L'équation d'onde et sa relation avec le MHS

L'équation $y(x, t) = A \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t)$ décrit une perturbation doublement périodique : dans le temps et dans l'espace. Les deux graphiques de la figure représentent cette double périodicité.

1. a) Si l'on choisit un point fixe du milieu (on fixe $x$), avec quelle période oscille-t-il ? L'exprimer en fonction de $\omega$.
2. b) Si l'on observe le profil de la perturbation à un instant fixe (on fixe $t$), à quelle distance se répète-t-il ? L'exprimer en fonction de $k$.
3. c) Expliquer, à partir de ce qui précède, pourquoi on dit que le mouvement ondulatoire combine une oscillation dans le temps et une périodicité dans l'espace.

Lorsqu'une onde harmonique traverse un milieu, chaque point du milieu oscille avec un mouvement harmonique simple (MHS).

1. a) Indiquer quelles grandeurs du MHS de chaque point coïncident avec celles de l'onde : penser à l'amplitude et à la fréquence.
2. b) Indiquer quelle grandeur distingue l'oscillation d'un point proche de la source de celle d'un point plus éloigné.
3. c) Expliquer la différence entre la vitesse d'oscillation d'un point du milieu et la célérité de l'onde.

Au laboratoire, on génère dans une corde tendue une onde transversale dont l'équation, en unités du Système international, est $y(x, t) = 0,05 \cdot \sin(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figure montre le profil de la corde à un instant donné.

1. a) Indiquer les valeurs de l'amplitude $A$, du nombre d'onde $k$ et de la pulsation $\omega$.
2. b) Raisonner, à partir du signe qui accompagne le terme en $t$ dans la phase, pour déterminer dans quel sens de l'axe $x$ l'onde se propage.

Une onde transversale se propage le long d'une corde selon l'équation, en unités du Système international, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sin(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Déterminer dans quel sens de l'axe $x$ l'onde se propage et le justifier à partir du signe de la phase.
2. b) Calculer sa célérité à partir de $k$ et $\omega$.
3. c) Réécrire l'équation en ne changeant que ce qui est indispensable pour que l'onde se propage dans le sens positif de l'axe.

La photographie instantanée d'une corde montre un profil sinusoïdal dont les crêtes s'élèvent de $5\ \text{cm}$ au-dessus de la position d'équilibre et sont distantes de $80\ \text{cm}$ ; la perturbation se propage le long de la corde à $2\ \text{m/s}$. La figure montre cette photographie instantanée.

1. a) Déterminer l'amplitude et la longueur d'onde à partir de la description de la photographie, en les exprimant en mètres.
2. b) Calculer la fréquence, la période, la pulsation et le nombre d'onde.
3. c) Écrire l'équation de l'onde avec une phase initiale nulle et une propagation dans le sens positif de l'axe $x$, toutes les grandeurs étant exprimées en unités du Système international.

Un diapason vibre et génère dans l'air une onde harmonique de pulsation $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calculer sa période $T$, en rappelant que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calculer sa fréquence $f$, en $\text{Hz}$.

Dans une cuve à ondes du laboratoire, on génère des ondes à la surface de l'eau avec un nombre d'onde $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figure montre le profil de la surface à un instant donné.

1. a) Calculer la longueur d'onde $\lambda$, en rappelant que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Expliquer avec vos propres mots ce que représente physiquement la longueur d'onde en observant le profil de la surface.

Une bouée océanographique enregistre le passage d'un train de vagues d'amplitude $1,5\ \text{m}$ et de période $T = 4\ \text{s}$ ; la distance entre deux crêtes consécutives est de $25\ \text{m}$. La figure représente le profil des vagues.

1. a) Calculer la pulsation $\omega$ et le nombre d'onde $k$.
2. b) Calculer la célérité de propagation des vagues à l'aide de $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Écrire l'équation de l'onde en supposant une phase initiale nulle et une propagation dans le sens positif de l'axe $x$.

Une onde harmonique se propage le long d'une corde ; son équation, en unités du Système international, est $y(x, t) = 0,02 \cdot \sin(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calculer l'élongation du point situé en $x = 0,5\ \text{m}$ à l'instant $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indiquer quelle est l'élongation maximale que peut atteindre ce point et justifier si elle dépend du point choisi.
3. c) Calculer la période d'oscillation de ce point.

Une onde transversale d'amplitude $0,04\ \text{m}$ et de période $T = 0,5\ \text{s}$ se propage le long d'une corde à $8\ \text{m/s}$ dans le sens négatif de l'axe $x$.

1. a) Calculer sa pulsation.
2. b) Calculer sa longueur d'onde et son nombre d'onde.
3. c) Écrire son équation d'onde avec une phase initiale nulle, en veillant au signe de la phase pour qu'elle représente le sens de propagation indiqué.

Une onde transversale d'amplitude $0,05\ \text{m}$, de pulsation $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ et de célérité $10\ \text{m/s}$ se propage le long d'une corde tendue dans le sens positif de l'axe $x$. À l'instant $t = 0$, le point situé à l'origine atteint son élongation maximale positive.

1. a) Calculer le nombre d'onde $k$.
2. b) Déterminer la phase initiale $\varphi_0$ en imposant la condition $y(0, 0) = A$.
3. c) Écrire l'équation complète de l'onde.
4. d) Calculer l'élongation du point $x = 1\ \text{m}$ à l'instant $t = 0,05\ \text{s}$ et justifier le signe du résultat.

Dans un canal à vagues de laboratoire, une onde d'amplitude $0,1\ \text{m}$ et de célérité $4\ \text{m/s}$ se propage dans le sens positif de l'axe $x$. À l'instant $t = 0$, le profil de la surface, dont les crêtes sont distantes de $2\ \text{m}$, est donné par $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sin(\pi \cdot x)$.

1. a) Déterminer $k$ et $\omega$ et écrire l'équation complète de l'onde.
2. b) Exprimer l'élongation du point $x = 0,5\ \text{m}$ en fonction du temps et justifier si, juste après $t = 0$, ce point monte ou descend.
3. c) Vérifier l'élongation initiale du point $x = 1\ \text{m}$ et en déduire dans quel sens il commence à se déplacer.

Pour étudier la phase d'une onde sonore de $f = 85\ \text{Hz}$ qui se propage dans l'air à $340\ \text{m/s}$, on place deux microphones alignés avec le haut-parleur qui l'émet, comme le montre la figure.

1. a) Calculer la longueur d'onde du son.
2. b) Calculer le déphasage entre les oscillations de deux points distants de $1\ \text{m}$, à l'aide de $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Les microphones sont finalement placés à une distance de $2\ \text{m}$ : calculer le nouveau déphasage et justifier si, dans ce cas, les points oscillent en phase ou en opposition de phase.

Une onde harmonique de $f = 50\ \text{Hz}$ se propage à $200\ \text{m/s}$ le long d'une corde de laboratoire. La figure représente le profil de l'onde avec trois points P, Q et R repérés.

1. a) Calculer sa longueur d'onde.
2. b) Calculer la distance minimale entre deux points de la corde qui oscillent en phase et justifier le résultat.
3. c) Calculer la distance minimale entre deux points qui oscillent en opposition de phase.
4. d) Déterminer le déphasage entre deux points distants de $3\ \text{m}$ et décrire comment l'un oscille par rapport à l'autre.

Sur une corde tendue, on observe que deux points distants de $1\ \text{m}$ oscillent toujours en phase.

1. a) Justifier que la longueur d'onde ne peut prendre que les valeurs $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, avec $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Sachant en outre que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, déterminer toutes les valeurs possibles de $\lambda$.
3. c) La célérité de propagation dans la corde est de $100\ \text{m/s}$ : calculer la fréquence correspondant à chaque valeur possible.
4. d) Proposer une mesure supplémentaire qui permettrait de décider laquelle de ces valeurs est la bonne et justifier cette proposition.

L'oreille humaine perçoit les sons entre $20\ \text{Hz}$ et $20\ \text{kHz}$, et le son se propage dans l'air à $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer la longueur d'onde du son le plus grave que nous pouvons entendre en utilisant $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calculer la longueur d'onde du son le plus aigu que nous pouvons entendre, en exprimant d'abord $20\ \text{kHz}$ en hertz.
3. c) Raisonner, au vu des résultats, sur la façon dont la longueur d'onde varie lorsque la fréquence augmente si la vitesse ne change pas.

Le long d'un ressort à spires tendu se propage une onde longitudinale dont l'équation, en unités du Système international, est $y(x, t) = 0,04 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calculer sa fréquence $f$ et sa période $T$.
2. b) Calculer sa longueur d'onde $\lambda$.
3. c) Calculer sa célérité en utilisant $v = \frac{\omega}{k}$.

Lors d'une prospection géologique, on génère une onde sismique harmonique d'amplitude $0,01\ \text{m}$ et de fréquence $f = 10\ \text{Hz}$ qui se propage dans le sol à $6000\ \text{m/s}$ dans le sens positif de l'axe $x$.

1. a) Calculer sa longueur d'onde et son nombre d'onde.
2. b) Calculer sa pulsation.
3. c) Écrire son équation d'onde sachant que la phase initiale est $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un générateur d'ultrasons de laboratoire émet des ondes de $f = 40\ \text{kHz}$ qui se propagent dans l'air à $340\ \text{m/s}$.

1. a) Exprimer la fréquence en hertz et calculer la longueur d'onde, en mètres et en millimètres.
2. b) Calculer la période et l'exprimer en secondes et en microsecondes ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Sachant que l'oreille humaine perçoit au maximum environ $20\ \text{kHz}$, expliquer pourquoi personne n'entend le son émis par le générateur.

Un câble d'acier d'un banc d'essai de vibrations a une masse linéique $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ et est soumis à une tension $T = 40\ \text{N}$ ; la célérité des ondes transversales dans le câble est $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. On génère une onde harmonique d'amplitude $0,02\ \text{m}$ et de fréquence $f = 100\ \text{Hz}$ qui se propage dans le sens positif de l'axe $x$ avec une phase initiale nulle.

1. a) Calculer la célérité de propagation de l'onde.
2. b) Calculer la longueur d'onde, le nombre d'onde et la pulsation.
3. c) Écrire l'équation de l'onde.
4. d) Si l'on doublait la tension en conservant la même fréquence, calculer la nouvelle célérité et la nouvelle longueur d'onde, et expliquer pourquoi ces grandeurs changent et non la fréquence.

Lors d'une échographie, on utilise des ultrasons de $f = 3,5\ \text{MHz}$ qui se propagent dans les tissus mous à $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer la longueur d'onde en mètres et l'exprimer en millimètres.
2. b) L'écho réfléchi par une structure interne est reçu $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ après l'émission : en tenant compte du fait que l'impulsion parcourt deux fois cette distance, calculer la profondeur de la structure.
3. c) Expliquer pourquoi, pour apprécier des détails de quelques millimètres, il est préférable de travailler avec des fréquences de l'ordre du mégahertz plutôt qu'avec des sons audibles.

Une onde harmonique de $f = 2\ \text{Hz}$ et d'amplitude $0,05\ \text{m}$ se propage dans le sens positif de l'axe $x$ le long d'une corde légère à $6\ \text{m/s}$ et passe dans une seconde corde plus dense, reliée à la première, où sa célérité est de $3\ \text{m/s}$. Lors du changement de milieu, la fréquence se conserve. Observer le schéma des deux cordes reliées :

1. a) Calculer la longueur d'onde dans chaque corde.
2. b) Écrire l'équation de l'onde dans chacune des cordes, avec une phase initiale nulle.
3. c) Indiquer quelles grandeurs se conservent et lesquelles changent lors du passage d'une corde à l'autre.
4. d) Expliquer, en considérant la façon dont oscille le point de jonction entre les deux cordes, pourquoi la fréquence ne peut pas changer en ce point.

Un point situé au milieu d'une corde de violon oscille avec une amplitude $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ lorsque la corde émet un la de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calculer la pulsation de l'oscillation.
2. b) Sachant que la vitesse maximale d'oscillation d'un oscillateur harmonique est $v_{max} = A \cdot \omega$, calculer la vitesse maximale de ce point.
3. c) L'onde se propage le long de cette corde à $250\ \text{m/s}$ : comparer cette valeur à celle de la question précédente et expliquer pourquoi ces deux vitesses sont si différentes alors qu'elles sont mesurées sur la même corde.

Une onde transversale se propage le long d'une corde à $v = 50\ \text{m/s}$ avec une fréquence de $25\ \text{Hz}$.

1. a) Dériver, à partir de $y = A \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t)$, l'expression de la vitesse d'oscillation d'un point de la corde et démontrer que sa valeur maximale est $A \cdot \omega$.
2. b) Calculer l'amplitude que devrait avoir l'onde pour que la vitesse maximale d'oscillation des points soit égale à la célérité de propagation.
3. c) Expliquer, en indiquant la direction et la signification physique de chacune, pourquoi la vitesse d'oscillation et la célérité de propagation sont des grandeurs complètement différentes.