I}$) est instable. Il se désintègre en émettant un rayonnement ($\alpha$, $\beta^-$ ou $\beta^+$, voir le chapitre sur les transformations nucléaires). Deux faits expérimentaux sont essentiels :
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la désintégration d'un noyau donné est un phénomène aléatoire : on ne peut pas prévoir quand il se produira ;
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elle est spontanée et ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique du noyau.
Avec un très grand nombre de noyaux, le hasard se « moyenne » et une régularité apparaît. Observe-la sur la simulation : 100 noyaux, chacun a la même probabilité de se désintégrer à chaque instant.
Relance plusieurs fois la simulation. La courbe $N(t)$ change un peu à chaque fois, mais garde toujours la même allure : elle décroît de moins en moins vite. Plus il reste de noyaux, plus il y en a qui se désintègrent par unité de temps.
La loi de décroissance radioactive
Entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$, le nombre de noyaux qui disparaît est proportionnel à $N(t)$ et à la durée $\mathrm{d}t$. On note $\lambda$ le coefficient de proportionnalité :
$$\mathrm{d}N = -\lambda\,N\,\mathrm{d}t \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$$Le signe « $-$ » traduit que $N$ diminue.
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants (sans second membre). Ses solutions sont les fonctions $N(t) = C\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, où $C$ est une constante. En effet, $N'(t) = -\lambda C\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$. La condition initiale $N(0) = N_0$ donne $C = N_0$.
On appelle parfois $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$ la constante de temps : à $t = \tau$, il reste $N_0\,\mathrm{e}^{-1} \approx 37\ \%$ des noyaux.
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$. a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$. b)…
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$.
- a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$.
- b) Donner l'unité de la constante radioactive $\lambda$.
- c) Établir la relation entre $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$.
Le temps de demi-vie
Le temps de demi-vie est la grandeur qu'on lit dans les tables et qui donne une idée immédiate de la durée de vie d'un radionucléide.
Établissons le lien avec $\lambda$. À $t = t_{1/2}$ :
$$N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \frac12 \;\Longrightarrow\; -\lambda t_{1/2} = -\ln 2$$Voici la courbe de décroissance. Chaque durée $t_{1/2}$ divise $N$ par 2.
Après $n$ demi-vies, il reste $N = \dfrac{N_0}{2^n}$ (si $n$ est entier, on peut se passer de l'exponentielle).
L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux. a) Calculer le…
L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux.
- a) Calculer le nombre de noyaux restants après $8,02$ jours.
- b) Calculer le nombre de noyaux restants après $24,06$ jours.
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est…
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est $A_0 = 600\ \text{MBq}$.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$.
- b) Calculer l'activité de la dose à $14\,\text{h}$, puis à $20\,\text{h}$.
- c) Déterminer à quelle heure l'activité sera de $75\ \text{MBq}$.
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$. a) Calculer…
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
- a) Calculer l'activité surfacique après $60,4$ ans.
- b) Calculer la durée nécessaire pour que cette activité soit inférieure à $10\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
L'activité d'un échantillon
On ne compte pas les noyaux un par un. Ce qu'on mesure avec un compteur, c'est le nombre de désintégrations par seconde.
Pendant $\mathrm{d}t$, le nombre de désintégrations est $-\mathrm{d}N = \lambda N\,\mathrm{d}t$. L'activité est donc :
$$A(t) = -\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda\,N(t)$$En remplaçant $N(t)$ par sa loi :
$$A(t) = \lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} \qquad\text{avec } A_0 = \lambda N_0$$Les ordres de grandeur sont très variés : le corps humain a une activité d'environ $8\ \text{kBq}$, une dose de scintigraphie est de l'ordre de quelques centaines de MBq. Rappel : $1\ \text{MBq} = 10^6\ \text{Bq}$.
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$. a) Donner la…
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.
- a) Donner la définition de l'activité $A$ et son unité.
- b) Calculer l'activité de l'échantillon.
Exploiter des mesures : linéariser avec le logarithme
Comment vérifier à partir de mesures qu'une décroissance est exponentielle, et en tirer $\lambda$ ? On utilise le logarithme népérien :
$$A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} \;\Longrightarrow\; \ln A = \ln A_0 - \lambda\,t$$C'est une fonction affine de $t$. Si les points $(t\ ;\ \ln A)$ sont alignés sur une droite, la décroissance est exponentielle, et la pente de la droite vaut $-\lambda$.
Autre test, sans logarithme : sur des intervalles de temps égaux, le rapport de deux activités successives est constant.
Avec Python, la régression linéaire sur $\ln A$ donne directement la pente :
import numpy as np
t = np.array([0, 3, 6]) # temps en h
A = np.array([120000, 84000, 58800]) # activité en Bq
pente, ordonnee = np.polyfit(t, np.log(A), 1) # ajustement affine de ln(A)
lam = -pente # constante radioactive en h^-1
t_demi = np.log(2) / lam # temps de demi-vie en h
print(lam, t_demi)
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers : | $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | |---|---|---|---|---|---| | $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0…
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers :
| $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0 | 31,7 |
- a) Montrer que ces données sont compatibles avec une décroissance exponentielle $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
- b) Déterminer $\lambda$ en traçant ou en calculant $\ln(A)$ en fonction de $t$ ; en déduire $t_{1/2}$.
- c) Calculer le nombre initial de noyaux $N_0$.
- d) Proposer un programme Python (en quelques lignes) permettant d'obtenir $\lambda$ par régression linéaire sur $\ln A$.
Plusieurs processus de disparition
Dans un organisme vivant, un radionucléide injecté disparaît de deux façons indépendantes : par désintégration (physique) et par élimination biologique (urine, etc.). Pour chaque processus, la disparition est proportionnelle à la quantité présente. Les « taux » s'ajoutent :
$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -(\lambda_{phys} + \lambda_{bio})\,N = -\lambda_{eff}\,N$$On retrouve une loi exponentielle de constante $\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$, et une demi-vie effective $t_{eff} = \dfrac{\ln 2}{\lambda_{eff}}$.
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours.…
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours. Les deux processus sont indépendants et leurs constantes s'additionnent : $\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$.
- a) Calculer $\lambda_{phys}$ et $\lambda_{bio}$ en $\text{jour}^{-1}$.
- b) En déduire la demi-vie effective $t_{eff}$.
- c) L'activité initiale dans l'organisme est de $370\ \text{MBq}$. Calculer l'activité restante au bout de $30$ jours.
- d) Justifier pourquoi la demi-vie effective est inférieure aux deux demi-vies individuelles.
La datation radioactive
Une horloge naturelle : si on connaît $N_0$ (ou $A_0$) et qu'on mesure $N$ (ou $A$), on retrouve la durée écoulée. On part de $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ :
$$\frac{A}{A_0} = \mathrm{e}^{-\lambda t} \;\Longrightarrow\; \ln\frac{A}{A_0} = -\lambda t \;\Longrightarrow\; t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{A_0}{A}$$Le carbone 14
Dans l'atmosphère, le rayonnement cosmique produit du carbone 14, radioactif ($t_{1/2} = 5\,730$ ans). Tant qu'un être vivant (arbre, animal) échange du carbone avec son milieu, la proportion de $^{14}\mathrm{C}$ dans ses tissus reste constante. À sa mort, les échanges cessent : le $^{14}\mathrm{C}$ n'est plus renouvelé et son activité décroît. Il est utilisable pour dater des événements de quelques centaines à environ $50\,000$ ans (bois, os, charbon de bois de grottes comme Lascaux).
Uranium et plomb : dater les roches
Pour des durées géologiques, on utilise un couple père-fils, par exemple l'uranium 238 (demi-vie $4{,}47 \times 10^9$ ans) qui aboutit au plomb 206 stable. Si la roche ne contenait aucun plomb à l'origine, chaque noyau de plomb présent provient d'un noyau d'uranium disparu :
$$N_{Pb} = N_0 - N_U$$La mesure du rapport $N_{Pb}/N_U$ donne alors l'âge de la roche, car $N_0 = N_U + N_{Pb}$ et $N_U = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est…
On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est $\dfrac{A}{A_0} = 0,30$. Le carbone 14 a une demi-vie $t_{1/2} = 5\,730$ ans.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ de l'échantillon en fonction de $\lambda$ et de $A/A_0$.
- c) Calculer l'âge de l'échantillon.
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux…
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux intermédiaires. On mesure dans la roche $N_U = 3,0 \times 10^{18}$ noyaux d'uranium et $N_{Pb} = 1,0 \times 10^{18}$ noyaux de plomb. On suppose qu'à l'origine la roche ne contenait pas de plomb.
- a) Exprimer $N_U(t)$ en fonction de $N_0$, puis $N_{Pb}$ en fonction de $N_0$ et $N_U$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ en fonction de $t_{1/2}$ et du rapport $\dfrac{N_{Pb}}{N_U}$.
- c) Calculer l'âge de la roche.
- d) Discuter les limites de cette méthode de datation.
L'essentiel
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Un échantillon de $N$ noyaux radioactifs vérifie $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, d'où $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. La constante radioactive $\lambda$ s'exprime en $\mathrm{s^{-1}}$ (inverse d'un temps).
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Le temps de demi-vie vérifie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ; il ne dépend pas de $N_0$. Après $n$ demi-vies, $N = N_0/2^n$.
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L'activité $A = -\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N$ s'exprime en becquerel ($1\ \text{Bq} = 1\ \mathrm{s^{-1}}$) et décroît avec la même loi : $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
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Pour exploiter des mesures : $\ln A = \ln A_0 - \lambda t$ est une droite de pente $-\lambda$.
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Datation : $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}$ (ou avec $N$) ; il faut connaître l'état initial et choisir un radionucléide de demi-vie adaptée.
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Vers le début : la régularité de la loi vient du très grand nombre de noyaux. Chaque noyau se désintègre au hasard, mais une dose de technétium 99m ($t_{1/2} = 6\ \text{h}$) perd la moitié de son activité toutes les 6 heures : voilà pourquoi la dose du matin est inutilisable le soir.