Winkel messen, zeichnen und klassifizieren
Auf dem Rheinradweg zeigt ein Schild nach rechts, der Weg biegt ab. Wie stark biegt er ab? Mit einer Zahl lässt sich das genau sagen: mit der Größe eines Winkels. Und wie groß ist eigentlich der Winkel zwischen den Zeigern deiner Uhr um 4 Uhr?
Was ist ein Winkel?
Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen im selben Punkt beginnen. Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt $S$, die Strahlen heißen Schenkel. Winkel bezeichnest du mit griechischen Buchstaben: $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma). Gemessen wird in Grad: $1^\circ$ ist der 360. Teil einer vollen Drehung.
Je nach Größe haben Winkel besondere Namen:
| Winkelart | Größe |
|---|---|
| spitzer Winkel | zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ |
| rechter Winkel | genau $90^\circ$ |
| stumpfer Winkel | zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ |
| gestreckter Winkel | genau $180^\circ$ |
| überstumpfer Winkel | zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$ |
| Vollwinkel | genau $360^\circ$ |
Ordne jeden Winkel einer Art zu (spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel, Vollwinkel): a) $35^\circ$ b) $90^\circ$ c)…
Ordne jeden Winkel einer Art zu (spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel, Vollwinkel):
- a) $35^\circ$
- b) $90^\circ$
- c) $120^\circ$
- d) $180^\circ$
- e) $250^\circ$
- f) $360^\circ$
Winkel messen und zeichnen
Zum Messen und Zeichnen nimmst du das Geodreieck.
Das Geodreieck geht nur bis $180^\circ$. Einen überstumpfen Winkel wie $270^\circ$ zeichnest du über seinen Rest zu $360^\circ$: $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$. Zeichne diesen Winkel auf der anderen Seite und markiere den großen Winkel.
Zeichne mit dem Geodreieck die Winkel: a) $\alpha = 50^\circ$ b) $\beta = 125^\circ$ c) $\gamma = 270^\circ$
Zeichne mit dem Geodreieck die Winkel:
- a) $\alpha = 50^\circ$
- b) $\beta = 125^\circ$
- c) $\gamma = 270^\circ$
Berechne die fehlenden Winkel: a) Nebenwinkel zu $65^\circ$ b) Ergänzung von $38^\circ$ zu einem rechten Winkel c) Ergänzung von $210^\circ$ zum Vollwinkel
Berechne die fehlenden Winkel:
- a) Nebenwinkel zu $65^\circ$
- b) Ergänzung von $38^\circ$ zu einem rechten Winkel
- c) Ergänzung von $210^\circ$ zum Vollwinkel
Winkel an Geraden und am Punkt
Drei Regeln helfen beim Berechnen fehlender Winkel:
Warum? Ist $\alpha = 72^\circ$, dann ergibt $\alpha$ mit seinem Nebenwinkel $\beta$ zusammen $180^\circ$, also $\beta = 108^\circ$. Der Winkel $\gamma$ ist ebenfalls Nebenwinkel von $\beta$, also $\gamma = 72^\circ$. Deshalb sind Scheitelwinkel gleich groß.
Zwei Geraden schneiden sich. Einer der vier Winkel beträgt $72^\circ$. a) Bestimme die Größe der drei anderen Winkel. b) Benenne, welche Winkel Scheitelwinkel und welche…
Zwei Geraden schneiden sich. Einer der vier Winkel beträgt $72^\circ$.
- a) Bestimme die Größe der drei anderen Winkel.
- b) Benenne, welche Winkel Scheitelwinkel und welche Nebenwinkel sind.
Um einen Punkt $S$ liegen vier Winkel, die zusammen einen Vollwinkel bilden. Der zweite ist doppelt so groß wie der erste, der dritte ist $20^\circ$ größer als der…
Um einen Punkt $S$ liegen vier Winkel, die zusammen einen Vollwinkel bilden. Der zweite ist doppelt so groß wie der erste, der dritte ist $20^\circ$ größer als der zweite, der vierte ist ein rechter Winkel.
- a) Bestimme alle vier Winkel.
- b) Gib zu jedem die Winkelart an.
- c) Begründe, ob die Winkel in der Aufgabenstellung eindeutig bestimmt sind.
Winkel an der Uhr und Drehungen
Eine volle Umdrehung hat $360^\circ$. Das Zifferblatt hat 12 Stunden, also liegt zwischen zwei Zahlen $360^\circ : 12 = 30^\circ$.
-
Minutenzeiger: $60$ Minuten sind $360^\circ$, also $6^\circ$ pro Minute. In $15$ Minuten dreht er $90^\circ$, in $30$ Minuten $180^\circ$.
-
Stundenzeiger: $30^\circ$ pro Stunde. Von 3 Uhr bis 5 Uhr: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Auch bei Drehungen addierst du die Winkel. Dreht sich ein Kran erst um $100^\circ$ und dann um $50^\circ$ im Uhrzeigersinn, ist er insgesamt um $150^\circ$ gedreht. Zum Zurückdrehen auf dem kürzesten Weg nimmst du bei einem Winkel über $180^\circ$ den Rest zu $360^\circ$.
Zurück zum Anfang: Um 4 Uhr bilden die Zeiger $120^\circ$, einen stumpfen Winkel.
Wie groß ist der Winkel, den der Minutenzeiger einer Uhr in $15$ Minuten überstreicht? Wie groß ist er in $30$ Minuten?
Wie groß ist der Winkel, den der Minutenzeiger einer Uhr in $15$ Minuten überstreicht? Wie groß ist er in $30$ Minuten?
Der Stundenzeiger einer Uhr bewegt sich von $3$ Uhr bis $5$ Uhr. a) Wie groß ist der überstrichene Winkel? b) Welchen Winkel bilden die Zeiger um $4$ Uhr? Welche Art von…
Der Stundenzeiger einer Uhr bewegt sich von $3$ Uhr bis $5$ Uhr.
- a) Wie groß ist der überstrichene Winkel?
- b) Welchen Winkel bilden die Zeiger um $4$ Uhr? Welche Art von Winkel ist das?
- c) Welchen Winkel bilden die Zeiger um $6$ Uhr?
Ein Drehkran in Hamburg dreht seinen Ausleger von der Richtung Nord im Uhrzeigersinn um $135^\circ$ und anschließend um weitere $160^\circ$. a) In welchem Winkel zur…
Ein Drehkran in Hamburg dreht seinen Ausleger von der Richtung Nord im Uhrzeigersinn um $135^\circ$ und anschließend um weitere $160^\circ$.
- a) In welchem Winkel zur Nordrichtung steht der Ausleger danach?
- b) Um welchen Winkel muss er sich zurückdrehen, um wieder nach Nord zu zeigen (kürzester Weg)?
- c) Ordne den Winkel aus a) einer Winkelart zu und begründe.
Um wie viel Uhr bilden die Zeiger einer Uhr genau einen rechten Winkel, wenn der Minutenzeiger auf der 12 steht? Gib alle Uhrzeiten zwischen $1$ und $12$ Uhr an und…
Um wie viel Uhr bilden die Zeiger einer Uhr genau einen rechten Winkel, wenn der Minutenzeiger auf der 12 steht? Gib alle Uhrzeiten zwischen $1$ und $12$ Uhr an und begründe mit einer Rechnung.