Frecuencias, gráficos y medidas de tendencia central
Mateo quiere vender jugos en el recreo de su colegio, en Ambato. Encuesta a 40 compañeros y se queda con una hoja llena de respuestas sueltas. Con esa hoja no puede saber qué sabor ofrecer ni cuánto cobrar. En este apartado aprenderás a ordenar los datos, dibujarlos y resumirlos en un solo número que ayude a decidir. Al final volveremos a Mateo.
Tablas de frecuencias
Una investigación de campo produce muchos datos: respuestas, edades, gastos. Lo primero es contar cuántas veces aparece cada valor. A ese conteo se le llama frecuencia.
¿Por qué sirve la relativa? Porque permite comparar encuestas de distinto tamaño. «18 de 20» y «45 de 50» se comparan mejor como $90\,\%$ y $90\,\%$.
Mateo preguntó a 40 compañeros cuál es su bebida favorita en el bar del colegio. Esta es su tabla:
| Bebida | $f_i$ | $F_i$ | $h_i$ | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|
| Jugo | 16 | 16 | $0{,}40$ | $40\,\%$ |
| Cola | 10 | 26 | $0{,}25$ | $25\,\%$ |
| Agua | 8 | 34 | $0{,}20$ | $20\,\%$ |
| Leche | 6 | 40 | $0{,}15$ | $15\,\%$ |
| Total | 40 | $1$ | $100\,\%$ |
La última acumulada coincide con $n = 40$. Es una buena forma de comprobar que no te equivocaste al contar.
Para dibujar los datos, un gráfico de barras pone una barra por categoría. Su altura es la frecuencia.
La barra más alta es la moda: el valor que más se repite. Aquí es el jugo.
Camila hizo una encuesta a 20 clientes de la tienda de su barrio y les preguntó qué jugo compran más. Anotó estas respuestas: naranja, mora, naranja, frutilla, mora,…
Camila hizo una encuesta a 20 clientes de la tienda de su barrio y les preguntó qué jugo compran más. Anotó estas respuestas: naranja, mora, naranja, frutilla, mora, naranja, naranja, mora, frutilla, naranja, mora, naranja, frutilla, naranja, mora, naranja, mora, frutilla, naranja y naranja. Construye una tabla de frecuencia absoluta con los sabores y señala cuál es la moda.
En una investigación de campo sobre el consumo de colas, se encuestó a 50 estudiantes de un colegio de Ambato. Treinta de ellos dijeron que toman cola al menos una vez…
En una investigación de campo sobre el consumo de colas, se encuestó a 50 estudiantes de un colegio de Ambato. Treinta de ellos dijeron que toman cola al menos una vez por semana. Calcula la frecuencia relativa de quienes toman cola y exprésala como fracción decimal y como porcentaje. Explica con una frase qué significa ese resultado.
Media aritmética y moda
Una tabla es útil, pero a veces necesitas un solo número que represente a todos. Para datos numéricos, la más usada es la media.
Cambia los datos de este interactivo y mira cómo se mueven la media y las demás medidas:
Media con una tabla de frecuencias
Si un dato se repite, no hace falta sumarlo muchas veces. Se multiplica cada valor por su frecuencia:
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{n}$$La media puede ser un número que nadie tiene. Nadie tiene $1{,}35$ hermanos, pero el número resume bien al grupo.
Un puesto de comida en el Malecón 2000 de Guayaquil registró cuántos encebollados vendió durante cinco días: 12, 15, 9, 15 y 14. Calcula la media aritmética de las…
Un puesto de comida en el Malecón 2000 de Guayaquil registró cuántos encebollados vendió durante cinco días: 12, 15, 9, 15 y 14. Calcula la media aritmética de las ventas diarias y escribe cuál es la moda de esos datos.
Santiago encuestó a 40 familias de su barrio sobre cuántos celulares hay en cada hogar. Obtuvo la siguiente tabla: | Celulares por hogar | Frecuencia absoluta |…
Santiago encuestó a 40 familias de su barrio sobre cuántos celulares hay en cada hogar. Obtuvo la siguiente tabla:
| Celulares por hogar | Frecuencia absoluta |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 14 |
| 3 | 12 |
| 4 | 8 |
Completa la tabla con la frecuencia absoluta acumulada, la frecuencia relativa y el porcentaje. Luego calcula la media de celulares por hogar e indica cuál es la moda.
La mediana
La media tiene un punto débil: la afectan mucho los valores extremos. Para eso existe la mediana.
Lo más habitual es olvidar el orden:
¿Cuándo usar cada medida?
| Medida | Úsala cuando… |
|---|---|
| Media | los datos están parejos y quieres usar todos los valores |
| Mediana | hay valores muy altos o muy bajos que distorsionan |
| Moda | quieres saber qué es lo más común, o los datos son categorías |
Una heladería de Cuenca anotó el gasto de 11 clientes en una tarde, en dólares: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7 y 30. El último dato corresponde a un cliente que compró…
Una heladería de Cuenca anotó el gasto de 11 clientes en una tarde, en dólares: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7 y 30. El último dato corresponde a un cliente que compró para una fiesta de cumpleaños. Calcula la media y la mediana de los gastos. Explica por qué dan resultados distintos y cuál de las dos medidas describe mejor el gasto habitual de un cliente.
Datos agrupados en intervalos
Cuando los datos son muchos o toman valores muy distintos (gastos, tiempos, estaturas), no se cuenta cada valor. Se agrupan en intervalos de igual amplitud.
Se escriben «de 10 a menos de 20», es decir $[10, 20)$. Incluye el $10$ y no incluye el $20$, así ningún dato cae en dos intervalos.
Como ya no conoces los datos exactos, se usa la marca de clase: el punto medio del intervalo.
$$\text{marca de clase} = \frac{\text{límite inferior} + \text{límite superior}}{2}$$La media aproximada se calcula como antes, pero con las marcas de clase $x_i$ en lugar de los datos. El intervalo modal es el de mayor frecuencia.
El histograma dibuja estos datos. Es parecido al gráfico de barras, pero las barras van pegadas porque los intervalos son continuos. Con intervalos de igual amplitud, la altura es la frecuencia.
La barra más alta (en naranja) marca el intervalo modal. Para hallar el intervalo mediano calcula $n/2$ y busca el primer intervalo cuya frecuencia acumulada $F_i$ sea mayor o igual que ese valor. Si unes los puntos medios de la parte superior de las barras con una línea, obtienes el polígono de frecuencias. Un gráfico circular sirve para mostrar porcentajes de un total, por ejemplo la bebida favorita. No sirve para ver cómo cambian los datos en el tiempo.
Valentina preguntó a 50 personas cuántos dólares gastan al mes en transporte público. Agrupó las respuestas en intervalos: | Gasto mensual (dólares) | Número de personas…
Valentina preguntó a 50 personas cuántos dólares gastan al mes en transporte público. Agrupó las respuestas en intervalos:
| Gasto mensual (dólares) | Número de personas |
|---|---|
| 10 a menos de 20 | 8 |
| 20 a menos de 30 | 15 |
| 30 a menos de 40 | 18 |
| 40 a menos de 50 | 9 |
Calcula la marca de clase de cada intervalo y, con ellas, la media aproximada del gasto mensual. Indica cuál es el intervalo modal y qué dice sobre los hábitos de las personas encuestadas.
Interpretar para decidir
Calcular no es suficiente: el objetivo de una investigación de mercado es decidir (qué producto, a qué precio, cuánto personal). Para eso:
-
Mira la tabla y el histograma: ¿dónde se concentran los datos?
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Compara media, mediana y moda. Si son parecidas, los datos son bastante simétricos. Si la media es mayor que la mediana, hay valores altos que la empujan hacia arriba.
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Revisa la dispersión, es decir, qué tan separados están los datos.
La forma más sencilla de medir la dispersión es el rango: dato mayor menos dato menor.
Esto cambia las decisiones. Si las ventas son estables, puedes planificar siempre el mismo personal e inventario. Si varían mucho, necesitas un plan flexible, por ejemplo personal extra solo los días fuertes.
Volvamos a Mateo. En su encuesta, el jugo es la bebida con más respuestas (la moda), con el $40\,\%$. Eso indica qué ofrecer. Para fijar el precio miraría cuánto dinero lleva la mayoría al recreo (la mediana y el intervalo modal), y no el de unos pocos estudiantes que llevan mucho.
Doménica quiere abrir un puesto de jugos cerca de un colegio de Riobamba y encuestó a 60 estudiantes sobre cuánto dinero llevan al recreo. Obtuvo estos datos: | Dinero…
Doménica quiere abrir un puesto de jugos cerca de un colegio de Riobamba y encuestó a 60 estudiantes sobre cuánto dinero llevan al recreo. Obtuvo estos datos:
| Dinero para el recreo (dólares) | Número de estudiantes |
|---|---|
| 0 a menos de 1 | 6 |
| 1 a menos de 2 | 24 |
| 2 a menos de 3 | 18 |
| 3 a menos de 4 | 8 |
| 4 a menos de 5 | 4 |
Construye la tabla completa de frecuencias (absoluta, acumulada y relativa) y describe cómo sería el histograma. Calcula la media aproximada usando marcas de clase e identifica el intervalo modal. Con esos resultados, argumenta a qué precio fijarías un vaso de jugo y qué porcentaje de los estudiantes encuestados podría comprarlo si cuesta 1,50 dólares o menos, suponiendo que los datos se reparten de manera uniforme dentro de cada intervalo.
Dos tiendas de Loja, A y B, registraron el número de clientes que atendieron durante 9 días: Tienda A: 40, 42, 45, 45, 46, 48, 50, 52, 52. Tienda B: 20, 25, 30, 45, 46,…
Dos tiendas de Loja, A y B, registraron el número de clientes que atendieron durante 9 días:
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Tienda A: 40, 42, 45, 45, 46, 48, 50, 52, 52.
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Tienda B: 20, 25, 30, 45, 46, 55, 60, 65, 68.
Calcula la media, la mediana y la moda de cada tienda y compara los resultados. Aunque las medidas de tendencia central sean parecidas, analiza qué diferencia importante hay entre las dos series observando los datos y cómo influiría en decisiones como cuántos empleados contratar cada día. Justifica tu respuesta.