Incertitudes de type A et B, chiffres significatifs
Léa chronomètre dix oscillations d'un pendule en cours de physique-chimie. Elle recommence cinq fois et obtient cinq durées un peu différentes. Quelle est la « vraie » durée ? Peut-on seulement la connaître ? Dans cette page, tu vas apprendre à donner un résultat honnête : une valeur et une incertitude.
Dispersion d'une série de mesures
Quand on répète une mesure dans les mêmes conditions, on ne retrouve pas exactement le même nombre : le déclenchement du chronomètre, la lecture, la position de l'œil varient un peu. Les valeurs se répartissent autour d'une valeur centrale. Voici les mesures de Léa (durée de dix oscillations, en s).
Pour résumer une série de $n$ mesures $x_1, x_2, \dots, x_n$, on utilise deux nombres.
Pourquoi $n-1$ et pas $n$ ? On a estimé la valeur centrale avec les mêmes mesures, ce qui « rapproche » un peu les points de leur moyenne. Diviser par $n-1$ compense cet effet. Sur la calculatrice, c'est la touche $\sigma_{n-1}$ (ou $s_x$) et non $\sigma_n$.
Une élève mesure cinq fois la durée de dix oscillations d'un pendule : $15,2$ ; $15,4$ ; $15,1$ ; $15,3$ ; $15,5$ (en s). a) Calculer la valeur moyenne. b) Calculer…
Une élève mesure cinq fois la durée de dix oscillations d'un pendule : $15,2$ ; $15,4$ ; $15,1$ ; $15,3$ ; $15,5$ (en s).
- a) Calculer la valeur moyenne.
- b) Calculer l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
Incertitude-type de type A
La dispersion $\sigma_{n-1}$ décrit une mesure isolée. Mais le résultat que l'on donne est la moyenne, qui est plus fiable : les erreurs positives et négatives se compensent en partie. L'incertitude sur la moyenne est donc plus petite que $\sigma_{n-1}$.
On l'appelle « de type A » parce qu'elle est évaluée par une méthode statistique sur une série de mesures.
Le facteur $\sqrt n$ a une conséquence pratique : pour diviser l'incertitude par 2, il faut 4 fois plus de mesures.
Quand les mesures sont regroupées avec des effectifs (histogramme), chaque valeur $x_i$ compte autant de fois que son effectif $n_i$ : $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ et $\sigma_{n-1} = \sqrt{\dfrac{\sum n_i (x_i - \bar x)^2}{N-1}}$, avec $N = \sum n_i$ le nombre total de mesures.
Pour une série de $n = 10$ mesures, l'écart-type expérimental est $\sigma_{n-1} = 0,30\ \text{s}$. a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A. b) Calculer…
Pour une série de $n = 10$ mesures, l'écart-type expérimental est $\sigma_{n-1} = 0,30\ \text{s}$.
- a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A.
- b) Calculer cette incertitude.
On réalise $30$ mesures du diamètre d'un fil, regroupées dans un histogramme : $0,24\ \text{mm}$ (4 fois), $0,25\ \text{mm}$ (9 fois), $0,26\ \text{mm}$ (11 fois),…
On réalise $30$ mesures du diamètre d'un fil, regroupées dans un histogramme : $0,24\ \text{mm}$ (4 fois), $0,25\ \text{mm}$ (9 fois), $0,26\ \text{mm}$ (11 fois), $0,27\ \text{mm}$ (6 fois).
- a) Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental.
- b) Calculer l'incertitude-type de type A.
- c) Donner le résultat sous la forme $d = \bar d \pm u(d)$ avec un chiffre significatif sur l'incertitude et justifier l'arrondi.
Incertitude-type de type B
Parfois on ne mesure qu'une seule fois : on lit une burette, une éprouvette, un thermomètre. On ne peut pas faire de statistique. On évalue alors l'incertitude à partir des caractéristiques de l'instrument : c'est l'évaluation de type B.
Si l'on estime que la valeur lue est dans l'intervalle $[x - \Delta ; x + \Delta]$, sans savoir où exactement, on considère que toutes les positions sont également probables (loi uniforme).
Le $\sqrt 3$ vient du calcul de l'écart-type d'une loi uniforme sur $[-\Delta ; +\Delta]$ : la valeur est répartie sur tout l'intervalle, donc l'incertitude-type est plus petite que $\Delta$.
Une burette graduée en $0,1\ \text{mL}$ est lue avec une incertitude de lecture estimée à une demi-graduation. On suppose une loi uniforme et on prend…
Une burette graduée en $0,1\ \text{mL}$ est lue avec une incertitude de lecture estimée à une demi-graduation. On suppose une loi uniforme et on prend $u = \Delta/\sqrt3$ avec $\Delta$ demi-étendue.
- a) Calculer l'incertitude-type de type B sur une lecture.
- b) Calculer l'incertitude-type sur un volume équivalent obtenu par différence de deux lectures.
Écrire un résultat : chiffres significatifs et incertitude composée
Un résultat n'a de sens que s'il indique sa précision. Donner trop de chiffres laisse croire à une précision qui n'existe pas.
Chiffres significatifs
Les chiffres significatifs sont tous les chiffres d'un nombre, sauf les zéros placés à gauche du premier chiffre non nul. Ainsi $0{,}0250$ a trois chiffres significatifs (2, 5, 0) ; $12{,}3$ en a trois ; $4{,}0 \times 10^{3}$ en a deux.
Pourquoi arrondir par excès ? Pour ne pas se vanter d'une précision meilleure que celle qu'on a réellement.
Incertitude composée
Souvent, la grandeur cherchée se calcule à partir de plusieurs mesures : $R = U/I$, $P = U \times I$. On combine alors les incertitudes relatives.
Un résultat de mesure est $m = 12,3472\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,02\ \text{g}$. a) Écrire correctement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs. b)…
Un résultat de mesure est $m = 12,3472\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,02\ \text{g}$.
- a) Écrire correctement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.
- b) Calculer l'incertitude relative.
On mesure la tension aux bornes d'une résistance : $U = 5,02\ \text{V}$ avec $u(U)=0,03\ \text{V}$ et $I = 0,250\ \text{A}$ avec $u(I)=0,004\ \text{A}$. a) Calculer…
On mesure la tension aux bornes d'une résistance : $U = 5,02\ \text{V}$ avec $u(U)=0,03\ \text{V}$ et $I = 0,250\ \text{A}$ avec $u(I)=0,004\ \text{A}$.
- a) Calculer $R = U/I$.
- b) Calculer son incertitude-type par $u(R)/R = \sqrt{(u(U)/U)^2 + (u(I)/I)^2}$.
- c) Donner le résultat final avec le bon nombre de chiffres significatifs.
Pour mesurer l'accélération de la pesanteur à Strasbourg, on mesure la période $T = 1,42\ \text{s}$ d'un pendule de longueur $\ell = 0,500\ \text{m}$ via…
Pour mesurer l'accélération de la pesanteur à Strasbourg, on mesure la période $T = 1,42\ \text{s}$ d'un pendule de longueur $\ell = 0,500\ \text{m}$ via $g = 4\pi^2\ell/T^2$. On donne $u(T) = 0,01\ \text{s}$ et $u(\ell) = 0,002\ \text{m}$. Pour une loi de produits-quotients, $u(g)/g = \sqrt{(u(\ell)/\ell)^2 + (2\,u(T)/T)^2}$.
- a) Calculer $g$.
- b) Calculer $u(g)$.
- c) Comparer avec $g_{ref} = 9,81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ en justifiant.
Comparer à une valeur de référence
Un résultat de mesure se compare souvent à une valeur connue (donnée d'un tableau, valeur tabulée). Comparer, ce n'est pas vérifier que les deux nombres sont identiques : c'est regarder si l'écart est compatible avec l'incertitude.
Pour revenir au début : la « vraie » durée du pendule de Léa n'est pas atteignable, mais on peut donner un intervalle fiable : $x \pm u(x)$.
Une série de mesures de la célérité du son à Lyon donne la moyenne $\bar v = 338\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec $u(v) = 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La valeur de…
Une série de mesures de la célérité du son à Lyon donne la moyenne $\bar v = 338\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec $u(v) = 4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La valeur de référence est $v_{ref} = 343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
- a) Calculer le rapport $|\bar v - v_{ref}|/u(v)$.
- b) Comparer à la valeur de référence en précisant si la mesure est compatible (critère : rapport inférieur à $2$).
Deux groupes mesurent la concentration d'une solution par titrage. Groupe 1 : $c_1 = 0,102\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$,…
Deux groupes mesurent la concentration d'une solution par titrage. Groupe 1 : $c_1 = 0,102\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_1) = 0,002\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Groupe 2 : $c_2 = 0,108\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, $u(c_2) = 0,003\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.
- a) Calculer l'écart normalisé $E_N = |c_1 - c_2|/\sqrt{u(c_1)^2+u(c_2)^2}$.
- b) Conclure sur la compatibilité des deux mesures.
- c) Proposer deux actions pour réduire l'incertitude sur la valeur finale.
L'essentiel
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Une série de mesures se résume par sa moyenne $\bar x$ et son écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
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Type A (statistique) : $u(x) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt n}$. Type B (instrument, lecture unique) : $u(x) = \dfrac{\Delta}{\sqrt 3}$, avec $\Delta$ la demi-étendue.
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Une différence de deux lectures a pour incertitude $u\sqrt 2$ ; pour un produit ou un quotient, on combine les incertitudes relatives en quadrature.
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Le résultat s'écrit $x \pm u(x)$ : $u$ avec un chiffre significatif arrondi par excès, $x$ à la même décimale.
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On compare à une référence avec $\dfrac{|x - x_{ref}|}{u(x)}$ (ou $E_N$ entre deux mesures) : compatible si le rapport est inférieur à 2.